馬永軒，馬仁冬，葛 磊

(1.沈陽(yáng)理工大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，沈陽(yáng)110159；2.北京計(jì)算機(jī)技術(shù)及應(yīng)用研究所，北京100854)

捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)是一種航位推算系統(tǒng)，因此在進(jìn)行工作前需要進(jìn)行狀態(tài)信息初始化，即需要確定捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始位置、速度和姿態(tài)矩陣。而確定初始姿態(tài)矩陣的過(guò)程即為慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始對(duì)準(zhǔn)。在眾多的初始對(duì)準(zhǔn)方法中，羅經(jīng)對(duì)準(zhǔn)方法參數(shù)設(shè)置簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、計(jì)算量較小，是捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)初始對(duì)準(zhǔn)技術(shù)的研究熱點(diǎn)。

近些年，有關(guān)羅經(jīng)對(duì)準(zhǔn)的相關(guān)研究較多，如文獻(xiàn)[1]研究了旋轉(zhuǎn)調(diào)制的羅經(jīng)對(duì)準(zhǔn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)調(diào)制將陀螺常值漂移變換成正弦信號(hào)，再通過(guò)合理設(shè)置相關(guān)參數(shù)將其濾除，進(jìn)而消除對(duì)對(duì)準(zhǔn)精度的影響。文獻(xiàn)[2]分析了隨機(jī)游走對(duì)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的影響，并推導(dǎo)出了誤差方差公式。文獻(xiàn)[3]研究了姿態(tài)逆向解算的羅經(jīng)對(duì)準(zhǔn)。文獻(xiàn)[4]研究了羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的收斂時(shí)間，給出了相關(guān)誤差的時(shí)域函數(shù)，為控制收斂時(shí)間提供了參考。

對(duì)于羅經(jīng)對(duì)準(zhǔn)的參數(shù)設(shè)置，文獻(xiàn)[5]研究了基于最優(yōu)模型的時(shí)變參數(shù)羅經(jīng)對(duì)準(zhǔn)算法，并利用遺傳算法對(duì)大方位失準(zhǔn)角條件下的羅經(jīng)對(duì)準(zhǔn)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[6]提出了基于粒子群算法優(yōu)化的捷聯(lián)羅經(jīng)初始對(duì)準(zhǔn)方法，將航向角的收斂速度和收斂精度作為構(gòu)建適應(yīng)值函數(shù)的重要參考，將對(duì)準(zhǔn)后半段的航向角誤差、航向?qū)?zhǔn)過(guò)程的超調(diào)量和上升時(shí)間以及水平姿態(tài)角誤差分配不同權(quán)值并求和作為構(gòu)建代價(jià)函數(shù)的最優(yōu)指標(biāo)，再利用粒子群優(yōu)化算法搜索出最優(yōu)羅經(jīng)參數(shù)。文獻(xiàn)[7]與文獻(xiàn)[6]類似，只是采用了遺傳算法作為參數(shù)尋優(yōu)算法。

然而這一類參數(shù)設(shè)置方法的缺點(diǎn)是明顯未考慮在實(shí)際的初始對(duì)準(zhǔn)過(guò)程中相關(guān)誤差的影響，如隨機(jī)游走系數(shù)、初始方位誤差、陀螺隨機(jī)常值漂移對(duì)羅經(jīng)對(duì)準(zhǔn)的影響，其代價(jià)函數(shù)的選取也值得商榷，因此會(huì)嚴(yán)重影響此類方法的實(shí)用性。

基于以上原因，本文綜合近年來(lái)羅經(jīng)對(duì)準(zhǔn)的相關(guān)成果，綜合考慮羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)過(guò)程中所存在的誤差源及各誤差源對(duì)初始對(duì)準(zhǔn)結(jié)果的影響，提出將羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)誤差方差最小作為評(píng)價(jià)準(zhǔn)則的參數(shù)設(shè)置方法；該方法綜合考慮了主要誤差源的影響，因此，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

1 羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的誤差源

羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的原理及羅經(jīng)回路設(shè)計(jì)可見文獻(xiàn)[4]，將羅經(jīng)回路設(shè)計(jì)成四階系統(tǒng)，則各項(xiàng)誤差源在該四階系統(tǒng)下的頻域響應(yīng)為

(1)

其中

(2)

以上符號(hào)的意義可參考文獻(xiàn)[4]。一般的羅經(jīng)回路設(shè)計(jì)為2個(gè)相同的二階系統(tǒng)串聯(lián)成的四階系統(tǒng)，且特征根設(shè)置為s1，2=s3，4=-σ±jωd，且σ=ωd=2π/Td，則有

Δ(s)=((s+σ)2+ωd2)2

(3)

