萬(wàn)程凱，韓文標(biāo)，江春華

(1.南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，衡陽(yáng) 421001； 2.中國(guó)科學(xué)院 上海天文臺(tái)，上海 200030)

1 引言

在牛頓理論中，關(guān)于雙星的引力問(wèn)題，其運(yùn)動(dòng)方程有嚴(yán)格解，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)形成的引力孤立系統(tǒng)允許兩個(gè)守恒積分(能量和角動(dòng)量守恒)。而在廣義相對(duì)論中，雙星運(yùn)動(dòng)的軌道明顯不具有嚴(yán)格周期性：極端質(zhì)量比雙星系統(tǒng)的軌道運(yùn)動(dòng)輻射引力波，導(dǎo)致致密天體的軌道半徑減小，且頻率增加，從而使致密天體旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)。在旋進(jìn)后期，引力波在探測(cè)器的敏感頻段被探測(cè)到。在雙星距離較大時(shí)，雙星之間的潮汐相互作用可以忽略不計(jì)，并且可將小天體看作質(zhì)點(diǎn)。然而，隨著雙星間距離減小，軌道頻率會(huì)增加，潮汐相互作用會(huì)變大，這會(huì)導(dǎo)致致密天體發(fā)生潮汐形變，并使它們的引力場(chǎng)和軌道運(yùn)動(dòng)受到影響。這種潮汐效應(yīng)在引力波的形狀和相位上得以體現(xiàn)。由于引力波的形狀和相位中隱藏著軌道運(yùn)動(dòng)的詳細(xì)信息，所以我們能夠根據(jù)軌道運(yùn)動(dòng)特征分辨出引力波。

致密天體的結(jié)構(gòu)對(duì)EMRI發(fā)射的引力波瞬時(shí)振幅的影響可以忽略不計(jì)，但是它對(duì)頻率造成的微小影響會(huì)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而累積成不可忽略的相位偏差。來(lái)自致密天體的四極矩和軌道進(jìn)動(dòng)稍微加速了并合進(jìn)程，并導(dǎo)致真實(shí)信號(hào)與質(zhì)點(diǎn)粒子信號(hào)之間的相位差呈現(xiàn)單調(diào)增長(zhǎng)的趨勢(shì)[7]。因此，在大質(zhì)量比雙星系統(tǒng)中，不能總是簡(jiǎn)單地用試驗(yàn)粒子運(yùn)動(dòng)模型計(jì)算其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

EMRI是空間引力波探測(cè)器最重要的引力波源之一。由于我們對(duì)EMRI的天體物理起源還沒(méi)有完全了解，所以初步預(yù)計(jì)，在LISA探測(cè)期間，引力波事件的年發(fā)生率在幾次至幾千次之間。這個(gè)范圍也進(jìn)一步說(shuō)明，人們可以從EMRI的探測(cè)結(jié)果中了解到更多信息[8]。

Mathisson[9]研究了EMRI和IMRI系統(tǒng)中帶有多極矩的小天體在給定時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)。Corinaldesi和Papapetrou[10]把帶有自旋的小質(zhì)量致密天體作為試驗(yàn)粒子，認(rèn)為它的質(zhì)量很小，其對(duì)度規(guī)的影響可以忽略不計(jì)。但是在Papapetrou方程中，他們僅考慮了粒子的質(zhì)量和自旋，即所謂的單極-偶極近似，忽略了質(zhì)量四極矩效應(yīng)。Suzuki和Maeda[11]在Papapetrou方程的基礎(chǔ)上研究了自旋試驗(yàn)粒子繞施瓦西黑洞運(yùn)動(dòng)的混沌行為，發(fā)現(xiàn)當(dāng)粒子自旋大于某個(gè)臨界值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)混沌，且該混沌完全由自旋-軌道耦合引起。在此之后，很多人研究了自旋粒子繞克爾黑洞和施瓦西黑洞運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)了帶有很大自旋的粒子繞大質(zhì)量黑洞運(yùn)動(dòng)的軌道特性和混沌性[12–17]。Wu等人[18–21]研究了其中一個(gè)天體有自旋時(shí)的相當(dāng)質(zhì)量比雙星系統(tǒng)的后牛頓保守拉格朗日形式的混沌性和后牛頓保守哈密頓形式的混沌性，并證實(shí)了這兩種形式都不能在諧和坐標(biāo)系中混沌。他們還分析了同階后牛頓拉格朗日方法與后牛頓哈密頓方法在強(qiáng)引力場(chǎng)下的差別。

