肖思 秦應(yīng)霖 王慧 王鵬 馬海銘 何軍? 王迎威?

1) (中南大學(xué)物理與電子學(xué)院, 超微結(jié)構(gòu)與超快過程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 長沙 410083)

2) (上海交通大學(xué)物理與天文學(xué)院, 上海 200240)

通過在彈性薄板上引入切口, 構(gòu)建了多邊形輻射對(duì)稱金字塔型剪紙結(jié)構(gòu).利用伽遼金法求解的懸臂梁形變公式和懸臂梁組合的方法, 創(chuàng)建了用于解釋形變過程的“梁模型”, 得到n個(gè)模塊的正N邊形金字塔結(jié)構(gòu)的彈性系數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系公式, 并求出彈性系數(shù)線性閾值的表達(dá)式, 解釋了該結(jié)構(gòu)產(chǎn)生平面外扭曲的原因.利用推導(dǎo)的“梁模型”公式, 并通過有限元仿真和實(shí)驗(yàn)的方法, 系統(tǒng)研究了輻射對(duì)稱金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)特征, 驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性, 并用于已有報(bào)道的石墨烯剪紙結(jié)構(gòu)的力學(xué)特征分析.這項(xiàng)工作系統(tǒng)解釋了豎直拉伸的金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng).

1 引 言

在二維彈性薄板材料上引入切口, 形成鏤空的剪紙 (kirigami)結(jié)構(gòu), 可以改良材料屬性[1?4], 如傳統(tǒng)彈性薄板不能延展的缺點(diǎn).引入剪紙結(jié)構(gòu)后,薄板受到外力作用可因內(nèi)部應(yīng)力的釋放, 發(fā)生屈曲響應(yīng), 產(chǎn)生大幅度形變[5?8].通過這種方式加工具有優(yōu)良性能的二維薄膜材料[9?12], 特別是對(duì)微納米材料[13]加工, 可以極大地改變材料的力學(xué)性能[14,15].對(duì)于不能延展的電子器件, 如薄膜太陽能電池[16],通過剪紙結(jié)構(gòu)的加工也能大幅度提高器件的延展性.Rafsanjani和 Bertoldi[7]2017年在 Phys.Rev.Lett.上發(fā)表了關(guān)于方陣穿孔薄板力學(xué)響應(yīng)的研究,在單軸拉力作用下, 剪紙結(jié)構(gòu)薄板可以部分彎曲形成三維圖形, 產(chǎn)生周期性的永久褶皺; Rafsanjani等[8]2019年又在 Proc.Natl.Acad.Sci.U.S.A.發(fā)表了對(duì)圓柱帶狀剪紙結(jié)構(gòu)的研究, 通過選擇剪紙結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)調(diào)控剪紙單元的相變.目前, 多數(shù)研究聚焦在水平拉伸的帶狀結(jié)構(gòu), 可豎直拉伸的輻射對(duì)稱結(jié)構(gòu)的研究, 尤其是理論研究較少.

可以豎直延展的輻射對(duì)稱剪紙結(jié)構(gòu), 如金字塔結(jié)構(gòu), 有著良好的形變能力以及力學(xué)、電學(xué)特性.2015年, Blees等[1]在 Nature上發(fā)表了關(guān)于石墨烯剪紙結(jié)構(gòu)的研究, 表明金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)的石墨烯彈簧在部分條件下彈性系數(shù)為定值, 該結(jié)構(gòu)有望制作具有直觀視覺讀數(shù)的微小力測量設(shè)備; 2016年, He等[17]在J.Mater.Chem.A上發(fā)表了基于金字塔結(jié)構(gòu)制作的超級(jí)電容器研究, 能在三維空間拉伸.相似輻射對(duì)稱結(jié)構(gòu)也被用于制作可穿戴柔性傳感器[18].目前金字塔結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為的理論研究較少, 缺少合適模型解釋其力學(xué)響應(yīng).

本文基于伽遼金法(Galerkin method)[19]求解的懸臂梁公式對(duì)金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了理論解釋.將輻射對(duì)稱的金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)分割為若干“梁單元”的組合, 建立“梁模型”, 推導(dǎo)得到幾何參數(shù)對(duì)力學(xué)性能影響的解析解, 并對(duì)結(jié)構(gòu)的受力-形變的線性閾值做了推導(dǎo).通過有限元方法(finite element method, FEM)仿真和實(shí)驗(yàn)測試,對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.利用此理論, 能定量解釋輻射對(duì)稱剪紙結(jié)構(gòu)形變過程, 并通過對(duì)結(jié)構(gòu)扭曲現(xiàn)象的分析, 指出不同模塊切口長度L對(duì)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性的影響.