此時(shí)有K1=K4=2σ，K2=4σ2/ωs2-1，K3=4σ4/g，則在羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)中，所有參數(shù)都與二階系統(tǒng)的阻尼振蕩周期Td有關(guān)，只需設(shè)定Td值，其它參數(shù)也就相應(yīng)確定。

由式(1)可知，影響羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)精度的共有5項(xiàng)：分別為北向加速度計(jì)零偏變化率▽N、東向陀螺漂移εE、東向角初始誤差φx(0)、天向陀螺漂移εU和方位角初始誤差φz(0)。然而，對(duì)于一般的慣導(dǎo)來(lái)說(shuō)，在進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)前，慣導(dǎo)都會(huì)進(jìn)行預(yù)熱，即使不預(yù)熱也會(huì)進(jìn)行慣性器件的溫度補(bǔ)償，因此，加速度計(jì)零偏變化率▽N，該項(xiàng)可忽略不計(jì)；對(duì)于東向角初始誤差φx(0)，當(dāng)羅經(jīng)對(duì)準(zhǔn)經(jīng)過(guò)水平調(diào)平后，這一項(xiàng)非常小，對(duì)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)影響有限，也可忽略不計(jì)；而對(duì)于天向陀螺漂移εU，當(dāng)Td設(shè)置較小時(shí)(1000s以下)，對(duì)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)影響較小，也可忽略。因此，主要影響羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的有東向陀螺漂移εE和方位角初始誤差φz(0)。然而式(1)中的誤差源為常值，在實(shí)際初始對(duì)準(zhǔn)過(guò)程中，還應(yīng)該考慮東向陀螺隨機(jī)漂移(主要表現(xiàn)為隨機(jī)游走)的影響；根據(jù)文獻(xiàn)[2]可知，隨機(jī)游走對(duì)初始對(duì)準(zhǔn)的影響是不可忽略的。因此，總結(jié)起來(lái)，羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的主要誤差源有三項(xiàng)，即東向陀螺常值漂移、東向陀螺隨機(jī)漂移、初始方位誤差，羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的誤差為這三項(xiàng)相加，即

φz(t)=φz0(t)+φz1(t)+φz2(t)

(4)

其中φz0(t)為東向陀螺常值漂移的對(duì)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)影響的誤差表達(dá)式，且有

(5)

φz1(t)為初始方位誤差對(duì)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)影響的誤差表達(dá)式，且有

(6)

φz2(t)為東向陀螺隨機(jī)漂移對(duì)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)影響誤差，為一隨機(jī)量，沒有確定的表達(dá)式，只有方差來(lái)表示，即

(7)

式中q為隨機(jī)游走系數(shù)。參考文獻(xiàn)[4]可知，羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的收斂時(shí)間與參數(shù)Td有關(guān)；在初始方位誤差為5°、陀螺常值漂移為0.05°/h時(shí)，至多在1.4Td時(shí)間即可收斂到0.01°的誤差帶內(nèi)。因此，假設(shè)對(duì)準(zhǔn)時(shí)間為T時(shí)，如需初始方位誤差和陀螺常值漂移的影響收斂，則Td的設(shè)置要小于T/1.4。然而，研究隨機(jī)游走對(duì)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)影響公式(7)可知，Td設(shè)置的越小，隨機(jī)游走產(chǎn)生的誤差方差則越大。因此，參數(shù)Td的設(shè)置，從收斂時(shí)間角度和隨機(jī)游走對(duì)對(duì)準(zhǔn)精度影響的兩個(gè)不同角度考慮，參數(shù)設(shè)置是矛盾的?？紤]初始對(duì)準(zhǔn)快速收斂，則需要Td設(shè)置小一些；考慮隨機(jī)游走的影響，則需要Td設(shè)置大一些。因此，想要得到最優(yōu)的參數(shù)設(shè)置，則需綜合考慮收斂時(shí)間和隨機(jī)游走對(duì)對(duì)準(zhǔn)精度的影響，對(duì)參數(shù)Td的設(shè)置有一個(gè)折中和平衡。

2 羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的精度評(píng)價(jià)

慣性導(dǎo)航系統(tǒng)初始對(duì)準(zhǔn)的精度評(píng)價(jià)，一般是以初始對(duì)準(zhǔn)的方差作為精度評(píng)價(jià)指標(biāo)，即在規(guī)定的對(duì)準(zhǔn)時(shí)間T內(nèi)，對(duì)準(zhǔn)的方差越小，則對(duì)準(zhǔn)精度越高。因此，在本文中，也以羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的方差作為精度評(píng)價(jià)指標(biāo)。本文在設(shè)置羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的參數(shù)Td時(shí)，以羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的方差最小作為目標(biāo)，因此，需要建立參數(shù)Td與方差的函數(shù)關(guān)系。

