王彥蘭 李妍

(曲阜師范大學(xué)物理工程學(xué)院, 曲阜 273165)

基于背散射抑制且對(duì)缺陷免疫的傳輸性質(zhì), 光子拓?fù)浣^緣體為電磁傳輸調(diào)控提供了一種新穎的思路.類比電子體系中的量子自旋霍爾效應(yīng), 本文設(shè)計(jì)出一種簡(jiǎn)單的二維介電光子晶體, 以實(shí)現(xiàn)自旋依賴的光子拓?fù)溥吔鐟B(tài).該光子晶體是正三角環(huán)形硅柱子在空氣中排列而成的蜂窩結(jié)構(gòu).將硅柱子繞各自中心旋轉(zhuǎn)60°, 可實(shí)現(xiàn)二重簡(jiǎn)并的偶極子態(tài)和四極子態(tài)之間的能帶翻轉(zhuǎn).這兩對(duì)二重簡(jiǎn)并態(tài)的平均能流密度圍繞原胞中心的手性可充當(dāng)贗自旋自由度, 其點(diǎn)群對(duì)稱性可用來構(gòu)建贗時(shí)間反演對(duì)稱.根據(jù) 微擾理論, 給出了布里淵區(qū)中心附近的有效哈密頓量以及對(duì)應(yīng)的自旋陳數(shù), 由此證實(shí)能帶翻轉(zhuǎn)的實(shí)質(zhì)是拓?fù)湎嘧?數(shù)值計(jì)算結(jié)果揭示, 在拓?fù)浞瞧接购推接沟墓庾泳w分界面上可實(shí)現(xiàn)單向傳輸且對(duì)彎曲、空穴等缺陷免疫的拓?fù)溥吔鐟B(tài).本文中的光子晶體只由電介質(zhì)材料組成并且晶格結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單, 實(shí)現(xiàn)拓?fù)湎嘧儠r(shí)無需改變柱子的填充率或位置, 只需轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度.因此, 這種結(jié)構(gòu)在拓?fù)溥吔鐟B(tài)的應(yīng)用中更為有效.

1 引 言

量子霍爾效應(yīng) (quantum Hall effect, QHE)[1,2]的發(fā)現(xiàn)開啟了凝聚態(tài)物理以拓?fù)湎嗪屯負(fù)湎嘧冏鳛楹诵母拍畹男缕?在拓?fù)湫圆煌南到y(tǒng)分界面上, 存在受體拓?fù)湫员Ｗo(hù)且對(duì)缺陷免疫的單向傳輸量子態(tài), 這在自旋電子、量子計(jì)算等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景[3?6].但是, 到目前為止, 已被證實(shí)具有非平庸拓?fù)湫缘碾娮酉到y(tǒng)是非常有限的, 而且大部分電子系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)都需要非常低的溫度, 這阻礙了人們對(duì)拓?fù)鋺B(tài)的研究和應(yīng)用.與凝聚態(tài)物理中的電子體系相比, 光子晶體、聲子晶體等人工周期性結(jié)構(gòu)在晶格結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、缺陷調(diào)控等方面具有更高的自由度, 這對(duì)拓?fù)洮F(xiàn)象的研究與應(yīng)用非常有利.在過去十幾年中, 基于拓?fù)淠軒д摰耐負(fù)涔庾訉W(xué)研究[7?28]和拓?fù)渎曌訉W(xué)研究[29?34]不斷發(fā)展.2008年,受電子系統(tǒng)中QHE的啟發(fā), Haldane和Raghu[7]從理論上指出, 在時(shí)間反演對(duì)稱性(time-reversal symmetry, TRS)破缺的電磁波系統(tǒng)中可實(shí)現(xiàn)單向傳輸?shù)氖中赃吔鐟B(tài).隨后, Wang等[8,9]在二維磁性光子晶體中利用材料的旋磁特性進(jìn)行相關(guān)研究, 構(gòu)建出陳數(shù)不為零的拓?fù)浣^緣體, 從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了手性邊界態(tài)的存在.Skirlo等[10,11]在鐵磁光子晶體中, 通過同時(shí)打破線性Dirac簡(jiǎn)并點(diǎn)和非線性簡(jiǎn)并點(diǎn)而獲得陳數(shù)大于1的拓?fù)浣^緣體以及相應(yīng)的多重單向傳輸態(tài).上述基于QHE的光子拓?fù)溥吔鐟B(tài)在光學(xué)耦合腔[12]、磁性光子晶體板[13]等不同系統(tǒng)中也先后被實(shí)現(xiàn).但是, 自然界中具有磁光響應(yīng)特性的材料稀少并且磁光響應(yīng)需要較強(qiáng)的磁場(chǎng), 這給光子QHE的實(shí)現(xiàn)帶來較大困難.而受拓?fù)浔Ｗo(hù)的電磁波傳輸若具有TRS, 則更有利于應(yīng)用到半導(dǎo)體等技術(shù)中.為此, 人們類比電子體系中的量子自旋霍爾效應(yīng) (quantum spin Hall effect, QSHE), 開始致力于實(shí)現(xiàn)光子QSHE的研究, 以獲得受TRS保護(hù)的螺旋邊界態(tài)[14?17,23?26].眾所周知, 在自旋為1/2的電子系統(tǒng)中存在受TRS保護(hù)的Kramers簡(jiǎn)并, 即能量的二重簡(jiǎn)并態(tài), 它由自旋向上態(tài)和自旋向下態(tài)組成.源于電子內(nèi)稟自旋的Kramers簡(jiǎn)并對(duì)于螺旋邊界態(tài)的實(shí)現(xiàn)至關(guān)重要[3?6], 但光子是玻色子, 不具有這種獨(dú)特的內(nèi)稟屬性.近年來, 諸多研究將贗自旋作為光子內(nèi)稟自由度, 采用不同的方法構(gòu)建光子Kramers對(duì), 以實(shí)現(xiàn)自旋依賴的光子拓?fù)溥吔鐟B(tài)[14?17].例如, 在電磁耦合超材料中利用橫向電場(chǎng) (transverse electric, TE)與橫向磁場(chǎng)(transverse magnetic, TM)偏振自由度構(gòu)建贗自旋態(tài)[14,15], 在壓電-壓磁超晶格光子晶體中利用左旋圓偏振與右旋圓偏振模擬電子自旋[16], 在環(huán)形諧振腔所組成的周期性耦合陣列體系中通過控制電磁波在諧振腔中的傳播方向來獲得光子自旋[17]等.與凝聚態(tài)物理中的Floquet拓?fù)浣^緣體類似,通過在光子哈密頓量中引入時(shí)間調(diào)制或等效于時(shí)間的調(diào)制, 也可以獲得獨(dú)特的拓?fù)涮匦? 這類光Floquet拓?fù)浣^緣體已在光學(xué)諧振腔耦合陣列[18]、螺旋形波導(dǎo)陣列[19]等體系中相繼被實(shí)現(xiàn).研究表明, 在三維光子晶體系統(tǒng)中也可實(shí)現(xiàn)三維光子QHE、三維光子QSHE等, 從而獲得三維k空間中的非平庸帶隙以及相應(yīng)的二維拓?fù)浣缑鎽B(tài)[20?22].

