周 宇，孫鼎人，王樹國，王 璞

（同濟大學1. 道路與交通工程教育部重點實驗室；2. 上海市軌道交通結(jié)構(gòu)耐久與系統(tǒng)安全重點實驗室，上海201804；3. 中國鐵道科學研究院集團有限公司鐵道建筑研究所，北京100081）

當前，高硬度合金鋼軌和熱處理鋼軌的使用，延緩了高頻重載條件下鋼軌的磨耗，但同時也使得鋼軌表面滾動接觸疲勞現(xiàn)象顯著發(fā)生。 這種表面疲勞裂紋在輪軌荷載和線路條件綜合影響下萌生早、擴展快，導致鋼軌疲勞壽命縮短[1]。 因此，準確描述鋼軌滾動接觸疲勞裂紋擴展特性對于預測裂紋擴展規(guī)律、指導養(yǎng)護維修非常必要和迫切。

現(xiàn)場觀測發(fā)現(xiàn)輪軌荷載沿鋼軌縱向的連續(xù)作用，鋼軌表面疲勞裂紋以多裂紋的形式存在[2]。鄭欣平等[3]、黃明利等[4]和潘鵬志等[5]在研究巖石中裂紋擴展時發(fā)現(xiàn)多裂紋間有相互作用。 同理，鋼軌表面的多條裂紋也會在輪軌荷載下相互影響，需要確定其相互影響的特征。 在這方面，Dubourg 等[6]采用數(shù)值方法，Dhanasekar等[7]采用半解析法，F(xiàn)letcher[8]采用邊界元法分別建立了鋼軌表面接觸疲勞多裂紋模型，分析了多條裂紋尖端處的KⅠ和KⅡ型應(yīng)力強度因子值的變化；李偉，金學松[9]等利用熱機耦合有限元法，分析了輪軌滑動接觸時多裂紋相互作用和表面裂紋數(shù)量對鋼軌疲勞裂紋擴展特性的影響。 但上述方法的裂紋模型未考慮裂紋的真實形態(tài)。 為進行裂紋真實形態(tài)建模，傳統(tǒng)的電子顯微鏡觀測[10]，交變磁場檢測[11]，金相分析[12]等技術(shù)存在切割破壞裂紋、精度不高和無法反映裂紋空間三維形態(tài)等問題，已經(jīng)不能滿足要求，而X 射線計算機斷層掃描技術(shù)（CT 掃描）能夠在不破壞完整裂紋的前提下，掃描出裂紋真實三維形態(tài)特別是鋼軌內(nèi)部裂紋的尖端形態(tài)，已經(jīng)用于鋼軌裂紋空間三維形態(tài)的重構(gòu)、建模[13]和單裂紋擴展研究中[14]。

本文在CT 掃描的曲線外軌軌距角-軌肩滾動接觸疲勞裂紋真實形態(tài)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，采用柵格法提取裂紋尖端和開口的邊界點，形成裂紋真實三維數(shù)學模型；建立含多條真實裂紋的三維鋼軌有限元模型，分析不同的輪軌接觸位置、裂紋數(shù)量對裂紋尖端應(yīng)力強度因子的影響，研究多條裂紋存在下的裂紋相互影響特征，為準確預測裂紋擴展提供依據(jù)。

1 鋼軌滾動接觸疲勞裂紋建模

1.1 真實裂紋掃描和提取

考慮到疲勞裂紋在鋼軌內(nèi)部呈淺層、近平面狀分布的特征，以及CT 掃描設(shè)備的精度與鋼軌材料致密等特點，按照圖1 所示的方法制備試塊，以包含完整的軌距角-軌肩疲勞裂紋[13]。 對我國某重載鐵路600 m 半徑曲線、通過總重約62 MGT 時的外軌進行取樣，得到其軌距角-軌肩試塊（圖1 中的試塊1’）和滾動接觸疲勞裂紋點云數(shù)據(jù)如圖1 所示。

圖1 鋼軌試塊取樣及CT 掃描裂紋形態(tài)示意圖Fig.1 Specimen of rail & 3D geometry of cracks obtained by CT scanning

1.2 裂紋形態(tài)重構(gòu)

從圖1 可以看出，鋼軌軌距角-軌肩的疲勞裂紋呈近平面狀的空間擴展形態(tài)，因此將掃描得到的裂紋點云數(shù)據(jù)進行平面化處理，得到裂紋空間平面點集，之后進行裂紋開口和尖端邊界點的識別和尖端曲線的擬合。