Dixon[22–24]分別在1970年、1973年和1974年將Papapetrou方程展開(kāi)到多極，并賦予其物理含義，使多極矩的概念更加清晰。由于四極是多極的主要部分，因此，一些研究者把Mathisson-Papapetrou-Dixon(MPD)方程擴(kuò)展到四階來(lái)研究延展體的軌道動(dòng)力學(xué)，并基于MPD方程研究克爾黑洞潮汐作用誘導(dǎo)的延展體四極矩和小質(zhì)量天體自旋產(chǎn)生的四極矩，從而來(lái)定性分析致密雙星系統(tǒng)輻射的引力波[25–28]，其中，Han和Cheng[29]通過(guò)定量分析研究了延展體自旋產(chǎn)生的四極矩對(duì)EMRI系統(tǒng)的引力波波形的影響。

本文將利用MPD方程，在Han和Cheng研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，定量分析更一般形式的四極矩。我們的研究?jī)?nèi)容既包括致密天體本身的自旋引起的四極矩，也包含大質(zhì)量黑洞潮汐作用引起的致密天體四極矩，及其對(duì)致密天體軌道運(yùn)動(dòng)和引力波頻率的影響。

本文內(nèi)容安排如下：第2章介紹延展體MPD方程，以及不同種類(lèi)致密天體的自旋和質(zhì)量四極矩；第3章計(jì)算自旋和四極矩對(duì)引力波頻率的影響；最后，我們將對(duì)本文研究的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)和討論，并對(duì)其應(yīng)用前景進(jìn)行展望。

2 延展體動(dòng)力學(xué)方程

引力波的探測(cè)依賴(lài)于理論模板的精度，因此，我們需要知道小天體的精確運(yùn)動(dòng)。MPD運(yùn)動(dòng)方程描述了在彎曲時(shí)空中具有自旋和質(zhì)量多極矩的延展體運(yùn)動(dòng)。MPD方程多極展開(kāi)中的高階項(xiàng)表明，小天體內(nèi)部結(jié)構(gòu)對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道產(chǎn)生的影響較小。本文采用的致密天體自旋和四極矩的EMRI和IMRI模型，比目前流行的試驗(yàn)粒子近似模型更符合天體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，計(jì)算出的軌道也更加精確。

除非致密天體繞快速旋轉(zhuǎn)的大質(zhì)量克爾黑洞運(yùn)動(dòng)，否則直到雙星并合的旋進(jìn)階段，延展體的自旋導(dǎo)致的四極矩效應(yīng)都很小，因此，很多人忽略了潮汐效應(yīng)對(duì)延展體的影響[30]，也忽略了致密天體自旋產(chǎn)生的四極矩效應(yīng)。但是在致密天體與中心黑洞的并合階段，或延展體接近最內(nèi)穩(wěn)定圓軌道時(shí)，潮汐效應(yīng)變得不可忽略，此時(shí)必須考慮潮汐效應(yīng)對(duì)軌道進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生的影響。我們研究的致密雙星系統(tǒng)就是小質(zhì)量延展體圍繞快速旋轉(zhuǎn)的克爾黑洞運(yùn)動(dòng)的情況。

延展體的動(dòng)力學(xué)方程如下[22]：

其中，Jγδ?σ是質(zhì)量四極矩張量，它與Rαβγσ具有相同的對(duì)稱(chēng)性。文中所有指標(biāo)都用度規(guī)張量進(jìn)行升降。

延展體的四速度與四動(dòng)量之間的關(guān)系式如下[29]：

現(xiàn)在我們來(lái)討論質(zhì)量四極矩張量Jαβγδ[26]：

其中，Q是延展體四極矩(與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān))。CQ是衡量自旋產(chǎn)生的四極矩大小的無(wú)量綱參數(shù)，其數(shù)值代表了自旋產(chǎn)生的四極矩的大小，與延展體狀態(tài)方程有關(guān)。已知旋轉(zhuǎn)的致密天體的半徑和質(zhì)量，其CQ可以由下式近似表達(dá)[32]：

其中，G是萬(wàn)有引力常數(shù)，c為光速，R為天體半徑。在不同密度和不同模型下，計(jì)算出的CQ值不同。對(duì)于中子星(質(zhì)量為1.4M⊙，半徑為12 km)，CQ取值范圍一般是2～8，本文取值為4；對(duì)于黑洞來(lái)說(shuō)，CQ=1；對(duì)于一般白矮星，CQ≈104[33]。

由于潮汐相互作用取決于延展體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此，通過(guò)測(cè)量中心黑洞潮汐作用產(chǎn)生的四極矩，可以獲得關(guān)于延展體的致密性及其狀態(tài)方程的重要信息。表征潮汐產(chǎn)生的四極矩大小的參數(shù)2為[26]：