如文獻(xiàn)[14?17]所述, 對(duì)于光子QSHE的實(shí)現(xiàn), 無論是利用電磁波的偏振自由度還是利用電磁波在諧振腔中的耦合, 往往都需要雙各向異性或者具有電磁耦合等特殊性質(zhì)的材料, 并且晶格結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜.最近幾年的研究表明, 通過晶格對(duì)稱性的調(diào)控, 只用普通的介電材料即可在光子晶體中實(shí)現(xiàn)自旋依賴的拓?fù)溥吔鐟B(tài)[23?26].這種方案最早由Wu和Hu[23]在2015年提出.他們?cè)谟蓚鹘y(tǒng)介電材料組成的蜂窩狀光子晶體結(jié)構(gòu)變形為三角晶格結(jié)構(gòu)的過程中, 實(shí)現(xiàn)了帶隙從打開到關(guān)閉再到打開的拓?fù)湎嘧? 這種拓?fù)湎嘧兣c二重簡(jiǎn)并的偶極子態(tài)和四極子態(tài)(也被稱為p態(tài)和d態(tài))在布里淵區(qū)中心的能帶翻轉(zhuǎn)有關(guān).基于晶格對(duì)稱性構(gòu)建贗自旋態(tài)的這一物理思想不僅適用于布里淵區(qū)中心, 而且在布里淵區(qū)邊界的角點(diǎn)處也適用, 這極大地促進(jìn)了光子谷量子霍爾效應(yīng)[27,28]的研究與應(yīng)用.

在利用布里淵區(qū)中心G點(diǎn)的兩對(duì)二重簡(jiǎn)并態(tài)來構(gòu)建光子贗自旋時(shí), 大多數(shù)研究討論的是TM模式, 并且需要改變散射體的填充率或者改變散射體在原胞中的位置, 才能實(shí)現(xiàn)拓?fù)湎嘧?與之不同, 本文設(shè)計(jì)了一種蜂窩狀光子晶體結(jié)構(gòu), 只需旋轉(zhuǎn)散射體, 即可實(shí)現(xiàn)TE模式的拓?fù)湎嘧円约摆I自旋依賴的拓?fù)溥吔鐟B(tài).首先, 介紹兩種具有C6v對(duì)稱性的蜂窩狀光子晶體結(jié)構(gòu), 分別稱為P型和N型光子晶體, 并計(jì)算出對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu).結(jié)果顯示, 在散射體旋轉(zhuǎn)前后, G點(diǎn)的兩對(duì)二重簡(jiǎn)并態(tài),即p態(tài)和 d態(tài), 發(fā)生能帶翻轉(zhuǎn).然后, 分析 p態(tài)和d態(tài)的對(duì)稱性, 構(gòu)建出贗時(shí)間反演對(duì)稱算符和贗自旋態(tài).利用 k ·p 方法, 以贗自旋態(tài)為一組完備基,獲得了G點(diǎn)附近的有效哈密頓量, 并由此計(jì)算出兩種晶體的自旋陳數(shù).結(jié)果證實(shí)p態(tài)和d態(tài)的能帶翻轉(zhuǎn)實(shí)質(zhì)上是一種拓?fù)湎嘧?最后, 通過數(shù)值模擬證實(shí), 在P型和N型光子晶體分界面上存在背散射抑制且對(duì)缺陷免疫的拓?fù)溥吔鐟B(tài).