為盡可能準確地還原裂紋開口和尖端形狀，采用柵格法對其邊界點進行識別，方法如下：

1） 遍歷平面化后的裂紋點集，得到包含所有點的最小矩形邊界；

2） 將矩形平均分成n 個正方形柵格，柵格的邊長為

式中：Xmax，Xmin，Ymax，Ymin分別為正方形柵格中裂紋點集在x 軸，y 軸上的最大值和最小值。

3） 在x 軸方向上Xk～Xk+LC范圍內(nèi)，找出點集的Ymax與Ymin，則點P1（x1，Ymin），P2（x2，Ymax）為該范圍內(nèi)的裂紋的邊界點；

4） 以此類推，找出Xmin～Xmax范圍內(nèi)的所有邊界點。

采用三次B 樣條曲線對裂紋尖端和開口的邊界點進行擬合，這樣就得到了真實裂紋形態(tài)的空間平面數(shù)據(jù)點集。其中定義裂紋開口各邊界點與裂紋尖端各邊界點沿裂紋面擴展方向的最大平面直線距離為裂紋長度。

1.3 含多條裂紋的三維鋼軌有限元模型

建立20 m 的長鋼軌全局有限元模型，并計算1 節(jié)車輛4 個車輪荷載作用下的鋼軌位移。其中扣件系統(tǒng)簡化為彈簧，并折算對應(yīng)的剛度及阻尼；軌枕、道床及基礎(chǔ)對鋼軌的支反作用簡化為彈簧底部接地約束；車輪荷載以集中力的方式施加在全局模型中。

在全局模型中截取20 cm 鋼軌作為子模型， 對子模型中輪軌接觸區(qū)域及裂紋所處位置進行網(wǎng)格加密。子模型的位移約束為上述全局模型計算的鋼軌位移；輪軌接觸荷載以接觸斑和接觸斑內(nèi)法向和切向力的形式施加。

將1.2 節(jié)得到的真實形態(tài)的裂紋點集生成殼單元面片，按照其所在的空間位置及裂紋間距[15]插入鋼軌子模型。

為了消除裂紋尖端的奇異性，需要對裂紋尖端所在區(qū)域重新劃分網(wǎng)格[16]。 同時，為方便分析裂紋尖端應(yīng)力強度因子的分布，采用無量綱的l/L 表示裂紋尖端各點的位置，其中，l 為裂紋尖端任意點與裂紋靠近軌距角一側(cè)的端點之間的樣條曲線長度，L 為裂紋尖端的樣條曲線全長，如l/L=0.5 表示該點位于裂紋尖端中點處。

1.4 輪軌接觸荷載施加方法

采用多體動力學軟件SIMPACK 建立車輛-軌道耦合動力學模型，計算并提取一節(jié)車輛通過曲線外軌時前后4 個車輪引起的輪軌力、接觸位置、輪對橫移量等參數(shù)。

子模型荷載是以接觸斑及其應(yīng)力的形式施加在鋼軌表面上，法向力、切向力、滑動區(qū)和黏著區(qū)分布分別由CONTACT[17]軟件、采用FASTSIM[18]算法計算。

通過改變接觸斑在鋼軌縱向的位置來近似模擬車輪在鋼軌表面滾動的過程，為分析車輪通過時多裂紋間相互影響， 應(yīng)考慮接觸斑與裂紋的相互位置， 圖2 以3 條裂紋工況為例說明接觸斑的施加方法：

1） 時刻T1： 接觸斑前端位于裂紋1 開口中心處，此時接觸斑沒有壓在任何裂紋上；

2） 時刻T2： 接觸斑中心位于裂紋1 開口中心處，由于裂紋間距小于接觸斑半長軸，所以接觸斑會壓在3 條裂紋上；

3） 時刻T3： 接觸斑中心在裂紋2 開口中心處，同樣這時接觸斑會壓在3 條裂紋上；

4） 時刻T4： 接觸斑中心在裂紋3 開口中心處，同樣這時接觸斑會壓在3 條裂紋上；

5） 時刻T5： 接觸斑末端在裂紋3 開口中心處，接觸斑沒有壓在任何裂紋上。

圖2 接觸斑荷載施加示意Fig.2 Steps of loading contact patches

2 多條裂紋相互影響分析方法

2.1 裂紋擴展參數(shù)

裂紋的擴展一般分為Ⅰ型（張開型）、Ⅱ型（滑開型）和Ⅲ型（撕開型）等形式[19]。 用應(yīng)力強度因子來表征上述3 種裂紋擴展形式下的裂紋尖端應(yīng)力場強度，計算公式如下[20]