2 理論分析

2.1 金字塔剪紙模型

2015年, Blees等[1]在 Nature 上發(fā)表了利用石墨烯制作的微型剪紙結(jié)構(gòu)的研究, 實(shí)驗(yàn)測得金字塔型石墨烯剪紙結(jié)構(gòu)在微小力條件下, 彈性系數(shù)K = 2 × 10–6N·m–1.其剪紙結(jié)構(gòu)為典型的正四邊形金字塔結(jié)構(gòu), 母圖案如圖1(a)所示, 主要參數(shù)為: 正多邊形的邊數(shù)為 N = 4; 模塊數(shù)為 n = 3; 靠近內(nèi)側(cè)的第一個(gè)模塊切口長度最短, 定為L; 往外側(cè)的相鄰模塊的模塊切口長度為(b/2 + L + b/2),即兩側(cè)共增加長度為b; 相鄰模塊的連接長度一般不變, 為 x; 梁寬為 w; 薄板厚度為 t; 材料楊氏模量為E.固定最外層邊緣結(jié)構(gòu), 在垂直面內(nèi)施加拉力F后, 在面外的拉伸形變?nèi)鐖D1(b)所示.圖示結(jié)構(gòu)(n = 3)在受力形變后, 可以分為三個(gè)形變模塊,三個(gè)模塊的形變長度分別為 d1, d2, d3, 總形變?yōu)殚L度D.

為了對(duì)金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)在豎直方向形變過程進(jìn)行分析, 建立了如圖2的物理模型, 將此結(jié)構(gòu)分為若干個(gè)懸臂梁的組合, 采用“梁模型”分析它的受力形變.根據(jù)正四邊形剪紙結(jié)構(gòu)某個(gè)形變區(qū)域,對(duì)應(yīng)圖1(b)拉伸模型中的一個(gè)側(cè)面, 建立如圖2(a)所示的“梁模型”.圖2(a)中共有 3 個(gè)“梁模塊”, 分別為 m1, m2, m3.每個(gè)“梁模塊”可以看作由 4 個(gè)相同長度為 (L – x + 2b)/2 的“梁單元”組成.如圖2(b)的“梁單元”所示, 紅色虛線區(qū)域?yàn)榻M成側(cè)面結(jié)構(gòu)的一個(gè)基本的“梁單元”, 近似分割為兩個(gè)等效的一端受力而另一端固定的懸臂梁Beam A和Beam B.對(duì)于Beam A來說, 可以看作左端固定的懸臂梁,右端在受到右側(cè)梁Beam B向下拉伸的豎直力fA作用后向下彎曲, 產(chǎn)生的豎直方向撓度為dA, 懸臂梁的長度為 lA, 寬度為 w, 厚度為 t.Beam B 可類似定義.

圖1 典型金字塔型剪紙結(jié)構(gòu) (a) 邊數(shù) N = 4, 模塊數(shù) n = 3 的金字塔結(jié)構(gòu); (b) 模型在豎直拉力 F 作用下產(chǎn)生豎直形變Fig.1.Typical pyramid kirigami structure: (a) Pyramid structure with number of edges N = 4 and number of modules n = 3;(b) pyramid model produces vertical deformation under the action of vertical tension F.

圖2 由“梁單元”構(gòu)成的“梁模型” (a) 金字塔結(jié)構(gòu)一個(gè)形變區(qū)域簡化成的“梁模型”; (b) 懸臂梁組成的“梁單元”Fig.2.“Beam model” consisting of “beam elements”: (a) Simplified “beam model” of a deformed area of the pyramid structure;(b) “beam element” consisting of cantilever beams.