2 光子晶體中的能帶翻轉(zhuǎn)與拓?fù)湎嘧?/h2>

2.1 光子晶體系統(tǒng)

如圖1(a)所示, 將兩個(gè)正三角環(huán)形硅柱子組成一個(gè)“人工原子”(圖1(a)中用紫色標(biāo)記), 讓“人工原子”在空氣中按三角晶格結(jié)構(gòu)排列, 每一個(gè)硅柱子中心均位于六角蜂窩結(jié)構(gòu)的格點(diǎn)上, 并且其朝向與晶格點(diǎn)陣的高對(duì)稱方向重合.因此, 整體上構(gòu)造出與石墨烯晶格結(jié)構(gòu)[35]類似的六角蜂窩狀光子晶體.在這里, 取晶格常數(shù)為a, 硅柱子相對(duì)空氣的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為 εr=12 和 μr=1 , 其橫截面上內(nèi)外正三角形頂點(diǎn)到中心的距離分別為相鄰硅柱子中心的相對(duì)距離為將圖1(a)中所有硅柱子繞各自中心轉(zhuǎn)動(dòng)60°后, 得到另一種蜂窩結(jié)構(gòu)的光子晶體, 如圖1(b)所示, 對(duì)應(yīng)的“人工原子”在圖中用橙色標(biāo)記.

將圖1(a)和圖1(b)所示結(jié)構(gòu)分別稱為P型和N型光子晶體.在這兩種光子晶體中, 所有硅柱子的朝向都與六角蜂窩晶格點(diǎn)陣的高對(duì)稱方向一致, 這使得整個(gè)晶體結(jié)構(gòu)具有C6v對(duì)稱性.根據(jù)群論, 這兩種晶體在布里淵區(qū)中心上的任意一個(gè)本征態(tài)均對(duì)應(yīng)C6v點(diǎn)群中的一個(gè)不可約表示, 其中有兩個(gè)二維不可約表示, 分別稱為 E1和 E2不可約表示.E1表示對(duì)應(yīng)的本征態(tài)對(duì)于x軸和y軸的鏡像操作具有相反的宇稱, 而 E2表示對(duì)應(yīng)的本征態(tài)對(duì)于x軸和y軸的鏡像操作具有相同的宇稱.換言之,E1和 E2表示對(duì)應(yīng)的本征態(tài)在空間反演操作下分別具有奇宇稱和偶宇稱對(duì)稱性.此外, 這兩個(gè)二維不可約表示所對(duì)應(yīng)的本征態(tài)都是二重簡(jiǎn)并的.基于上述性質(zhì), 可以由 E1和 E2表示所對(duì)應(yīng)的本征態(tài)構(gòu)建出兩對(duì)二重簡(jiǎn)并的贗自旋態(tài), 并由C6v中的基本操作組合出一個(gè)反幺正算符 Ts, 滿足=?1.Ts與電子體系中的TRS相似, 保證了光子體系中的Kramers簡(jiǎn)并, 對(duì)應(yīng)的具有贗自旋的光子可類比為自旋為 1 /2 的費(fèi)米子.但是需要指出的是, 光子是玻色子, 其“費(fèi)米子”特性與所設(shè)計(jì)的蜂窩結(jié)構(gòu)對(duì)稱性息息相關(guān).

圖1 二維光子晶體的蜂窩結(jié)構(gòu)示意圖 (a) 由兩個(gè)正三角環(huán)形硅柱子所組成的“人工原子”(圖中用紫色標(biāo)記)在空氣中排列而成的三角晶格結(jié)構(gòu); (b) 與(a)相同, 但組成“人工原子”的兩個(gè)硅柱子繞各自中心轉(zhuǎn)動(dòng)60°(圖中用橙色標(biāo)記).a 為晶格常數(shù), a 1 和 a 2 為晶格基矢, 硅柱的相對(duì)介電常數(shù) εr=12 和相對(duì)磁導(dǎo)率 μr=1 , 內(nèi)√外正三角形的頂點(diǎn)到硅柱中心的距離分別為 r1=0.2a/和 r2=0.45a/,相鄰硅柱中心的相對(duì)距離為 L =a/, 紅色正六邊形所標(biāo)記的區(qū)域表示三角晶格的原胞Fig.1.Schematics of the honeycomb structure of two-dimensional photonic crystals: (a) Triangular lattice structure of “artificial atoms” composed by two equilateral-triangle-ring-shaped silicon rods, which are labeled by purple in the figure, embedded in an air host; (b) the same as panel (a), except that the silicon rods are rotated by 60°around their respective centers, the corresponding “ artificial atom” is labeled by orange in the figure.a 1 and a2 are unit vectors with length a as the lattice constant.The relative permittivity and permeability of silicon rods are εr=12 and μr=1 , respectively.The distance from the vertices of the inner and outer equilateral triangles to the center √ of the silicon rod are r1=0.2a/ and r2=0.45a/, respectively.The distance be√tween the centers of the neighboring silicon rods is L =a/.Red hexagons represent the unit cells of the triangular lattices.