表1 不同質(zhì)量白矮星的潮汐和自旋產(chǎn)生的四極矩

3 自旋和四極矩對(duì)引力波的影響

自旋對(duì)軌道演化的主要影響是，它會(huì)導(dǎo)致軌道平面進(jìn)動(dòng)，從而改變軌道在空間中的方向。本文采用符號(hào)S表示自旋參數(shù)，它是mM的倍數(shù)，而不是m2的倍數(shù)。Corinaldesi和Papapetrou[10]指出，在忽略潮汐耦合的情況下，致密天體(白矮星、中子星和黑洞)的自旋參數(shù)S遠(yuǎn)小于1。

表2 不同質(zhì)量致密天體的自旋角動(dòng)量和潮汐半徑

當(dāng)小質(zhì)量天體與大質(zhì)量克爾黑洞之間的距離小于Rtidle時(shí)，小質(zhì)量致密天體將會(huì)被中心黑洞產(chǎn)生的巨大潮汐力撕裂。RISCO是最內(nèi)穩(wěn)定圓軌道(innermost stable circular orbit,ISCO)的半徑。當(dāng)小天體繞大質(zhì)量黑洞運(yùn)行的距離小于Rtidle時(shí)，不再存在穩(wěn)定的圓軌道。對(duì)于極端質(zhì)量比雙星系統(tǒng)，相應(yīng)的自旋和多極矩參數(shù)也都較小。根據(jù)Bini等人[27]的研究結(jié)果，自旋和四極矩對(duì)ISCO的影響很小，因此，我們采用試驗(yàn)粒子的ISCO作為小質(zhì)量天體軌道運(yùn)動(dòng)是否穩(wěn)定的判據(jù)。

ISCO半徑和潮汐半徑的計(jì)算公式[37]如下：

其中，Z1和Z2的表達(dá)式[38]如下：

其中，a為克爾黑洞參數(shù)，其值是M的倍數(shù)。式(10)中，a<0時(shí)，等式取加號(hào)；a>0時(shí)，等式取減號(hào)。取a=0.9，由式(10)可計(jì)算得出，RISCO=2.32。在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的過(guò)程中，我們選取潮汐半徑和最內(nèi)穩(wěn)定圓軌道半徑的最大值作為小天體的軌道半徑。

表3是選取質(zhì)量為1.3M⊙的白矮星、中子星和原初黑洞的相關(guān)物理參數(shù)[36–39]，并經(jīng)過(guò)以上方程計(jì)算得出的近似結(jié)果。

表3 m=1.3M⊙,ν=10?6,a=0.9,r=6M 情況下自旋和四極矩對(duì)引力波產(chǎn)生的影響

引力波頻率與軌道頻率之間的關(guān)系式如下：

由表3和表4可以看出，當(dāng)致密星質(zhì)量為1.3M⊙，雙星質(zhì)量比為10?6，距離為6M，且白矮星或中子星的自旋量與黑洞的相等時(shí)，它們與黑洞的引力波頻率的相對(duì)偏差量級(jí)很小，此時(shí)，質(zhì)量四極矩對(duì)白矮星或中子星的軌道運(yùn)動(dòng)的影響可以忽略，因此，我們無(wú)法通過(guò)引力波研究致密星的物態(tài)方程。無(wú)論是中子星，還是白矮星，其自旋會(huì)對(duì)引力波頻率產(chǎn)生影響。如果通過(guò)引力波反演得到的自旋角動(dòng)量系數(shù)明顯大于1，那么，我們可以認(rèn)定該致密星是白矮星。當(dāng)雙星質(zhì)量比ν=10?5時(shí)，結(jié)論與ν=10?6時(shí)一樣。

表4 m=1.3M⊙,ν=10?6,a=0.9,r=6M 情況下自旋和四極矩對(duì)引力波產(chǎn)生的影響

表5和表6表示，在ν=10?4的雙星系統(tǒng)中，通過(guò)比較白矮星3?與白矮星4?可以看出，白矮星自旋引起的四極矩對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的影響可忽略。因此，從白矮星1與白矮星2?進(jìn)行對(duì)比以及白矮星2與黑洞進(jìn)行對(duì)比的兩組引力波頻率的相對(duì)偏差可以看出，當(dāng)白矮星的自旋與黑洞的自旋相等時(shí)，中心黑洞潮汐作用產(chǎn)生的白矮星四極矩會(huì)對(duì)白矮星的軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響。中子星的自旋與原初黑洞自旋相等時(shí)，兩者輻射的引力波頻率十分接近；中子星的自旋與黑洞自旋相差較大時(shí)，兩者產(chǎn)生的頻率相對(duì)偏差和雙星質(zhì)量比均相差不大，因此，自旋會(huì)影響中子星的軌道運(yùn)動(dòng)。