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于陀螺常值漂移，由于對(duì)慣性器件出廠前需要進(jìn)行標(biāo)定和補(bǔ)償，部分陀螺常值漂移已經(jīng)被補(bǔ)償?shù)簦鴼堄嗟某Ｖ灯茖?shí)際上是逐次啟動(dòng)的零偏重復(fù)性，該零偏重復(fù)性的大小可通過(guò)出廠前的測(cè)試統(tǒng)計(jì)出來(lái)。對(duì)于方位初始角誤差，一般為粗對(duì)準(zhǔn)的結(jié)果；對(duì)于多次對(duì)準(zhǔn)來(lái)說(shuō)，也是一個(gè)隨機(jī)量，在慣性器件精度一定的條件下，粗對(duì)準(zhǔn)精度也可以統(tǒng)計(jì)出來(lái)。因此，雖然φz(0)和εE在某一次對(duì)準(zhǔn)中是確定性輸入，但對(duì)于逐次啟動(dòng)初始對(duì)準(zhǔn)來(lái)說(shuō)，其為隨機(jī)量，即每次啟動(dòng)時(shí)φz0(t)和φz1(t)是隨機(jī)的，這里假設(shè)φz(0)和εE的方差分別為var(φz(0))和var(εE)，則φz(0)和εE對(duì)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)結(jié)果的影響是隨機(jī)的。參考文獻(xiàn)[2]可知，隨機(jī)游走對(duì)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的影響也是隨機(jī)的。因此，對(duì)于逐次啟動(dòng)進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)的慣導(dǎo)，其對(duì)準(zhǔn)結(jié)果為隨機(jī)變量，這三項(xiàng)誤差源對(duì)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的影響都是隨機(jī)的，且由于這三項(xiàng)誤差互相獨(dú)立，因此總誤差的方差為三項(xiàng)誤差的方差相加，即

var(φz(t))

=var(φz0(t))+var(φz1(t))+var(φz2(t))

(-σt+1)cos(ωdt))e-σt)2+

var(φz(0))(((σt+2)sin(ωdt)+

(-σt+1)cos(ωdt))e-σt)2

(8)

3 羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的參數(shù)設(shè)置方法

在工程應(yīng)用中，往往對(duì)對(duì)準(zhǔn)時(shí)間有要求，需要在規(guī)定的初始對(duì)準(zhǔn)時(shí)間T內(nèi)，設(shè)置參數(shù)Td，使得羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的精度最高，即使初始對(duì)準(zhǔn)的誤差方差var(φz(T))最小，則在經(jīng)過(guò)T時(shí)間的羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)誤差方差var(φz(T))為

(-σT+1)cos(ωdT))e-σT)2+

var(φz(0))(((σT+2)sin(ωdT)+

(-σT+1)cos(ωdT))e-σT)2

(9)

則式(9)可簡(jiǎn)化為

var(φz(T))=ax+b(1-((x+2)sinx+

(-x+1)cosx)e-x)2+c((x+2)sinx+

(-x+1)cosx)2e-2x

(10)

式(10)轉(zhuǎn)化為a、b、c可求的條件下，求var(φz(T))的最優(yōu)解x。

對(duì)于如式(10)的超越方程求最小值，從理論上來(lái)講，是沒有解析解的。因此，只能采用數(shù)值計(jì)算的方式求出最優(yōu)解，如牛頓法、最速下降法、智能優(yōu)化算法等。具體計(jì)算方法在這里不予贅述。

在計(jì)算條件不便的情況下，這里提供了一個(gè)次優(yōu)解，令(x+2)sinx+(-x+1)cosx=0，從而解得x=3.574，則有

Td=2πT/3.574=1.758T

(11)

該次優(yōu)解的優(yōu)點(diǎn)是，不論a、b、c如何取值，Td的取值只與規(guī)定的對(duì)準(zhǔn)時(shí)間長(zhǎng)度T有關(guān)，而與a、b、c的取值無(wú)關(guān)。這樣可以省卻a、b、c取值不同時(shí)，對(duì)參數(shù)Td進(jìn)行設(shè)置的麻煩，此時(shí)的方差為

(12)

此時(shí)即為忽略誤差震蕩項(xiàng)對(duì)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)的影響時(shí)羅經(jīng)方位的極限對(duì)準(zhǔn)精度。