2.2 能帶翻轉(zhuǎn)與拓?fù)湎嘧?/h3>

考慮二維光子晶體中的TE模式, 即磁場(chǎng)平行于硅柱子的軸向, 只有z分量 Hz, 而電場(chǎng)在平面內(nèi), 具有 x 分量 Ex和 y 分量 Ey的情形.由 Maxwell方程組可知, Hz滿足以下波動(dòng)方程:

其 中 εr(r)= ε(r)/ε0和 μr(r)= μ(r)/μ0分 別 表 示相對(duì)介電常數(shù)和相對(duì)磁導(dǎo)率,是真空或空氣中的光速.與電子晶體類似, 二維光子晶體具有周期性, 波動(dòng)方程(1)的解應(yīng)滿足布洛赫定理, 即

其中 unk(r) 是與晶格結(jié)構(gòu)具有相同周期性的周期性函數(shù).上述布洛赫函數(shù)所對(duì)應(yīng)的本征頻率 ωnk與布洛赫波矢k之間的關(guān)系即為色散關(guān)系, 又稱為光子晶體的能帶結(jié)構(gòu).布洛赫函數(shù) Ψnk(r) 滿足的正交關(guān)系為

其中 ? 表示原胞面積, 積分遍及整個(gè)原胞; δlj是克羅內(nèi)克函數(shù).

求解波動(dòng)方程的方法有很多, 可以利用一種基于有限元方法的商業(yè)軟件COMSOL Multiphysics求波動(dòng)方程的解, 從而得到光子晶體的本征態(tài)和能帶結(jié)構(gòu).圖2(a)和圖2(b)分別給出P型和N型光子晶體的能帶結(jié)構(gòu).由圖2可知, 在G點(diǎn)有兩個(gè)二重簡(jiǎn)并點(diǎn), 對(duì)應(yīng)本征態(tài)的磁場(chǎng)分布如插圖所示.顯然, 其中一對(duì)二重簡(jiǎn)并態(tài)是兩個(gè)偶極子態(tài), 而另一對(duì)二重簡(jiǎn)并態(tài)則是兩個(gè)四極子態(tài).偶極子態(tài)和四極子態(tài)相伴出現(xiàn), 并且二者與電子系統(tǒng)中的p, d軌道對(duì)稱性是相同的, 因此可將偶極子態(tài)和四極子態(tài)分別稱為p態(tài)和d態(tài).兩個(gè)簡(jiǎn)并的p態(tài)關(guān)于x軸和y軸的鏡像操作有相反的宇稱, 而兩個(gè)簡(jiǎn)并的d態(tài)關(guān)于x軸和y軸的鏡像操作有相同的宇稱.這與前面對(duì)晶格對(duì)稱性的分析相一致, p態(tài)對(duì)應(yīng)二維不可約表示 E1, d態(tài)對(duì)應(yīng)二維不可約表示 E2.將p態(tài)中關(guān)于x軸和y軸分別具有偶宇稱和奇宇稱對(duì)稱性的本征態(tài)記為 px態(tài), 另一個(gè)記為 py態(tài); 將 d 態(tài)中關(guān)于x軸和y軸同時(shí)具有偶宇稱對(duì)稱性的本征態(tài)記為 dx2?y2態(tài), 另一個(gè)記為 dxy態(tài).

圖2 能帶結(jié)構(gòu)與不可約表示 E 1 和 E 2 所對(duì)應(yīng)的本征態(tài) (a) P 型光子晶體的帶結(jié)構(gòu); (b) N 型光子晶體的帶結(jié)構(gòu).(a), (b) 中的插圖給出G點(diǎn)的二重簡(jiǎn)并偶極子態(tài)(圖中標(biāo)記為 px/py )和二重簡(jiǎn)并四極子態(tài) (圖中標(biāo)記為 dx2?y2/dxy )的磁場(chǎng)分布, 深紅色和深藍(lán)色分別表示磁場(chǎng) H z 的正負(fù)最大值, 旋轉(zhuǎn)硅柱子后發(fā)生了能帶翻轉(zhuǎn); (c) P型光子晶體中偶極子態(tài)的平均能流密度分布;(d) P型光子晶體中四極子態(tài)的平均能流密度分布, 箭頭顯示能流密度的大小和方向.在原胞中心附近, 能流密度具有逆時(shí)針和順時(shí)針圓偏振特性, 反映出贗自旋向上和贗自旋向下的取向性Fig.2.Band structures and the eigenstates for E 1 and E 2 irreducible representations: (a) Band structure of P-type photonic crystal; (b) band structure of N-type photonic crystal, the insets of (a) and (b) show the magnetic field distributions of the twofold degenerated dipolar state (marked as px/py ) and the twofold degenerated quadrupolar state (marked as dx2?y2/dxy ) at G point,and the positive and negative maxima of the magnetic field, H z , are represented by dark red and dark blue, respectively, band inversion takes place under the rotation of the silicon rods; (c) real-space distributions of the time-averaged Poynting vector for the dipolar states in P-type photonic crystal; (d) real-space distributions of the time-averaged Poynting vector for quadrupolar states in P-type photonic crystal; the arrows show the direction and magnitude of the Poynting vector, whose anticlockwise/clockwise circular polarization around the unit cell center reveals the pseudospin-up/pseudospin-down orientation.