2.2 彈性系數(shù)理論分析

在如圖2(b)所示的懸臂梁Beam A模型中,采用伽遼金法計(jì)算撓度dA和受力fA的關(guān)系為[20]

式中l(wèi)A是懸臂梁的長度, 對(duì)應(yīng)此模型, lA長度為圖2(b)紅色虛線部分“梁單元”的一半, 長度為(L – x + 2b)/4, E 是材料的楊氏模量, I是梁的抗彎曲截面系數(shù).橫截面為長方形的抗彎曲截面系數(shù)表達(dá)式為 I = wt3/12, w 是梁的寬度, t是梁在彎曲方向的厚度, 即彈性薄板的厚度.對(duì)于懸臂梁在豎直方向產(chǎn)生的小撓度形變dA, 可以忽略高階項(xiàng),dA和fA的關(guān)系近似表達(dá)為

它的自由端彈性系數(shù)k可以表達(dá)為

代入I后的表達(dá)式為

圖2(b)紅色虛線區(qū)域中的“梁單元”可以看作是兩個(gè)相同懸臂梁結(jié)構(gòu)Beam A和Beam B串聯(lián)(類似于彈簧)的結(jié)果, 其彈性系數(shù)k為

圖2(a)的模塊m3可以看作四個(gè)紅色虛線區(qū)域“梁單元”, 即四對(duì)相同懸臂梁結(jié)構(gòu)Beam A和Beam B的組合.四個(gè)“梁單元”兩兩并聯(lián)后串聯(lián),因此組合后的k與單一“梁單元”保持一致, 即

每部分的施力大小與施加在一個(gè)側(cè)面上的拉力 f0是相等的, 即 f0= f1= f2= f3, 其中 f0為施加總拉力F的1/4.因此, 各模塊的形變長度d1,d2, d3的關(guān)系如下:

將三個(gè)部分的d和f關(guān)系代入(7)式中, 可以得到圖2(a)中一個(gè)側(cè)面的“梁模型”的力f0與形變D的關(guān)系為

在正四邊形金字塔結(jié)構(gòu)中存在四個(gè)相同的側(cè)面, 即四個(gè)“梁模型”的組合, 總的拉力F和形變長度D的關(guān)系為

如此類推, 對(duì)于存在n個(gè)模塊的正N邊形金字塔結(jié)構(gòu)的彈性系數(shù), 推廣為

各“梁單元”的形變是導(dǎo)致“梁模型”整體結(jié)構(gòu)形變的直接原因, 因此各模塊長為x的連接處對(duì)“梁模型”的形變不起作用, 故設(shè)去掉連接長度x的梁長 Leq= L – x, 化簡 (10)式得到彈性系數(shù) K 與輻射對(duì)稱金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)的參數(shù)(邊數(shù)N、模塊數(shù)n、模塊切口長度增加值b、梁長Leq、梁寬w、厚度t、楊氏模量E)的關(guān)系如下:

2.3 線性閾值理論分析

彈性系數(shù)K關(guān)系式(11)的適用范圍受到懸臂梁理論公式的適用范圍影響.懸臂梁理論公式采用了去掉高階項(xiàng)的小撓度曲線近似, 當(dāng)結(jié)構(gòu)形變超過保持彈性系數(shù)K為線性的最大形變, 即線性閾值DT時(shí), 其力學(xué)響應(yīng)表現(xiàn)為非線性.圖3給出了基于(1)式和(2)式的懸臂梁Beam A理論曲線與小撓度近似曲線對(duì)比, 在dA/lA小于0.3的范圍內(nèi),兩曲線近似相等, 在此范圍內(nèi)梁的受力與形變的關(guān)系可以采用“小撓度”近似公式計(jì)算.

圖3 基于(1)式和(2)式的懸臂梁理論曲線與小撓度近似曲線對(duì)比Fig.3.Theoretical curve of cantilever beam compared with the approximate theoretical curve of small deflection based on Eq.(1) and (2).

對(duì)于懸臂梁Beam A來說, 縱向形變dA與梁長lA之比小于0.3時(shí), 推導(dǎo)公式可適用.逐步推導(dǎo)至“梁模塊”, 線性閾值DT為“梁模塊”等效梁長的0.3 倍, 如對(duì)于設(shè)置參數(shù) L = 12 mm, x = 2 mm的單一模塊, 縱向形變 d 不超過 0.3(L – x), 即不超過 3 mm 時(shí), 推導(dǎo)公式可適用.推導(dǎo)至“梁模型”,如對(duì)于n = 3的四邊形結(jié)構(gòu), 當(dāng)豎直拉力F作用到3個(gè)模塊上時(shí), 由(7)式知, 在豎直拉伸過程中,各模塊的形變長度d與其對(duì)應(yīng)等效梁長成比例關(guān)系.當(dāng)模塊 m1形變達(dá)到線性閾值 0.3(L – x)時(shí),代入(7)式, 可得模塊m2和m3形變未達(dá)到線性閾值, 因此在拉伸過程中, 模塊切口長度L最短的模塊最先達(dá)到其線性閾值.在此情況下, 取模塊m1的閾值為 0.3(L – x), 將 0.3(L – x)代入 (7)式,可得到此時(shí)模塊m2和m3分別對(duì)應(yīng)的閾值.取三個(gè)模塊的線性閾值之和, 可以得到n = 3的四邊形結(jié)構(gòu)保持線性拉伸時(shí)的極限長度, 即線性閾值DT公式為