這里還需注意的問(wèn)題是，在參數(shù)設(shè)置過(guò)程中，雖然能求得最優(yōu)或次優(yōu)解，但并不代表此時(shí)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)已經(jīng)收斂，實(shí)際上其誤差曲線仍然處于未收斂的震蕩狀態(tài)，只是根據(jù)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)誤差曲線的震蕩特性，在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)求得了誤差方差的最小值。因此如果在參數(shù)設(shè)置完成后，初始對(duì)準(zhǔn)過(guò)程中刻意延長(zhǎng)對(duì)準(zhǔn)時(shí)間，則反而有可能使對(duì)準(zhǔn)方差變大，對(duì)準(zhǔn)結(jié)果變差。因此，當(dāng)?shù)竭_(dá)對(duì)準(zhǔn)時(shí)間后，需立即停止羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)，并切換到導(dǎo)航狀態(tài)。

4 數(shù)值仿真

一般在進(jìn)行精度統(tǒng)計(jì)時(shí)，習(xí)慣用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示，即對(duì)方差開根號(hào)。由于方差都是大于0的數(shù)，選擇Td使初始對(duì)準(zhǔn)的方差最小時(shí)，也即是初始對(duì)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)差最小。因此，在仿真中，沿用傳統(tǒng)的習(xí)慣，對(duì)各帶有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的誤差參數(shù)都以標(biāo)準(zhǔn)差的形式來(lái)進(jìn)行表示。

假設(shè)羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)中，三個(gè)姿態(tài)角為0°、0°、0°，緯度為39.91°，初始方位誤差標(biāo)準(zhǔn)差0.5°，只有X陀螺有隨機(jī)常值漂移標(biāo)準(zhǔn)差0.01°/h，隨機(jī)游走系數(shù)為0.001°/h，初始對(duì)準(zhǔn)時(shí)間T=300s，則根據(jù)式(10)，可求得最優(yōu)參數(shù)設(shè)置Td=537s。為此，進(jìn)行500次的數(shù)值仿真，每次仿真時(shí)間600s，并對(duì)每一個(gè)對(duì)準(zhǔn)時(shí)刻的方位角誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，求得其標(biāo)準(zhǔn)差，具體結(jié)果見圖1所示。

圖1 方位角誤差標(biāo)準(zhǔn)差曲線

由圖1可以看出，初始對(duì)準(zhǔn)的方差在298s取得最小值，不論在298s前還是298s后，其標(biāo)準(zhǔn)差都大于298s時(shí)的方差，即使對(duì)準(zhǔn)時(shí)間達(dá)到了600s時(shí)，初始對(duì)準(zhǔn)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差仍然大于298s時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差，可見，單純的延長(zhǎng)初始對(duì)準(zhǔn)的時(shí)間，并不能有效的提高初始對(duì)準(zhǔn)精度。對(duì)參數(shù)Td的選擇，是十分重要的，盡管對(duì)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)差最小值在298s比理論上的300s少2s；且標(biāo)準(zhǔn)差最小值為0.0518°，比理論最小值0.0523°小0.0005°，但仍可認(rèn)為理論與實(shí)際仿真效果較為吻合，而這一誤差產(chǎn)生的原因主要是數(shù)值仿真產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的方差不夠準(zhǔn)確導(dǎo)致。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法的正確性，對(duì)于上述的仿真條件，設(shè)置Td=450、Td=600和由式(11)求得的次優(yōu)解Td=527，分別進(jìn)行500次仿真，再求誤差標(biāo)準(zhǔn)差，并與最優(yōu)解Td=537進(jìn)行比較，仿真結(jié)果見圖2所示。

從圖2可以看出，不論參數(shù)大于還是小于最優(yōu)解，在第300s時(shí)的初始對(duì)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)差都小于最優(yōu)解時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差；即使不在300s處取值，其最小值也小于Td=537的最小值，且設(shè)置的參數(shù)越接近最優(yōu)解，誤差標(biāo)準(zhǔn)差最小值越小，最小值越接近在300s時(shí)。觀察次優(yōu)解發(fā)現(xiàn)，雖然為次優(yōu)解，但與最優(yōu)解相差不大，因此在300s時(shí)的對(duì)準(zhǔn)結(jié)果也較好。

圖2 不同Td的方位角誤差標(biāo)準(zhǔn)差曲線

5 結(jié)論

在分析了羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)誤差的基礎(chǔ)上，提出了以對(duì)準(zhǔn)誤差方差最小為約束準(zhǔn)則的羅經(jīng)方位對(duì)準(zhǔn)參數(shù)設(shè)置方法，將參數(shù)設(shè)置轉(zhuǎn)化成為求取函數(shù)最小值的問(wèn)題，并針對(duì)最小值與三個(gè)參數(shù)都相關(guān)的情況，提出了一個(gè)次優(yōu)解，該次優(yōu)解只與對(duì)準(zhǔn)時(shí)間長(zhǎng)度有關(guān)，與其它參數(shù)無(wú)關(guān)，可在犧牲一定精度的條件下，更加簡(jiǎn)便的設(shè)置參數(shù)。數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文所提方法的正確性。