雖然P型和N型光子晶體在G點(diǎn)都出現(xiàn)p態(tài)和d態(tài), 但兩種本征態(tài)的相對(duì)位置不同.在P型光子晶體中, p態(tài)的頻率低于d態(tài)的頻率; 但在N型光子晶體中, p態(tài)的頻率高于d態(tài)的頻率.這說明通過旋轉(zhuǎn)散射體可實(shí)現(xiàn)能帶翻轉(zhuǎn), 而能帶翻轉(zhuǎn)前后所對(duì)應(yīng)帶隙的拓?fù)湫圆煌?能帶翻轉(zhuǎn)前, p態(tài)和d態(tài)之間的帶隙是拓?fù)淦接沟? 而能帶翻轉(zhuǎn)后, 二者之間的帶隙是拓?fù)浞瞧接沟?換言之, 將光子晶體由P型變?yōu)镹型時(shí)發(fā)生了拓?fù)湎嘧? 后面的討論會(huì)進(jìn)一步驗(yàn)證這一結(jié)論.這里需要注意的是, 兩種晶體的能帶結(jié)構(gòu)除了發(fā)生能帶翻轉(zhuǎn)以外, 還具有共同的完全帶隙, 這為實(shí)現(xiàn)拓?fù)溥吔鐟B(tài)提供了非常有利的條件.

3 贗時(shí)間反演對(duì)稱性與贗自旋態(tài)

在圖1所示的系統(tǒng)中, 除了Maxewll方程所反映的TRS以外, 還隱藏著與晶體C6v對(duì)稱性相關(guān)的贗時(shí)間反演對(duì)稱性.根據(jù)群論, 三角晶格中二維不可約表示 E1和 E2的基函數(shù)分別為 ( x,y) 和它們與態(tài)具有相同的對(duì)稱性[23].以 ( x,y) 為基函數(shù), 轉(zhuǎn)動(dòng) θ 角所對(duì)應(yīng)的矩陣表示為

定義一個(gè)幺正算符

其中 σy是泡利矩陣.以為基函數(shù), 轉(zhuǎn)動(dòng) θ 角所對(duì)應(yīng)的矩陣表示為

可以驗(yàn)證

由上述分析可知, 在所設(shè)計(jì)的光子晶體系統(tǒng)中, 對(duì)于 E1和 E2模式均有=?1.這與電子系統(tǒng)中TRS的性質(zhì)是相同的, 保證了晶體在G點(diǎn)出現(xiàn)Kramers 簡(jiǎn)并.因此, 稱 (7)式所定義的算符 Ts為贗時(shí)間反演算符, 晶體對(duì)稱性在構(gòu)建贗時(shí)間反演對(duì)稱性時(shí)起到很關(guān)鍵的作用.

在P型和N型光子晶體中, 定義贗自旋態(tài)為

以 ( p+,p?) 為基函數(shù)的表象與以 ( px,py) 為基函數(shù)的表象之間的幺正變換矩陣為

因此, 以 ( px,py) 為基函數(shù)時(shí), (5) 式所定義的算符相應(yīng)地變?yōu)?/p>

由 (13)式可知, 波函數(shù) ( p+,p?) 是兩個(gè)對(duì)應(yīng)不可約表示 E1的贗自旋態(tài), 在贗時(shí)間反演操作下, 贗自旋向上的 p+態(tài)變?yōu)橼I自旋向下的 p?態(tài), 反之亦然.顯然, 對(duì)于 ( d+,d?) 有相同的結(jié)論, 二者分別表示與不可約表示 E2對(duì)應(yīng)的贗自旋向上和贗自旋向下的態(tài).

為觀察p態(tài)和d態(tài)的贗自旋性, 計(jì)算出兩種本征態(tài)的能流密度時(shí)間平均值 〈 S〉=Re[E ×H?]/2.圖2(c)和圖2(d)分別給出P型光子晶體中贗自旋偶極子態(tài)和贗自旋四極子態(tài)的平均能流密度分布.在原胞中心附近, 平均能流密度呈逆時(shí)針圓偏振或順時(shí)針圓偏振分布, 即顯示出左旋手性或右旋手性, 對(duì)應(yīng)贗自旋向上或贗自旋向下.

