余勝 劉煥章 劉勝帥? 荊杰泰2)?

1) (華東師范大學(xué), 精密光譜科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200062)

2) (山西大學(xué), 極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心, 太原 030006)

多組份糾纏是量子信息處理的重要資源, 它的產(chǎn)生通常涉及到許多復(fù)雜的線(xiàn)性和非線(xiàn)性過(guò)程.本文從理論上提出了一種利用兩個(gè)獨(dú)立的四波混頻過(guò)程和線(xiàn)性分束器產(chǎn)生真正的四組份糾纏的方案, 其中, 線(xiàn)性分束器的作用是將兩個(gè)獨(dú)立的四波混頻過(guò)程聯(lián)系起來(lái).首先應(yīng)用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)研究了強(qiáng)度增益對(duì)四組份糾纏的影響, 結(jié)果表明, 在整個(gè)增益區(qū)域內(nèi)都存在真正的四組份糾纏, 并且隨著強(qiáng)度增益的增加, 糾纏也在增強(qiáng).然后研究了線(xiàn)性分束器的透射率對(duì)四組份糾纏的影響, 發(fā)現(xiàn)只要線(xiàn)性分束器的透射率不為0或1, 該系統(tǒng)也可以產(chǎn)生真正的四組份糾纏.最后, 通過(guò)研究該系統(tǒng)可能存在的三組份糾纏和兩組份糾纏來(lái)揭示該系統(tǒng)的糾纏結(jié)構(gòu).本文理論結(jié)果為實(shí)驗(yàn)上利用原子系綜四波混頻過(guò)程產(chǎn)生真正的四組份糾纏提供了可靠的方案.

1 引 言

多組份糾纏不僅在檢驗(yàn)基本量子效應(yīng)方面具有重要作用[1], 而且在量子通信以及量子計(jì)算領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用[2?5].在連續(xù)變量量子系統(tǒng)中,已經(jīng)有大量產(chǎn)生多組份糾纏的方案在理論上提出并在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)[6?12].在這些方案中, 比較典型的方法是利用光學(xué)參量振蕩器和線(xiàn)性分束器網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的獨(dú)立單模壓縮光束來(lái)生成連續(xù)變量多組份糾纏[9].此外, 另一種有效且簡(jiǎn)單的方法是在時(shí)域[13]和頻域[14?16]中使用復(fù)用技術(shù)產(chǎn)生大規(guī)模連續(xù)變量簇態(tài).最近, 我們課題組已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上證明了熱銣原子蒸氣池中的級(jí)聯(lián)四波混頻過(guò)程可以產(chǎn)生多個(gè)量子關(guān)聯(lián)光束[17?22], 并在理論上提出了產(chǎn)生真正的三組份糾纏[23]和四組份糾纏[24,25]的方案, 這種級(jí)聯(lián)是基于銣原子的雙L能級(jí)結(jié)構(gòu).不同于銣原子池的級(jí)聯(lián), 類(lèi)原子系統(tǒng)能級(jí)級(jí)聯(lián)的多波混頻過(guò)程是基于類(lèi)原子系統(tǒng)的N型能級(jí)結(jié)構(gòu), 這種級(jí)聯(lián)不僅可以產(chǎn)生關(guān)聯(lián)光束[26?28], 而且關(guān)聯(lián)和壓縮可以通過(guò)修飾場(chǎng)引起的相對(duì)非線(xiàn)性相移來(lái)控制[27].檢驗(yàn)多組份量子糾纏時(shí), 有很多判據(jù)可供選擇[29?35].本文選擇部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)[34,35].

由于強(qiáng)的非線(xiàn)性過(guò)程、空間多模性和可產(chǎn)生空間分離的非經(jīng)典光束等優(yōu)點(diǎn), 熱銣原子蒸氣池中的四波混頻過(guò)程是產(chǎn)生連續(xù)變量多組份糾纏的一項(xiàng)有前景的技術(shù)[36].本文提出了一個(gè)基于兩個(gè)獨(dú)立的四波混頻過(guò)程和一個(gè)線(xiàn)性分束器來(lái)產(chǎn)生真正的四組份糾纏的方案, 其中, 線(xiàn)性分束器的作用是將兩個(gè)獨(dú)立的四波混頻過(guò)程聯(lián)系起來(lái).然后, 應(yīng)用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)從理論上研究了系統(tǒng)的糾纏特性對(duì)強(qiáng)度增益和線(xiàn)性分束器的透射率的依賴(lài)性, 證實(shí)了該系統(tǒng)存在真正的四組份糾纏.此外, 為了更好地解釋系統(tǒng)的糾纏結(jié)構(gòu), 研究了該系統(tǒng)中可能存在的三組份糾纏和兩組份糾纏.