式中：（r，θ，z）為柱坐標下表示的距裂紋尖端附近微元的位置；σy，τχy，τyz為裂紋尖端應(yīng)力，由1.3 節(jié)的有限元子模型計算得到。

2.2 多裂紋應(yīng)力強度因子影響系數(shù)

采用多裂紋應(yīng)力強度因子影響系數(shù)λ[21]來評價多裂紋情況下尖端應(yīng)力強度因子的變化情況如下

式中：i 代表Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型裂紋；Ki，n為n 條裂紋工況中處于中間位置的裂紋的尖端應(yīng)力強度因子最大值；Ki，1為單條裂紋工況的裂紋尖端應(yīng)力強度因子最大值。

可見，若Ki＞0，λi＞0 代表多裂紋間的相互影響促進裂紋擴展，λi=0 代表多裂紋間的相互影響對裂紋擴展無影響，λi＜0 代表多裂紋間的相互影響抑制裂紋擴展；若Ki＜0 則相反。

2.3 分析方法

1） SIMPACK 車輛-軌道耦合動力學模型計算得到1 節(jié)車輛一側(cè)的4 個車輪作用在外軌上的輪軌力、接觸斑位置、輪對橫移量等，并施加到鋼軌三維全局有限元模型中，計算出鋼軌位移；

2） CONTACT 和FASTSIM 計算接觸斑內(nèi)滑動-黏著區(qū)分布、接觸斑法向和切向應(yīng)力分布；

3） 將上述接觸斑蠕滑、應(yīng)力和位移約束施加到含多條裂紋的鋼軌有限元子模型中，按式（2）～式（4）分別計算不同時刻下的裂紋尖端各點的應(yīng)力強度因子；

4） 根據(jù)應(yīng)力強度因子和應(yīng)力的情況，檢驗含多條裂紋的鋼軌三維有限元模型；

5） 根據(jù)公式（5）計算多條裂紋尖端各點的應(yīng)力強度因子關(guān)系。

3 仿真參數(shù)

以我國某重載線路600 m 半徑曲線外軌為例，車輛為C70 貨車，軸重23 t，LM 磨耗型車輪踏面，運行速度為80 km/h。 鋼軌為標準75 kg/m U75V 熱處理鋼軌，軌底坡1∶40，鋼軌材料的泊松比0.3，屈服強度1 064 MPa，輪軌間摩擦系數(shù)為0.3。

根據(jù)第1 節(jié)的方法得到該線路條件下通過總重62 MGT 時外軌軌距角-軌肩的多條疲勞裂紋真實形態(tài)數(shù)學模型，現(xiàn)場觀測到這些裂紋在鋼軌表面間距平均值約為2 mm， 由此得到表1 所示的3 種仿真工況。

表1 多條裂紋的模型參數(shù)Tab.1 Parameters of cracks modeling

4 仿真結(jié)果分析

4.1 模型驗證

以工況2 中3 裂紋為例，通過改變裂紋面與軌頂面沿行車方向（鋼軌縱向）的夾角，計算相應(yīng)的裂紋尖端應(yīng)力強度因子，并提取T1～T5 時刻中間裂紋尖端的Von Mise 應(yīng)力最大值和尖端應(yīng)力強度因子最大值，如圖3 所示。

由圖3 可知，裂紋角度在10°～20°時，裂紋尖端區(qū)域的最大應(yīng)力隨角度的增大而增大；裂紋角度在20°～90°時， 裂紋尖端區(qū)域的最大應(yīng)力隨角度的增大而減小。 應(yīng)力強度因子KⅠ的最大值皆為負值， 表明圖2 所示的接觸斑荷載作用下，裂紋不發(fā)生張開型擴展。裂紋角度在10°～20°時，裂紋尖端應(yīng)力強度因子KⅡ，KⅢ最大值隨角度的增大而增大；裂紋角度在20°～90°時，裂紋尖端應(yīng)力強度因子KⅡ，KⅢ最大值隨角度的增大而減小。當裂紋角度為10°～30°時， 裂紋尖端區(qū)域最大Von Mise 應(yīng)力和KⅡ，KⅢ最大值較其他角度大，即該角度范圍內(nèi)裂紋最易發(fā)生擴展。

對曲線外軌軌距角-軌肩裂紋進行現(xiàn)場取樣和實驗室顯微觀測也發(fā)現(xiàn)： 裂紋擴展角度范圍在10.8°～29.4°[2]，與本文計算出的裂紋容易擴展的角度基本相同，驗證了本文所建立的多條裂紋擴展模型在裂紋擴展分析方面是可信的。