對(duì)于存在n個(gè)模塊的正N邊形金字塔結(jié)構(gòu)的線性閾值, 推廣為

令 Leq= L – x, 化簡 (13)式得

需要注意的是, 在具體適用中, 由于采用“小撓度”公式進(jìn)行計(jì)算, 結(jié)構(gòu)彈性系數(shù)的實(shí)際值會(huì)隨拉伸距離增加, 誤差逐漸增大.在形變達(dá)到線性閾值時(shí), 會(huì)產(chǎn)生6%左右的理論誤差.如果為追求精確, 可以適當(dāng)縮小DT計(jì)算公式(14)的常系數(shù)0.3的值.

3 公式驗(yàn)證

3.1 FEM驗(yàn)證

金字塔結(jié)構(gòu)剪紙的力學(xué)響應(yīng)可以被切口參數(shù)調(diào)制, 如 (11)式.為驗(yàn)證各參數(shù)的影響, 圖4 展示了利用FEM軟件進(jìn)行多點(diǎn)驗(yàn)證, 計(jì)算正多邊形彈性系數(shù)受切口參數(shù)調(diào)制的定量結(jié)果.本文中使用ANSYS Workbench 驗(yàn)證, 首先根據(jù)物理模型建模, 并在最上層多邊形平臺(tái)中心建立向上凸起表面的圓形平臺(tái)作為應(yīng)力施加邊界, 在最下層制作和最底層結(jié)構(gòu)大小相同的“回”形平臺(tái)作為約束邊界; 材料屬性設(shè)置為: 密度 300 kg/m3, 楊氏模量 1.2 GPa,泊松比0.3, 材料溫度22 ℃; 網(wǎng)格單元大小設(shè)置為20 mm.幾何參數(shù)設(shè)置為: L = 1.26 m, x = 2 cm,其余各參數(shù)設(shè)置在對(duì)應(yīng)圖中空白處給出了標(biāo)注.對(duì)模型位移進(jìn)行求解后, 利用施力F和得到的結(jié)構(gòu)最大形變D可以求出結(jié)構(gòu)彈性系數(shù)K.圖4(a)—(c)中的點(diǎn)表示對(duì)三個(gè)參數(shù)驗(yàn)證的FEM仿真值,彈性系數(shù)K分別與w, t3及N呈線性變化的關(guān)系,和K值理論公式(11)結(jié)果一致.對(duì)于梁寬w來說,增大w可以使彈性系數(shù)增大.對(duì)于厚度t, 彈性系數(shù)對(duì)厚度t最為敏感, t增大為2倍, K值會(huì)增大為8倍, 若需要大幅度增強(qiáng)結(jié)構(gòu)彈性系數(shù), 增加t是最有效的方法.反之亦然, 對(duì)于t為納米級(jí)的二維材料薄膜而言, 利用此類剪紙結(jié)構(gòu), 可以獲得極小的彈性系數(shù)K值, 從而測量微小力, 如光壓或光鑷力[1].對(duì)于邊數(shù)N來說, 增大 N可以增大K.但是增大N意味著需要占用更大的面積(如正六邊形的金字塔結(jié)構(gòu)面積是正四邊形的2.6倍左右),同時(shí)過大的N會(huì)限制b的大小, 因此之后研究均采用四邊形結(jié)構(gòu).

圖4 FEM模擬和理論計(jì)算驗(yàn)證彈性系數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系 (a)?(c) 彈性系數(shù)K分別與梁寬w、厚度t的三次方及邊數(shù)N值呈線性變化關(guān)系; (d) 取不同模塊切口長度L的增加值b, 驗(yàn)證K值與模塊數(shù)n的關(guān)系, 點(diǎn)為模擬值, 虛線為計(jì)算值Fig.4.Verify the relationship between elastic coefficient and structural parameters through FEM simulation and theoretical calculation: (a)?(c) The elastic coefficient K varies linearly with the beam width w, the cube of thickness t, and the number of sides N;(d) take different values b to verify the relationship between the elastic coefficient K and the number of modules n.The points are simulation values, and the dotted lines are calculated values.