2 理論推導(dǎo)

圖1(a)為由線(xiàn)性分束器連接的兩個(gè)獨(dú)立的四波混頻過(guò)程的結(jié)構(gòu)圖.該方案可以產(chǎn)生四組份糾纏的關(guān)鍵是引入了線(xiàn)性分束器, 它將兩個(gè)獨(dú)立的四波混頻過(guò)程聯(lián)系起來(lái).圖1(b)為銣-85 D1線(xiàn)的雙L能級(jí)結(jié)構(gòu), 其中, 非線(xiàn)性相互作用強(qiáng)度極大地依賴(lài)于單光子失諧D和雙光子失諧d.

在四波混頻過(guò)程中, 湮滅的兩個(gè)抽運(yùn)光子會(huì)同時(shí)轉(zhuǎn)換成一個(gè)探針光子和一個(gè)共軛光子.在這里,分別用標(biāo)記探針光子和共軛光子, 相互作用強(qiáng)度用e表示,表示相互作用哈密頓量.在無(wú)耗盡及經(jīng)典抽運(yùn)近似條件下, 相互作用哈密頓量可以表示為

其中h.c.表示厄米共軛項(xiàng).

為了方便, 我們分別用 1, 2, 3 和 4 表示光束C1, Pr1, Pr3和 C3.由 (1)式可得, 系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以寫(xiě)為

基于(2)式和上述分析, 本方案中的正交振幅算符和正交相位算符的輸入輸出關(guān)系可以表示為

圖1 產(chǎn)生四組份糾纏的簡(jiǎn)化圖及銣-85 D1 線(xiàn)的雙 L 能級(jí)結(jié)構(gòu) (a) C0 和 C2 是真空態(tài)注入, Pr0 和 Pr2 是相干態(tài)注入; C1 和是第一個(gè)四波混頻過(guò)程產(chǎn)生的孿生光束, C3和是第二個(gè)四波混頻過(guò)程產(chǎn)生的孿生光束; 光束Pr1和Pr3是光束和經(jīng)過(guò)線(xiàn)性分束器混合后產(chǎn)生的; (b)銣-85 D1線(xiàn)的雙L能級(jí)結(jié)構(gòu), D和d分別表示單光子失諧和雙光子失諧Fig.1.A simplified diagram of quadripartite entanglement and an energy level diagram of rubidium-85: (a) C0 and C2 are vacuum states, Pr0 and Pr2 are coherent states; C1 and are the twin beams generated by the first four-wave mixing process, C3 and are the twin beams generated by the second four-wave mixing process; Pr1 and Pr3 are produced by mixing beams and through a linear beam splitter; (b) the double L energy level structure of D1 line in rubidium-85, D and d represent one-photon detuning and two-photon detuning respectively.

和

在本方案中, 兩個(gè)四波混頻過(guò)程的強(qiáng)度增益G1和G2是相互獨(dú)立的.在這里分別用

來(lái)表示輸出場(chǎng)的正交振幅算符和正交相位算符的協(xié)方差, 并且在 j = k 情況下時(shí), 其代表的是相應(yīng)的正交算符的方差.此外, 正交振幅算符和正交相位算符相互正交[3], 即因此,所有光束的協(xié)方差如下:

這一節(jié)推導(dǎo)了由線(xiàn)性分束器連接的兩個(gè)獨(dú)立的四波混頻過(guò)程的輸出場(chǎng)表達(dá)式, 接下來(lái)將重點(diǎn)研究該系統(tǒng)產(chǎn)生真正的四組份糾纏的可能性以及系統(tǒng)的糾纏結(jié)構(gòu).

3 系統(tǒng)糾纏結(jié)構(gòu)研究

3.1 四組份糾纏

這一節(jié)用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)[34,35]來(lái)檢驗(yàn)系統(tǒng)的四組份糾纏, 該判據(jù)是使用部分轉(zhuǎn)置協(xié)方差矩陣s的辛本征值來(lái)表示系統(tǒng)的糾纏特性, 如果所有的最小辛本征值v都小于1, 則表示系統(tǒng)是不可分離的.首先研究了這個(gè)方案產(chǎn)生四組份糾纏的可能性.在四組份情形中, 需要檢驗(yàn)七種可能的兩分形式, 其中包括四種 1 × 3 形式和三種 2 × 2 形式, 這七種二分形式如表1所列.