圖3 不同裂紋角度下Von Mise 應(yīng)力和裂紋尖端應(yīng)力強度因子Fig.3 Von Mise stress and stress intensity factors at different angels between crack and longitudinal direction

4.2 裂紋數(shù)量對擴展的影響分析

對工況1，2，3 里中間裂紋尖端各點的應(yīng)力強度因子進行分析，分別取接觸斑中心位于中間裂紋的開口中心處（T3 時刻）時的結(jié)果，如圖4 所示。 由圖3 可知，各個時刻的KⅠ始終小于零，表明這種荷載環(huán)境下，裂紋不發(fā)生張開型擴展，因此下面主要討論尖端應(yīng)力強度因子KⅡ，KⅢ。

圖4 不同裂紋數(shù)量下的裂紋尖端應(yīng)力強度因子Fig.4 Stress intensity factors at crack tip when number of HCs varies

由圖1 可知，CT 掃描和擬合得到的真實裂紋尖端并非理想圓弧形狀，且輪軌接觸荷載作用在裂紋上還受到鋼軌軌距角-軌肩廓形影響， 因此圖4 所顯示的裂紋尖端各點的應(yīng)力強度因子沿真實裂紋的尖端呈一定的波動，即裂紋尖端各點的擴展速率不同。

從圖4（a）進一步看出，各工況下， KⅡ沿裂紋尖端從軌距角一側(cè)（l/L=0）向軌頂中心一側(cè)（l/L=1）增加。 隨著裂紋數(shù)量的增多而KⅡ逐漸增大，即裂紋的滑開效應(yīng)越強。 從圖4（b）可以看出，各工況下，KⅢ以裂紋中心（l/L=0.5）為界，呈中心對稱。 隨著裂紋數(shù)量的增多，靠近軌距角一側(cè)（l/L＜0.5）的KⅢ增加，而靠近軌頂中心一側(cè)（l/L＞0.5）的KⅢ降低，即裂紋靠近軌距角一側(cè)的撕開效應(yīng)加強，而靠近軌頂中心一側(cè)的撕開效應(yīng)減弱。

相比單裂紋工況，3 條裂紋工況靠近軌距角一側(cè)的裂紋尖端應(yīng)力強度因子KⅡ和KⅢ最大值分別增大約15%和50%，5 條裂紋工況靠近軌距角一側(cè)的KⅡ和KⅢ最大值分別增大約80%和180%。

根據(jù)式（5）取不同裂紋數(shù)量工況里中間裂紋的尖端應(yīng)力強度因子最大值，計算不同裂紋數(shù)量下應(yīng)力強度因子影響系數(shù)λ，如圖5 所示。

由圖5 可知， 對于3 裂紋和5 裂紋工況，均有λⅠ＞0， 且5 裂紋工況的λⅠ更大， 但如圖3 所示，由于KⅠ為負，因此多裂紋的存在會抑制裂紋的張開效應(yīng)，而且裂紋數(shù)量越多，對裂紋張開的抑制作用越強；同理，λⅡ，λⅢ＞0，且5 裂紋工況的λⅡ，λⅢ也更大， 表明多裂紋的存在會促進裂紋的滑開效應(yīng)和撕開效應(yīng)，且裂紋數(shù)量越多，對裂紋的滑開和撕開的促進作用越強。

由此可見，多裂紋間的相互影響會抑制裂紋的張開效應(yīng)， 但會促進裂紋的滑開和撕開效應(yīng)，并且這種抑制或促進作用均隨裂紋數(shù)量的增加而增強。

圖5 不同裂紋數(shù)量下應(yīng)力強度因子影響系數(shù)Fig.5 Influence coefficient of stress intensity factors when number of HCs varies

4.3 不同時刻裂紋尖端應(yīng)力強度因子變化分析

提取工況2 在T1～T5 時3 條裂紋各自的尖端應(yīng)力強度因子最大值，如圖6 所示。

圖6 不同時刻裂紋尖端應(yīng)力強度因子Fig.6 Stress intensity factors at crack tip during T1～T5

由圖6 可知，由于3 條裂紋在不同時刻受到接觸斑的作用，裂紋1，2，3 的KⅡ和KⅢ隨接觸斑的移動依次變化。 3 條裂紋的KⅡ，KⅢ都是隨著接觸斑接近和離開該裂紋開口區(qū)域呈先增大后減小的趨勢。 裂紋1 在T2 和T3 時刻、裂紋2 在T3 和T4 時刻、裂紋3 在T4 時刻KⅡ和KⅢ較其他時刻大，這些時刻均為接觸斑中心附近位于該裂紋的開口時，對應(yīng)的裂紋尖端應(yīng)力強度因子處于最大值。