圖4(d)中, 取不同的模塊切口長度L的增加值b, 驗(yàn)證了K與n的關(guān)系.圖中的點(diǎn)為FEM仿真值, 虛線為基于彈性系數(shù)K的計(jì)算公式(11)的理論計(jì)算值, 兩者保持了很好的一致性.對(duì)于n來說, 增大n即增加“梁模塊”會(huì)使K值縮小.此外,如圖4(d)中右下角插圖所示結(jié)構(gòu), 相鄰模塊的切口長度 L 均相等, 即 b = 0 時(shí), 計(jì)算和模擬的對(duì)應(yīng)結(jié)果為圖4(d)中六邊形.b = 0 時(shí)該結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)可以保持很好的線性關(guān)系, 同時(shí)可以使計(jì)算更加簡單; 當(dāng) b > 0 時(shí), 計(jì)算和模擬的對(duì)應(yīng)結(jié)果為圖4(d)中五邊形, K 值會(huì)小于 b = 0 的結(jié)構(gòu), 但其線性閾值DT會(huì)更大, 可拉伸范圍更大.

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證彈性系數(shù)K計(jì)算公式(11)和線性閾值DT計(jì)算公式(14), 在彈性紙板上制作了模塊數(shù)n為3的四邊形金字塔結(jié)構(gòu).紙板采用A4大小的270 g規(guī)格相片紙, 實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)圖形采用CAD(computer aided design)繪制, 用刻刀對(duì)打印好圖像的紙板進(jìn)行切割, 完成金字塔結(jié)構(gòu)的制作.為減小重力影響, 實(shí)驗(yàn)中將此結(jié)構(gòu)的底端最外層結(jié)構(gòu)固定在一豎直平面上, 通過水平滑動(dòng)裝置施加變化的水平拉力F, 用數(shù)字測力計(jì)記錄其拉力F與形變D 的關(guān)系.圖5(a)為實(shí)驗(yàn)圖, 結(jié)構(gòu)參數(shù)為: N = 4,n = 3, L = 7.5 cm, x = 8 mm, b = 1 cm, w =4.5 mm, t = 280 μm.

圖5(b)中黑色圓點(diǎn)數(shù)據(jù)為圖5(a)模型對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果, 紅色虛線為根據(jù)前10個(gè)點(diǎn)的線性擬合結(jié)果, 擬合彈性系數(shù)K (即直線斜率)值為3.606 N·m–1, 將擬合 K 值及其他參數(shù)代入 (9)式,計(jì)算得出楊氏模量E值為1.828 GPa, 與材料測量值一致, 與相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道在同一數(shù)量級(jí)[21].將各參數(shù)代入線性閾值公式(12), 經(jīng)過計(jì)算, 可得線性閾值 DT= 0.0946 m, 并在圖5(b)中用灰色虛線將其標(biāo)出.可以直觀地發(fā)現(xiàn), 拉力F和形變長度D的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在計(jì)算得到的線性閾值(虛線)左側(cè)藍(lán)色區(qū)域可以保持線性關(guān)系, 線性閾值右側(cè)紅色區(qū)域逐漸偏離線性變化.在線性閾值處, 實(shí)際測量的拉力F與計(jì)算出的拉力值有3.5%左右的誤差.拉伸長度超過閾值后, 誤差增大.因此, 基于“梁模型”推導(dǎo)的彈性系數(shù)K計(jì)算公式(11)和線性閾值DT計(jì)算公式(14)通過實(shí)驗(yàn)得到驗(yàn)證.且對(duì)于任意彈性薄板材料, 可以利用在薄板上切割金字塔型剪紙結(jié)構(gòu), 在結(jié)構(gòu)的線性閾值范圍內(nèi)采用 K的計(jì)算公式(11)來近似估算材料的楊氏模量E.