表1 四組份態(tài)的七種二分形式Table 1.Seven partitions of quadripartite state.

為了方便, 假設(shè)線(xiàn)性分束器的透射率h = 0.5.這里首先研究了四種1 × 3形式, 這種形式描述了每束光是如何與其他三束光糾纏的.圖2為四種1 × 3 形式的最小辛本征值 v, 它們都是 G1和G2的函數(shù), 其中圖2(a)—(d)分別是部分轉(zhuǎn)置應(yīng)用于光束 C1, Pr1, Pr3和 C3時(shí)的最小辛本征值 v.在圖2 中, 對(duì)于任何 G1> 1, G2> 1, 最小辛本征值v都小于1, 這表明每束光與剩余的三束光都存在糾纏, 并且糾纏隨強(qiáng)度增益G1和G2的增大而增強(qiáng).此外, 可以看出, 圖2(b) 和圖2(c) 的最小辛本征值v是相同的, 這是系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)致的.而當(dāng)部分轉(zhuǎn)置分別應(yīng)用于光束C1和C3時(shí), 其最小辛本征值v與另外一個(gè)四波混頻過(guò)程的強(qiáng)度增益無(wú)關(guān), 這說(shuō)明它們的糾纏來(lái)源于對(duì)應(yīng)的四波混頻過(guò)程, 而與另外一個(gè)四波混頻過(guò)程無(wú)關(guān).

圖2 四種 1 × 3 情形的最小辛本征值 v, 其為強(qiáng)度增益 G1 和 G2 的函數(shù) (a) C1 被部分轉(zhuǎn)置; (b) Pr1 被部分轉(zhuǎn)置; (c) Pr3 被部分轉(zhuǎn)置; (d) C3 被部分轉(zhuǎn)置Fig.2.The smallest symplectic eigenvalue v of all 1 × 3 scenarios, as a function of the power gains G1 and G2: (a) C1 is partially transposed; (b) Pr1 is partially transposed; (c) Pr3 is partially transposed; (d) C3 is partially transposed.

圖3 三種 2 × 2 情形的最小辛本征值 v, 其為強(qiáng)度增益 G1 和 G2 的函數(shù) (a) C1 和 Pr1 被部分轉(zhuǎn)置; (b) C1 和 Pr3 被部分轉(zhuǎn)置;(c) C1和 C3被部分轉(zhuǎn)置Fig.3.The smallest symplectic eigenvalues v of all 2 × 2 scenarios, as a function of the power gains G1 and G2: (a) C1 and Pr1 arepartially transposed; (b) C1 and Pr3 are partially transposed; (c) C1 and C3 are partially transposed.

同樣地, 也研究了三種 2 × 2 形式, 這種形式是將部分轉(zhuǎn)置應(yīng)用于四束光中的任意兩束光.圖3為三種2 × 2形式的最小辛本征值v, 其為強(qiáng)度增益G1和G2的函數(shù), 其中圖3(a)—(c)分別是部分轉(zhuǎn)置應(yīng)用于光束C1和 Pr1, C1和 Pr3以及 C1和C3時(shí)的最小辛本征值v.由圖3可得, 所有的最小辛本征值v都小于1, 這表明在四組份系統(tǒng)中, 每對(duì)光束都與其他光束糾纏, 并且強(qiáng)度增益G1和G2越大, 糾纏越強(qiáng).值得注意的是, 當(dāng)部分轉(zhuǎn)置應(yīng)用于一對(duì)光束C1和C3時(shí), 其最小辛本征值v與強(qiáng)度增益G1無(wú)關(guān), 并且只受強(qiáng)度增益G2的影響.換句話(huà)說(shuō), 它們的糾纏來(lái)源于第二個(gè)四波混頻過(guò)程,而與第一個(gè)四波混頻過(guò)程無(wú)關(guān).

基于上述的分析可知, 在線(xiàn)性分束器的透射率 h = 0.5 以及強(qiáng)度增益 G1> 1, G2> 1 時(shí), 系統(tǒng)所有的最小辛本征值v都小于1, 并且隨著強(qiáng)度增益G1和G2增加, 糾纏也在增強(qiáng), 這表明本文系統(tǒng)可以產(chǎn)生真正的四組份糾纏.