表5 m=1.3M⊙,ν=10?4,a=0.9,r=3.9M 情況下自旋和四極矩對(duì)引力波產(chǎn)生的影響

表6 m=1.3M⊙,ν=10?4,a=0.9,r=3.9M 情況下自旋和四極矩對(duì)引力波產(chǎn)生的影響

表7表明，在雙星質(zhì)量比為10?2，小天體距中心黑洞6M處，中子星2與黑洞1相比，以及中子星1與黑洞2相比，其輻射的引力波頻率相對(duì)偏差可以區(qū)分，因此，可以認(rèn)為自旋會(huì)影響中子星的軌道運(yùn)動(dòng)。中子星2與黑洞2的自旋相同，但是潮汐參數(shù)和自旋參數(shù)不同，產(chǎn)生的引力波頻率相對(duì)偏差的量級(jí)與ν相比很小，說(shuō)明質(zhì)量四極矩對(duì)中子星產(chǎn)生的影響很小，可以忽略。中子星1與黑洞1相比，中心黑洞潮汐作用導(dǎo)致的中子星形變對(duì)其軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響可以忽略，因此，中子星自旋產(chǎn)生的四極矩對(duì)延展體軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響也可以忽略。

表7 m=1.3M⊙,ν=10?2,a=0.9,r=6M 情況下自旋和潮汐效應(yīng)對(duì)引力波產(chǎn)生的影響

4 總結(jié)與展望

本文利用MPD方程對(duì)大質(zhì)量比旋進(jìn)系統(tǒng)進(jìn)行分析，通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到了致密星沿圓軌道繞中心黑洞旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)的軌道頻率，并根據(jù)該軌道頻率與引力波頻率之間的關(guān)系獲得了雙星系統(tǒng)輻射的引力波頻率。這些引力波可以通過(guò)空間激光引力波探測(cè)器LISA進(jìn)行觀測(cè)，有的引力波頻率甚至在LIGO的敏感探測(cè)頻段內(nèi)。通過(guò)改變頻率的方法，我們分析了潮汐效應(yīng)和小天體自旋對(duì)引力波頻率產(chǎn)生的影響。由于致密天體的致密程度不同，所以白矮星、中子星或黑洞的因潮汐作用和自旋導(dǎo)致的形變對(duì)軌道的影響也不同。

對(duì)于一個(gè)質(zhì)量約為1M⊙的致密天體，當(dāng)小天體距離中心黑洞非常近時(shí)，我們得到以下研究結(jié)果：(1)本文研究的所有質(zhì)量比的情況下，自旋對(duì)白矮星和中子星的軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響都不可忽略；(2)在10?6～10?2質(zhì)量比區(qū)間，自旋產(chǎn)生的四極矩對(duì)中子星產(chǎn)生的影響很小，可以忽略；(3)質(zhì)量比為10?4時(shí)，極端自旋狀態(tài)下的白矮星自旋產(chǎn)生的四極矩不可忽略；(4)由于中子星的密度大，潮汐作用產(chǎn)生的四極矩對(duì)中子星的影響很小，可以忽略，因此，我們無(wú)法通過(guò)引力波探測(cè)器反演中子星和黑洞的物態(tài)方程；(5)在極端質(zhì)量比的情況下，小質(zhì)量天體幾乎可以看作質(zhì)點(diǎn)，因此，潮汐作用產(chǎn)生的四極矩對(duì)白矮星的影響很小，可以忽略；(6)在10?4～10?2的質(zhì)量比范圍內(nèi)，潮汐作用產(chǎn)生的四極矩對(duì)白矮星軌道運(yùn)動(dòng)的影響不可忽略。

從這些結(jié)果可以看出，中子星和白矮星的質(zhì)量四極矩對(duì)其軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的影響不同。當(dāng)大質(zhì)量克爾黑洞的質(zhì)量約為幾百個(gè)太陽(yáng)質(zhì)量時(shí)，產(chǎn)生的引力波頻率較高，可以由LIGO探測(cè)到，但是無(wú)法從中反演出中子星物態(tài)方程的狀態(tài)參數(shù)。本文中，我們討論了沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的大質(zhì)量雙星系統(tǒng)。關(guān)于帶有偏心率和軌道傾角的情況，以及通過(guò)引力波信號(hào)反演得到的自旋和四極矩參數(shù)，我們將在后續(xù)工作中進(jìn)行詳細(xì)介紹。