根據(jù)推導(dǎo)出的彈性系數(shù)K的計(jì)算公式(11),彈性系數(shù)K與厚度t的三次方成正比, 因此剪紙結(jié)構(gòu)如用于厚度為納米級(jí)的二維材料, 可以獲得高敏感度的微小力測量設(shè)備.如文獻(xiàn)[1]中采用多晶石墨烯制作金字塔型剪紙結(jié)構(gòu), 可在激光照射下產(chǎn)生形變, 從而直接測量激光驅(qū)動(dòng)力或間接測量激光光強(qiáng).基于實(shí)驗(yàn)條件限制, 研究直接參考文獻(xiàn)[1]中數(shù)據(jù), 用于定性驗(yàn)證彈性系數(shù)K的計(jì)算公式(11)和線性閾值DT的計(jì)算公式(14).對(duì)于二維材料制作的金字塔型剪紙彈簧, 圖5(c)為文獻(xiàn)[1]中采用多晶石墨烯制作的金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)在激光驅(qū)動(dòng)下產(chǎn)生的形變-受力估計(jì)值測量結(jié)果, 弱光強(qiáng)低光壓下表現(xiàn)為線性, 并且在線性閾值處逐漸偏離擬合曲線.文獻(xiàn)[1]中未給出金字塔結(jié)構(gòu)的具體參數(shù),根據(jù)實(shí)驗(yàn)圖像, 估算出結(jié)構(gòu)參數(shù)如 N = 4, n = 3,w = 2 μm, t = 0.335 nm, L = 20 μm, x = 2 μm,b = 10 μm, 并根據(jù)基于“梁模型”推導(dǎo)的彈性系數(shù)K的計(jì)算公式, 估算材料的楊氏模量約為68 TPa.該值相比常用石墨烯楊氏模量1.054 TPa[22], 有一個(gè)數(shù)量級(jí)的增強(qiáng), 推測是二維材料楊氏模量在彎曲狀態(tài)有數(shù)量級(jí)增加[23]所致.

針對(duì)圖5(b)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果, 力的測量誤差會(huì)隨著變形量的增加而增加, 這在變形量較大尤其是右側(cè)的非線性區(qū)域格外明顯.在測量力的大小時(shí), 進(jìn)行了多組實(shí)驗(yàn), 發(fā)現(xiàn)力的大小變化范圍大約為力的8%, 所以將誤差統(tǒng)一設(shè)定為受力F的8%.在圖5(b)的非線性區(qū)域, 金字塔結(jié)構(gòu)受大拉力作用下, 實(shí)驗(yàn)值偏移理論值, 彈性系數(shù)K表現(xiàn)出的非線性響應(yīng)是不可避免的.影響其非線性響應(yīng)的主要因素有三個(gè), 首先, 結(jié)合 (1)式和 (2)式, 可以發(fā)現(xiàn)舍棄掉的指數(shù)型高階項(xiàng)在微小力情況下值較小, 隨著受力的增大, 舍棄掉的指數(shù)型高階項(xiàng)逐漸增大, 這是主要因素; 其次, 在結(jié)構(gòu)拉伸過程中, 結(jié)構(gòu)受力產(chǎn)生的應(yīng)變會(huì)造成梁的扭曲, 這是另一個(gè)因素; 最后, 金字塔模型在重力影響下, 結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生一定的扭曲, 部分重力還可能會(huì)與拉力F抵消, 使結(jié)果偏離理論曲線.

圖5 利用實(shí)驗(yàn)對(duì) K, DT 的計(jì)算公式 (11)和 (14)式進(jìn)行驗(yàn)證 (a) 實(shí)驗(yàn)圖; (b) 四邊形實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù), 點(diǎn)為測量結(jié)果, 虛線紅色為線性區(qū)域擬合結(jié)果, 黑色虛線為計(jì)算出的線性閾值; (c) Nature上發(fā)表的石墨烯剪紙彈簧在激光驅(qū)動(dòng)下的形變-受力結(jié)果[1]Fig.5.The K and DT formulas (11) and (14) are verified experimentally: (a) Experimental picture; (b) the experimental data of the quadrangular pyramid structure, the points are the measurement results, the red dotted line is the linear region fitting result, and the black dotted line is the calculated linear threshold; (c) laser-driven deformation of graphene kirigami springs published in Nature[1].