4 有效哈密頓量與自旋陳數(shù)

為理解圖2所示的兩種晶體帶隙的拓?fù)湫再|(zhì),下面根據(jù) k ·p 微擾理論[23,36,37]得到G點(diǎn)附近的有效哈密頓量, 并計(jì)算出對(duì)應(yīng)的自旋陳數(shù).設(shè)G點(diǎn)的四個(gè)本征態(tài)為 Γα(α =1,2,3,4) : Γ1=px, Γ2=py,Γ3=dx2?y2, Γ4=dxy.由 k ·p 微擾理論可知, 在G點(diǎn)附近, 任意k點(diǎn)的本征態(tài) Ψnk(r) 均可展開為Γα(α =1,2,3,4)態(tài)的線性組合, 即

將(14)式代入(1)式, 并利用基函數(shù) Γα的正交關(guān)系可得G點(diǎn)附近的有效哈密頓量為

當(dāng)以 ( p+,d+,p?,d?) 為一組完備基時(shí), G點(diǎn)附近的有效哈密頓量為

方程(18)所描述的有效哈密頓量與Bernevig-Hughes-Zhang模型中描述CdTe/HgTe/CdTe量子阱系統(tǒng)的有效哈密頓量形式類似, 由此可知,所設(shè)計(jì)的光子系統(tǒng)會(huì)因能帶翻轉(zhuǎn)而出現(xiàn)光子的QSHE.為進(jìn)一步驗(yàn)證這一結(jié)論, 需要計(jì)算出兩種帶隙所對(duì)應(yīng)的自旋陳數(shù)[4,23,38].由方程(18)得自旋陳數(shù)為

對(duì)于圖2(a)中所示的P型光子晶體, M >0 ,B<0, 因此 C±=0 , 這說明對(duì)應(yīng)的帶隙是拓?fù)淦接沟? 對(duì)于圖2(b)中的 N型光子晶體, M <0 ,B<0, 因此 C±=±1 , 對(duì)應(yīng)的帶隙是拓?fù)浞瞧接沟?由此可見, 通過旋轉(zhuǎn)散射體, 基于能帶翻轉(zhuǎn)可實(shí)現(xiàn)由平庸態(tài)到非平庸態(tài)的拓?fù)湎嘧?

5 贗自旋依賴的拓?fù)溥吔鐟B(tài)

5.1 超原胞與拓?fù)溥吔鐟B(tài)

由前面的分析可知, 在P型和N型光子晶體分界面上會(huì)出現(xiàn)自旋依賴的拓?fù)溥吔鐟B(tài).為證實(shí)拓?fù)溥吔鐟B(tài)的存在, 計(jì)算出由拓?fù)浞瞧接购屯負(fù)淦接构庾泳w所構(gòu)成的超原胞的投影帶結(jié)構(gòu), 結(jié)果如圖3(b)所示.在投影帶結(jié)構(gòu)中, 除了兩種晶體的體態(tài)(圖3中用黑點(diǎn)標(biāo)注)以外, 在共同帶隙中還存在著非體態(tài)(圖3中用紅點(diǎn)標(biāo)注).計(jì)算紅點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的本征場(chǎng)分布后發(fā)現(xiàn), 它們的磁場(chǎng)主要局域在兩種晶體的分界面上, 在晶體內(nèi)部會(huì)迅速衰減.這說明圖3(b)中紅點(diǎn)表示邊界態(tài)的色散關(guān)系.需要注意的是, 邊界態(tài)的色散關(guān)系在G點(diǎn)有微小的帶隙, 這是因?yàn)镃6v對(duì)稱性在兩種晶體的分界面上受到一定程度的破壞, 但這并不影響對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫再|(zhì).在圖3(b)中取兩點(diǎn)C和D, 即 k//=±0.02×π/a ,所對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)和平均能流密度在超原胞下分界面上的分布如圖3(c)和圖3(d)所示.顯然, C 和D兩點(diǎn)的平均能流密度分別呈逆時(shí)針和順時(shí)針分布, 這與贗自旋向上態(tài)和贗自旋向下態(tài)的手性特征相符合.根據(jù)邊界態(tài)的手性可知, 在圖3(a)所示體系的上邊界上同時(shí)存在兩種邊界態(tài): 向右傳輸?shù)内I自旋向下態(tài)和向左傳輸?shù)内I自旋向上態(tài); 在下邊界上也同時(shí)存在兩種邊界態(tài): 向左傳輸?shù)内I自旋向下態(tài)和向右傳輸?shù)内I自旋向上態(tài).