在研究了強(qiáng)度增益G1和G2對(duì)四組份糾纏的影響之后, 研究線(xiàn)性分束器的透射率h對(duì)四組份糾纏的影響也十分必要.在這里, 為了研究透射率h對(duì)四組份糾纏的影響, 假設(shè)兩個(gè)四波混頻過(guò)程的強(qiáng)度增益 G1= G2= 3.圖4 中所有的最小辛本征值v都是透射率h的函數(shù), 其中圖4(a)—(g)分別是 部 分 轉(zhuǎn) 置 應(yīng) 用 于 光 束 C1, Pr1, Pr3, C3以 及C1和 Pr1, C1和 Pr3, C1和 C3時(shí)的最小辛本征值v.由圖4 可得, 在透射率 h ≠ 0 或 h ≠ 1 時(shí), 系統(tǒng)存在真正的四組份糾纏.此外, 有些最小辛本征值v與透射率h無(wú)關(guān), 有些則與其緊密相關(guān).這是因?yàn)榫€(xiàn)性分束器僅連接了兩束光, 這會(huì)導(dǎo)致部分最小辛本征值v與線(xiàn)性分束器的透射率h相關(guān).

3.2 三組份糾纏

到目前為止, 我們已經(jīng)證明該方案可以產(chǎn)生真正的四組份糾纏.同時(shí), 研究系統(tǒng)所產(chǎn)生的三組份糾纏和兩組份糾纏將有助于進(jìn)一步了解該系統(tǒng)的糾纏結(jié)構(gòu).在這里, 假設(shè)線(xiàn)性分束器的透射率h =0.5.對(duì)于三組份態(tài)的糾纏特性, 我們是通過(guò)去除系統(tǒng)所產(chǎn)生的四束光中的一束光進(jìn)行研究的.很明顯, 這里有四種可能的三組份態(tài), 并且每種三組份態(tài)有三種 1 × 2 形式, 因此, 總共需要檢驗(yàn) 12 個(gè)1 × 2形式的最小辛本征值v.圖5給出了所有三組份態(tài)的最小辛本征值v, 其中圖5(a)—(c)是由光束C1, Pr1和Pr3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值 v, 圖5(d)—(f)是由光束 C1, Pr1和 C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值v, 圖5(g)—(i)是由光束C1, Pr3和C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值v, 圖5(j)—(l)是由光束 Pr1, Pr3和 C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值 v.由圖5 可得, 在 G1> 1,G2> 1時(shí), 所有三組份態(tài)的最小辛本征值 v都小于 1, 并且強(qiáng)度增益 G1和 G2越大, 糾纏越強(qiáng), 這表明輸出場(chǎng)的四束光在去除其中的任意一束光之后仍存在真正的三組份糾纏.此外, 由于系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性, 三組份態(tài) (C1, Pr1, C3)和 (C1, Pr3, C3) 的最小辛本征值v是一樣的.而三組份態(tài)(C1, Pr1,Pr3)和 (Pr1, Pr3, C3)的最小辛本征值 v 卻是不一樣的, 其最小辛本征值v分別受到兩個(gè)獨(dú)立的四波混頻過(guò)程的強(qiáng)度增益影響.

圖4 線(xiàn)性分束器的透射率 h 對(duì)四組份態(tài)的最小辛本征值 v 的影響 (a) C1 被部分轉(zhuǎn)置; (b) Pr1 被部分轉(zhuǎn)置; (c) Pr3 被部分轉(zhuǎn)置;(d) C3 被部分轉(zhuǎn)置; (e) C1 和 Pr1 被部分轉(zhuǎn)置; (f) C1 和 Pr3 被部分轉(zhuǎn)置; (g) C1 和 C3 被部分轉(zhuǎn)置Fig.4.Effect of the transmissivity of the linear beam splitter on the quadripartite entanglement of the system: (a) C1 is partially transposed; (b) Pr1 is partially transposed; (c) Pr3 is partially transposed; (d) C3 is partially transposed; (e) C1 and Pr1 are partially transposed; (f) C1 and Pr3 are partially transposed; (g) C1 and C3 are partially transposed.