在理論建模中, 需要考慮重力是否對(duì)模型有顯著影響.“梁模型”是由若干懸臂梁的線性疊加組成的, 因此整個(gè)模型力學(xué)響應(yīng)的線性特性與單個(gè)懸臂梁的線性特性保持一致.對(duì)于圖5(a)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ? 可以將模型分為懸臂梁組成的形變區(qū)域和頂部不發(fā)生形變的多邊形平臺(tái)區(qū)域.實(shí)驗(yàn)選擇的材料面密度為 270 g·m–2.對(duì)于懸臂梁組成的形變區(qū)域,單個(gè)懸臂梁所受重力是微小的.如以實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷牡讓幽K計(jì)算, 組成底部模塊的懸臂梁面積為2.349 ×10–5m2, 所受重力 G 約為 2.3 × 10–4N, 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪┝取0.2 N時(shí), 單個(gè)懸臂梁所受拉力約為2.5 ×10–2N, 相差兩個(gè)數(shù)量級(jí).其余模塊的懸臂梁所受重力更小, 可以認(rèn)為重力對(duì)單個(gè)懸臂梁的線性影響可以忽略.因此, 對(duì)于由懸臂梁組成的整個(gè)形變區(qū)域, 重力對(duì)其線性的影響可以忽略.對(duì)于頂部不發(fā)生形變的多邊形平臺(tái)區(qū)域, 特別是當(dāng)N取值較大時(shí), 其平臺(tái)重力G較大, 重力也可能與拉力抵消.經(jīng)過計(jì)算, 由于重力影響, 線性閾值會(huì)提前G/K左右.因此, 對(duì)于豎直拉伸的金字塔結(jié)構(gòu)中, 頂部平臺(tái)的重力G會(huì)導(dǎo)致公式適用范圍提前G/K左右, 但組成形變區(qū)域的懸臂梁重力影響可以忽略.

4 梁扭曲的影響

根據(jù)(14)式, 可以計(jì)算出金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)的拉伸線性閾值.但當(dāng)拉力較大, 金字塔結(jié)構(gòu)的每一個(gè)模塊會(huì)因形變發(fā)生橫向的收縮, 帶動(dòng)相鄰模塊, 使梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生平面外的扭曲.此扭曲會(huì)破壞結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性, 尤其是在厚度較小的二維材料中, 扭曲會(huì)導(dǎo)致彈性系數(shù)出現(xiàn)非線性變化[23].因此, 在設(shè)計(jì)剪紙結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí), 也要考慮梁扭曲對(duì)拉伸線性閾值的影響.

圖6建立了簡單的幾何關(guān)系用于解釋輻射對(duì)稱金字塔型的面外扭曲的產(chǎn)生原因, 此結(jié)構(gòu)的偏曲過程與文獻(xiàn)[24]中太陽能電池由二維到三維的形變過程類似.為研究金字塔結(jié)構(gòu)的偏曲影響因素,選取其中一個(gè)模塊進(jìn)行了研究, 如圖6(a)金字塔結(jié)構(gòu)形變的實(shí)物圖所示.圖6(b)為某一模塊形變的簡單示意圖.設(shè)單一模塊的切口長度為L, 在受豎直方向拉力產(chǎn)生的豎直方向形變?yōu)?? d , 根據(jù)其幾何關(guān)系對(duì)模塊切口長度L的橫向應(yīng)變 εT進(jìn)行了推導(dǎo).

該結(jié)構(gòu)未經(jīng)拉伸的模塊切口長度為L, 在產(chǎn)生豎直方向形變 ? d 后, 其長度 L1為

豎直形變引起的模塊切口長度L橫向應(yīng)變 εT為

其中

代入可得模塊切口長度L橫向應(yīng)變 εT為

由(18)式可以看出, 不同的模塊切口長度L可以調(diào)制橫向應(yīng)變 εT, 影響梁結(jié)構(gòu)扭曲.因此合適的參數(shù)取值可以提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性, 減小梁結(jié)構(gòu)扭曲發(fā)生的可能性.利用(18)式計(jì)算了不同模塊切口長度L對(duì)橫向應(yīng)變 εT的影響.圖7是計(jì)算結(jié)果,x取定值0.01 m, 結(jié)果表明產(chǎn)生同樣拉伸量的情況下, 模塊切口長度L越短, 引起的橫向收縮就越嚴(yán)重, 導(dǎo)致梁的扭曲越嚴(yán)重, 為了提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性,應(yīng)盡可能提高L長度.圖中計(jì)算了不同模塊切口長度L可能導(dǎo)致的橫向收縮 εT.在拉伸量 ? d 為模塊切口長度L的30%時(shí), εT值很容易就達(dá)到5%以上, 結(jié)合線性閾值公式(14), 表明形變超過線性閾值DT的結(jié)構(gòu), 會(huì)產(chǎn)生較大幅度的梁扭曲, 彈性系數(shù)會(huì)出現(xiàn)不可預(yù)測的非線性變化, 影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.