圖3 投影帶結(jié)構(gòu)與拓?fù)溥吔鐟B(tài) (a) 由拓?fù)浞瞧接购屯負(fù)淦接构庾泳w所組成的條帶形的超原胞結(jié)構(gòu)示意圖; (b) 超原胞沿ΓK方向的投影帶結(jié)構(gòu), 條帶形的超原胞中間有20個(gè)非平庸原胞, 其兩端各有10個(gè)平庸原胞, 紅點(diǎn)和黑點(diǎn)分別表示邊界態(tài)和體態(tài); (c) C點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)和平均能流密度在超原胞的下分界面上的分布; (d) 與圖(c)相同, 但對(duì)應(yīng)的是圖(b)中的D點(diǎn); 紅色和藍(lán)色分別代表磁場(chǎng) Hz 的正負(fù)最大值, 箭頭顯示能流的大小和方向Fig.3.Project band structure and topological edge states: (a) Schematic of a ribbon-shaped supercell composed of topologically nontrivial crystal with its two edges cladded by topologically trivial crystals; (b) dispersion relation along GK direction for the ribbonshaped supercell, the ribbon has 20 nontrivial unit cells in the middle and 10 trivial unit cells on both sides, the red and black dots display the edge and bulk states, respectively; (c) distribution of the magnetic field and time-averaged Poynting vector around the lower interface of the supercell, corresponding to point C indicated in panel (b); (d) the same as panel (c), but corresponding to the point D indicated in panel (b); the positive and negative maxima of the magnetic field, Hz , are represented by dark red and dark blue, respectively, and the arrows show the direction and magnitude of the Poynting vector.

5.2 拓?fù)溥吔鐟B(tài)的單向傳輸性

將蜂窩狀晶格結(jié)構(gòu)沿不同方向裁剪, 可以得到兩種典型的邊界, 即zigzag型和 armchair型[35].因此, 將P型和N型光子晶體放在一起會(huì)形成兩種典型的分界面: zigzag型分界面和armchair型分界面(圖4).在這兩種典型分界面上都會(huì)出現(xiàn)單向傳輸且對(duì)缺陷免疫的拓?fù)溥吔鐟B(tài).

圖4 P 型和 N 型光子晶體的兩種典型分界面 (a) zigzag型分界面; (b) armchair型分界面Fig.4.Two typical interfaces between P-type and N-type photonic crystals: (a) Zigzag interface; (b) armchair interface.

為了在拓?fù)湫圆煌木w分界面上激發(fā)單一贗自旋的拓?fù)溥吔鐟B(tài), 采用由八個(gè)天線所組成的手性類點(diǎn)源.如圖5(a)所示, 這八個(gè)天線均勻分布于半徑 R ≈0.03a 的圓上, 并且相鄰天線間的相位差為 π /4.當(dāng)八個(gè)天線的相位逆時(shí)針減小時(shí), 它們?cè)诳諝庵兴ぐl(fā)的磁場(chǎng)分布如圖5(b)所示, 對(duì)應(yīng)的手性類點(diǎn)源可激發(fā)贗自旋向上的拓?fù)溥吔鐟B(tài); 當(dāng)八個(gè)天線的相位順時(shí)針減小時(shí), 它們?cè)诳諝庵兴ぐl(fā)的磁場(chǎng)分布如圖5(c)所示, 對(duì)應(yīng)的手性類點(diǎn)源可激發(fā)贗自旋向下的拓?fù)溥吔鐟B(tài).在圖5(d)中, 將相位逆時(shí)針減小的手性類點(diǎn)源置于zigzag型分界面中部, 激發(fā)頻率 f ≈0.95c/a.顯然, 此類點(diǎn)源所激發(fā)的電磁波在兩種晶體內(nèi)部迅速衰減, 這是由激發(fā)頻率位于兩種晶體的共同帶隙之中所導(dǎo)致的.在晶體分界面上, 此類點(diǎn)源只能激發(fā)贗自旋向上的邊界態(tài), 因此電磁波只能向左傳輸, 而向右傳輸?shù)碾姶挪◣缀鯙榱?與之相反, 將相位順時(shí)針減小的手性類點(diǎn)源置于zigzag型分界面中部時(shí), 電磁場(chǎng)只能向右傳輸, 對(duì)應(yīng)贗自旋向下的拓?fù)溥吔鐟B(tài)(圖5(e)).圖6給出armchair型分界面上的邊界態(tài).由圖6可知, 相位逆時(shí)針減小的手性類點(diǎn)源所激發(fā)的電磁波只能向下傳輸, 而相位順時(shí)針減小的手性類點(diǎn)源所激發(fā)的電磁波只能向上傳輸.上述數(shù)值模擬結(jié)果表明, 在所設(shè)計(jì)的兩種光子晶體分界面上, 可以出現(xiàn)贗自旋依賴的單向傳輸拓?fù)溥吔鐟B(tài).