進一步將接觸斑中心分別位于裂紋1、裂紋2、裂紋3 開口中心處時，該處裂紋的尖端應(yīng)力強度因子的最大值與鋼軌只含單條裂紋（工況1）時，接觸斑位于裂紋開口中心時裂紋尖端應(yīng)力強度因子最大值進行對比，并計算3 條裂紋工況與單條裂紋工況時，KⅡ，KⅢ最大值的增量△KⅡ,max，△KⅢ,max，如表2 所示。

表2 單裂紋工況和三裂紋工況應(yīng)力強度因子 MPa·mm1/2Tab.2 Stress intensity factors of Condition 1 and 2

由表2 可知，當接觸斑作用于裂紋1，2，3 開口處時，相比單裂紋工況，裂紋1 的KⅡ,max和KⅢ,max分別增大了0.4%和3%， 裂紋2 的KⅡ,max和KⅢ,max分別增大了8%和26%， 裂紋3 的KⅡ,max和KⅢ,max分別增大了8%和7%， 表明多條裂紋的存在會使得裂紋尖端的應(yīng)力強度因子增大， 且裂紋2 的應(yīng)力強度因子最大值增量最大，即中間裂紋受到兩側(cè)裂紋的影響較明顯，裂紋3 次之，裂紋1 受到前方兩條裂紋的影響最小，因此研究多裂紋相互影響和擴展時，應(yīng)至少考慮3 條裂紋。

5 結(jié)論

1） 當裂紋面與鋼軌縱向夾角在10°～30°時，裂紋尖端區(qū)域的Von Mise 應(yīng)力和尖端應(yīng)力強度因子KⅡ，KⅢ達到最大值，與現(xiàn)場觀測的裂紋擴展角度基本一致，即該角度范圍內(nèi)裂紋最易發(fā)生擴展。

2） 在各工況、各時刻的荷載作用下，KⅠ始終小于零，表明這種情況下裂紋不受張開效應(yīng)而擴展。

3） 真實裂紋尖端并非理想圓弧形狀， 且輪軌接觸荷載作用在裂紋上還受到鋼軌軌距角-軌肩廓形影響，因此裂紋尖端各點的應(yīng)力強度因子沿真實裂紋的尖端呈一定的波動，使得裂紋尖端各點的擴展速率不同。

4） 接觸斑作用于裂紋中點的情況下，隨著裂紋數(shù)量的增多，裂紋尖端應(yīng)力強度因子KⅡ增大，KⅢ以裂紋尖端中點為分界點，靠近軌距角一側(cè)的增加，而靠近軌頂中心一側(cè)的降低。 說明裂紋數(shù)量的增加使得裂紋主要因滑開和撕開效應(yīng)而擴展，這種效應(yīng)隨著裂紋數(shù)量的增多而增強。 通過現(xiàn)場觀測發(fā)現(xiàn)，裂紋最早出現(xiàn)在鋼軌距角一軌肩處，并在輪軌接觸荷載作用下迅速擴展并形成裂紋群。 在上述結(jié)論下， 延緩軌距角一軌肩處鋼軌裂紋的萌生和擴展，應(yīng)優(yōu)化軌軌關(guān)系，降低該處鋼軌廓形，避免這里受到過多輪軌接觸。

5） 當接觸斑接近裂紋開口時，對應(yīng)裂紋的尖端應(yīng)力強度因子逐漸增大；當接觸斑遠離裂紋開口時，對應(yīng)裂紋的尖端應(yīng)力強度因子逐漸降低。 當接觸斑中心附近位于裂紋開口時，對應(yīng)的裂紋尖端應(yīng)力強度因子達到最大。

6） 多條裂紋的存在會使得裂紋尖端的應(yīng)力強度因子增大，中間裂紋受到兩側(cè)裂紋的影響較明顯。 考慮到仿真計算時間和多裂紋存在下對裂紋尖端應(yīng)力強度因子的影響，在進行裂紋擴展預測時應(yīng)至少考慮3 條裂紋。

7） 基于以上結(jié)論，為延緩鋼軌裂紋的萌生與擴展，建議在鋼軌裂紋出現(xiàn)在數(shù)量較少時對鋼軌進行預防性打磨，尤其是注意打磨軌距角處；同時，通過改善鋼軌材質(zhì)，改進鋼軌制造和熱處理等方法，提高鋼軌硬度，疲勞韌性。