圖6 模塊的橫向收縮 (a) 模塊形變的實(shí)物圖; (b) 某一模塊形變的簡單幾何關(guān)系Fig.6.Transverse strain of a module: (a) Experimental diagram of module deformation; (b) simple geometric relationship of deformation of a single module.

圖7 不同模塊切口長度 L 對(duì)橫向應(yīng)變 εT 的影響Fig.7.Influence of different module cut length L on transverse strain εT.

對(duì)于結(jié)構(gòu)水平拉伸時(shí)的公式適用范圍, 不考慮重力, 有兩個(gè)主要限制因素, 分別是線性閾值公式(14)和橫向應(yīng)變公式(18)的限制, 通過兩公式的對(duì)比, 可以發(fā)現(xiàn)模塊切口長度L和模塊連接長度x是影響公式適用范圍的主要因素.可以通過結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù), 計(jì)算出公式的適用范圍.下面以單一模塊為例進(jìn)行了適用范圍的分析與討論.對(duì)于L 遠(yuǎn)大于 x 的單一模塊, 如 L = 0.1 m, x = 0.01 m的結(jié)構(gòu), 采用線性閾值公式(14)計(jì)算得到的公式適用范圍為 D < 0.027 m 的區(qū)域; 采用 (18)式計(jì)算, 令 εT= 0.3, 可以得到公式適用范圍為 D <0.023 m 的區(qū)域, 可以發(fā)現(xiàn) (18)式為主導(dǎo)因素, 應(yīng)選擇公式適用范圍為 D < 0.023 m 的區(qū)域.對(duì)于L 略大于 x 的單一模塊, 如 L = 0.02 m, x = 0.01 m的結(jié)構(gòu), 采用線性閾值公式(14)計(jì)算得到的公式適用范圍為 D < 0.003 m 的區(qū)域; 采用 (18)式計(jì)算, 令 εT= 0.3, 可以得到公式適用范圍為 D <0.00341 m的區(qū)域, 可以發(fā)現(xiàn)(14)式為主導(dǎo)因素,應(yīng)選擇公式適用范圍為 D < 0.003 m 的區(qū)域.因此, 對(duì)于一般的結(jié)構(gòu), 為保證結(jié)果精確, 可以利用(14)式和(18)式分別計(jì)算結(jié)構(gòu)拉伸長度, 取結(jié)果較小的值作為公式適用范圍的約束.對(duì)于多個(gè)模塊的金字塔結(jié)構(gòu), 需要逐個(gè)計(jì)算每個(gè)模塊的公式適用范圍, 對(duì)所有模塊求和可以得到金字塔結(jié)構(gòu)的理論公式適用范圍.因此, 對(duì)于水平拉伸結(jié)構(gòu), 按照上述分析計(jì)算公式適用范圍; 對(duì)于豎直拉伸結(jié)構(gòu)的公式適用范圍, 需要考慮重力, 公式適用范圍一般相比水平拉伸結(jié)構(gòu)會(huì)縮小G/K左右.

5 結(jié) 論

本文系統(tǒng)研究了輻射對(duì)稱金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)特征.通過懸臂梁組合的方法, 構(gòu)建了“梁模型”, 得到n個(gè)模塊的正N邊形金字塔結(jié)構(gòu)的彈性系數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系, 并求出其線性閾值的表達(dá)式, 解釋了該結(jié)構(gòu)產(chǎn)生平面外扭曲的原因.結(jié)合FEM仿真和實(shí)驗(yàn)的方法, 驗(yàn)證該剪紙結(jié)構(gòu)彈性系數(shù)K公式以及線性閾值DT公式的正確性, 并用于已有報(bào)道的石墨烯剪紙結(jié)構(gòu)的力學(xué)特征分析.研究結(jié)果表明, 通過剪紙結(jié)構(gòu)參數(shù), 可以有效控制輻射對(duì)稱金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)的彈性系數(shù).在宏觀領(lǐng)域, 金字塔型剪紙結(jié)構(gòu)有望作為可控彈性系數(shù)的柔性結(jié)構(gòu)應(yīng)用于柔性器件領(lǐng)域; 在微觀領(lǐng)域, 有望利用二維材料制作具有直觀視覺讀數(shù)的微小力測量設(shè)備.