圖6 贗自旋依賴的邊界態(tài)沿 armchair型分界面的單向傳輸 (a) 相位逆時(shí)針減小的手性類點(diǎn)源所激發(fā)的電磁波沿armchair型分界面向下單向傳輸; (b) 相位順時(shí)針減小的手性類點(diǎn)源所激發(fā)的電磁波沿armchair型分界面向上單向傳輸; 圖中結(jié)構(gòu)的四周包圍著完美匹配層; 手性類點(diǎn)源頻率為 f ≈0.95c/a , 白色圓標(biāo)記源的位置, 其中的黑色箭頭表示源的相位減小方向; 豎直方向的白色箭頭表示邊界態(tài)的傳輸方向Fig.6.Unidirectional propagation of the pseudospin-dependent edge states localized at the armchair interface:(a) Downward unidirectional electromagnetic wave propagation excited by the point-like chiral source with an anticlockwise phase delay along the armchair interface;(b) upward unidirectional electromagnetic wave propagation excited by the point-like chiral source with a clockwise phase delay along the armchair interface.The structures are surrounded by the perfectly matched layers.The point-like chiral sources are marked as white circles with operating frequency f ≈0.95c/a , and their phase delay directions are represented by black arrows.The white arrows along the vertical direction indicate the propagation directions of the edge states.

5.3 拓?fù)溥吔鐟B(tài)的魯棒性

拓?fù)溥吔鐟B(tài)的一個(gè)重要特性是魯棒性, 即拓?fù)溥吔鐟B(tài)對(duì)缺陷免疫.為驗(yàn)證利用設(shè)計(jì)的光子系統(tǒng)所實(shí)現(xiàn)的拓?fù)溥吔鐟B(tài)具有魯棒性, 將P型和N型光子晶體拼接到一起, 形成含有四處 90?彎曲的分界面 (圖7(a)).頻率 f ≈0.95c/a 的平面電磁波從體系的左側(cè)入射, 結(jié)果顯示邊界態(tài)幾乎沒有反射地向前傳輸, 即使分界面上有四處 90?的彎曲.在圖7(b)中, 將兩個(gè)硅柱子從分界面上移走, 同樣讓平面電磁波從左側(cè)入射, 可以發(fā)現(xiàn)邊界態(tài)幾乎不受這種空穴缺陷的影響, 仍然可以無反射地向前傳輸.由此可知, 在P型和N型光子晶體的分界面上, 拓?fù)溥吔鐟B(tài)對(duì)彎曲、空穴等缺陷免疫, 具有很好的魯棒性.

圖7 拓?fù)溥吔鐟B(tài)的魯棒性 (a) 頻率 f ≈0.95c/a 的平面波入射到由P型和N型光子晶體組成的系統(tǒng)中所激發(fā)的磁場(chǎng)分布; (b) 與(a)圖相同, 但在分界面上引入空穴缺陷(圖中用橢圓形標(biāo)出).圖中結(jié)構(gòu)的四周包圍著完美匹配層, 紅色箭頭表示入射方向, 拓?fù)溥吔鐟B(tài)對(duì)分界面上的彎曲、空穴等缺陷免疫Fig.7.Robustness of the topological edge states against defects: (a) Magnetic field distribution under the excitation of a plane wave with operating frequency f ≈0.95c/a in the system consisting of P-type and N-type photonic crystals;(b) the same as panel (a), except that a cavity defect (displayed by ellipse) is introduced into the interface.The structures are surrounded by the perfectly matched layers.Red arrows represent the incident directions.The topological edge states are immune to various defects including sharp bend and cavity at the interface.

6 結(jié) 論

將正三角環(huán)形硅柱子在空氣中排列成蜂窩結(jié)構(gòu), 通過旋轉(zhuǎn)散射體在G點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了二重簡(jiǎn)并p態(tài)和二重簡(jiǎn)并d態(tài)之間的能帶翻轉(zhuǎn).利用p態(tài)和d態(tài)的C6v點(diǎn)群對(duì)稱性, 構(gòu)建出該光子體系中的贗時(shí)間反演對(duì)稱性, 并獲得贗自旋向上態(tài)和贗自旋向下態(tài).贗時(shí)間反演對(duì)稱性與晶體對(duì)稱性息息相關(guān),它與電子體系中真實(shí)的時(shí)間反演對(duì)稱性類似, 滿足正是這種贗時(shí)間反演對(duì)稱性保證了對(duì)應(yīng)光子體系中的Kramers簡(jiǎn)并.基于晶體對(duì)稱性的贗自旋態(tài)可用來實(shí)現(xiàn)光子體系中的QSHE.采用k·p方法, 獲得G點(diǎn)附近的有效哈密頓量, 由此計(jì)算出兩種光子晶體的自旋陳數(shù), 對(duì)應(yīng)結(jié)果闡釋了能帶翻轉(zhuǎn)與拓?fù)湎嘧冎g的內(nèi)在關(guān)系.數(shù)值模擬結(jié)果表明, 在所設(shè)計(jì)的拓?fù)湫圆煌墓庾泳w分界面上, 可以實(shí)現(xiàn)自旋依賴的單向傳輸邊界態(tài), 并且邊界態(tài)具有很好的魯棒性, 對(duì)彎曲、空穴等缺陷免疫.所設(shè)計(jì)的光子晶體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單, 并且只需要傳統(tǒng)的電介質(zhì)材料, 沒有內(nèi)在的焦耳熱損耗, 在拓?fù)溥吔鐟B(tài)的實(shí)際應(yīng)用中具有較大的優(yōu)勢(shì).