圖5 四個(gè)三組份態(tài)的最小辛本征值v, 其為強(qiáng)度增益G1和G2的函數(shù) (a)?(c)是由C1, Pr1和Pr3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值v; (d)?(f)是由C1, Pr1和C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值v; (g)?(i)是由C1, Pr3和C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值v; (j)?(l)是由Pr1, Pr3和C3組成的三組份態(tài)的最小辛本征值vFig.5.The smallest symplectic eigenvalues v of all tripartite states as a function of power gains G1 and G2: (a)?(c) The smallest symplectic eigenvalues v of tripartite state composed of C1, Pr1 and Pr3; (d)?(f) the smallest symplectic eigenvalues v of tripartite state composed of C1, Pr1 and C3; (g)?(i) the smallest symplectic eigenvalues v of tripartite state composed of C1, Pr3 and C3;(j)?(l) the smallest symplectic eigenvalues v of tripartite state composed of Pr1, Pr3 and C3.

圖6 六種兩組份態(tài)的最小辛本征值v, 其為強(qiáng)度增益G1和G2的函數(shù) (a) 由C1和Pr1組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v;(b) 由C1和Pr3組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v; (c) 由C1和C3組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v; (d) 由Pr1和Pr3組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v; (e) 由Pr1和C3組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v; (f) 由Pr3和C3組成的兩組份的最小辛本征值vFig.6.The smallest symplectic eigenvalues v of all bipartite states as a function of power gains G1 and G2: (a) The smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of C1 and Pr1; (b) the smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of C1 and Pr3; (c) the smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of C1 and C3; (d) the smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of Pr1 and Pr3; (e) the smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of Pr1 and C3; (f) the smallest symplectic eigenvalues v of bipartite state composed of Pr3 and C3.

3.3 兩組份糾纏

接下來(lái)將通過(guò)去除系統(tǒng)輸出場(chǎng)中的任意兩束光來(lái)研究剩余兩束光的糾纏特性.這里需要檢驗(yàn)六種不同的兩組份態(tài)的糾纏特性.圖6為所有的兩組份態(tài)的最小辛本征值v, 其中圖6(a)—(f)分別是由 C1和 Pr1, C1和 Pr3, C1和 C3, Pr1和 Pr3, Pr1和C3以及Pr3和C3組成的兩組份態(tài)的最小辛本征值v.如圖6所示, 有些兩組份態(tài)(例如由C1和C3組成的兩組份態(tài))總不存在糾纏, 這是由于兩個(gè)四波混頻過(guò)程是相互獨(dú)立而導(dǎo)致的.而有些兩組份態(tài)(例如由C1和Pr1組成的兩組份態(tài))的糾纏特性則隨著強(qiáng)度增益G1和G2的增大而逐漸減小直至消失, 這是因?yàn)殡S著強(qiáng)度增益G1和G2的增大,線(xiàn)性分束器引入的額外噪聲迅速增大, 從而導(dǎo)致糾纏消失.

由于線(xiàn)性分束器的引入, 該系統(tǒng)存在真正的四組份糾纏和三組份糾纏, 并且隨著強(qiáng)度增益G1和G2的增大, 糾纏也會(huì)逐漸增強(qiáng).至于系統(tǒng)兩組份態(tài)的糾纏特性, 有些兩組份態(tài)總是可分離的.而有些兩組份態(tài)的糾纏的存在與否卻是有條件的, 即它們的糾纏特性受強(qiáng)度增益G1和G2的影響, 隨著兩個(gè)四波混頻過(guò)程的強(qiáng)度增益G1和G2的增大, 這些兩組份糾纏都會(huì)逐漸減小直至消失.

4 結(jié) 論

本文從理論上提出了一種利用兩個(gè)獨(dú)立的四波混頻過(guò)程和線(xiàn)性分束器產(chǎn)生真正的四組份糾纏的方案, 兩個(gè)獨(dú)立的四波混頻過(guò)程由線(xiàn)性分束器連接.首先應(yīng)用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)研究了強(qiáng)度增益對(duì)四組份糾纏的影響, 結(jié)果表明在整個(gè)增益區(qū)域內(nèi)都存在四組份糾纏, 并且強(qiáng)度增益越大, 糾纏程度越強(qiáng), 這表明本文系統(tǒng)能夠生成真正的四組份糾纏.然后研究了線(xiàn)性分束器的透射率對(duì)系統(tǒng)的四組份糾纏的影響, 發(fā)現(xiàn)只要線(xiàn)性分束器的透射率不為0或1, 系統(tǒng)也存在真正的四組份糾纏.最后, 通過(guò)研究該系統(tǒng)中可能存在的三組份糾纏和兩組份糾纏揭示了系統(tǒng)的糾纏結(jié)構(gòu).我們的理論研究為實(shí)驗(yàn)上利用原子系綜四波混頻過(guò)程產(chǎn)生真正的四組份糾纏提供了一個(gè)有效的方案.