武 濤，郭雄飛 （安徽師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，安徽 蕪湖241002）

WU Tao, GUO Xiongfei (School of Economy and Management, Anhui Normal University, Wuhu 241002, China)

0 引 言

隨著消費(fèi)者需求的多樣化，大量的品牌制造商正逐步采取產(chǎn)品差異化的策略來滿足消費(fèi)者的個性化需求，而在產(chǎn)品差異化策略背景下，制造商的庫存和訂貨策略則發(fā)生了相應(yīng)變化，故基于需求固定，產(chǎn)品單一和采購價格固定等假設(shè)條件的EOQ 模型，已無法準(zhǔn)確地刻畫目前的供應(yīng)鏈商業(yè)實踐。

因此，近年來國內(nèi)外許多學(xué)者開始將傳統(tǒng)的EOQ模型進(jìn)行擴(kuò)展，例如將其中的某個參量由固定常數(shù)擴(kuò)展為時變參量，或者將傳統(tǒng)的單庫存系統(tǒng)演進(jìn)為雙庫存系統(tǒng)等。Hadley 和Matsuyama 等[1-3]研究了采購成本為變量的EOQ模型，將傳統(tǒng)研究中采購成本固定的條件做了進(jìn)一步延伸。鄭惠莉等[4]考慮了需求和采購價格時變的問題，給出庫存的最優(yōu)采購策略。張旭梅等[5]認(rèn)為開始補(bǔ)貨后缺貨補(bǔ)足需要的等待時間與短缺量拖后率有關(guān)，建立了補(bǔ)貨能力影響短缺量拖后率的邊補(bǔ)貨邊需求EOQ 模型。Birbil 等[6]考慮了積壓短缺的情形下額需求、采購價格和運(yùn)輸成本不變的EOQ 模型。羅兵等[7]進(jìn)一步考慮特價商品在缺貨期間顧客的等待意愿與價格和等待時間有關(guān)，構(gòu)建了一個需求相關(guān)下顧客等待意愿不相同的特價商品經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型。

而上述學(xué)者以及國內(nèi)外的大量對于EOQ 模型的研究，都是基于產(chǎn)品種類單一且不考慮市場競爭的背景，在目前的商業(yè)實踐中，因消費(fèi)者需求的個性化和多樣化，制造商往往采取橫向或縱向差異化的產(chǎn)品策略，而本文則分析了市場中存在高端和低端兩種差異化產(chǎn)品相互競爭的情形，并結(jié)合采購價格時變、存貨影響銷售等傳統(tǒng)研究假設(shè)，研究了產(chǎn)品差異化競爭等情形對EOQ 庫存模型的影響。

1 研究假設(shè)及符號定義

參照文獻(xiàn)[4]中基本的EOQ 模型，并基于市場中差異化產(chǎn)品互相競爭和價格時變的背景，本文的模型假設(shè)如下：（1） 系統(tǒng)的計劃銷售期是確定的。（2） 高端和低端產(chǎn)品的需求確定，且在市場中存在一定程度上的價格競爭。（3） 差異化產(chǎn)品的采購價格皆隨時間遞減，但高端和低端產(chǎn)品采購價格的遞減速率不同。（4） 參考文獻(xiàn)[4]，本文假設(shè)低端產(chǎn)品存在存貨影響銷售的情況，影響程度為任意時刻庫存水平的函數(shù)。而高端產(chǎn)品因其具有稀缺性、高價值性和低替代性等特點，故消費(fèi)者在購買高端產(chǎn)品時受存貨影響的程度較低，本文研究則忽略其影響。而通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，細(xì)致的銷售服務(wù)會讓消費(fèi)者愿意付出更多的等待時間，故本文考慮高端產(chǎn)品存在服務(wù)影響銷售的情況。（5） 允許缺貨，短缺量滯后供給率與短缺量獲得滿足的等待時間呈負(fù)指數(shù)關(guān)系；并假設(shè)補(bǔ)貨能及時滿足。

本文使用的數(shù)學(xué)符號如下：

t0：產(chǎn)品開始缺貨的時刻點；t1：下一周期開始補(bǔ)貨的時刻點；T：補(bǔ)貨周期的長度；S：庫存系統(tǒng)期初的庫存量；β：庫存影響銷售系數(shù)；RH,RL：高端和低端產(chǎn)品的銷售收入；CHH,CHL：高端和低端產(chǎn)品的保管成本；CBH,CBL：高端和低端產(chǎn)品的采購成本；CDH,CDL：高端和低端產(chǎn)品的丟單成本；CSH,CSL：高端和低端產(chǎn)品的滯后供給成本；DH,DL：高端和低端產(chǎn)品的市場需求，且高端和低端產(chǎn)品在市場中存在競爭，參考文獻(xiàn)[8]中的需求函數(shù)。

pBH,pBL：高端和低端產(chǎn)品的采購價格，且采購價格時變，隨著時間推移，高端和低端產(chǎn)品的采購價格皆存在一定程度的下降。因諸如高端電子產(chǎn)品和電器元件，受技術(shù)更新等因素的影響程度更高，參考文獻(xiàn)[9]，假設(shè)采購價格隨時間呈指數(shù)遞減，即而低端產(chǎn)品本身具有低價優(yōu)勢且市場替代性較低，本文參考文獻(xiàn)[9]，假設(shè)其采購價格隨時間線性遞減，即=p0-ηt。

對Chung 等[10]的短缺量滯后供給分?jǐn)?shù)進(jìn)行改進(jìn)，具體表示為：

其中，k1,k2分別表示價格和服務(wù)的短缺量拖后率影響因子，τ 為短缺量獲得滿足的等待時間。

2 數(shù)學(xué)模型

圖1 各周期內(nèi)庫存水平的變化情況

在企業(yè)差異化產(chǎn)品策略影響下，同時考慮到高端和低端產(chǎn)品采購價格隨時間推移呈現(xiàn)不同程度的遞減趨勢。本文建立的差異化產(chǎn)品EOQ 模型中，在補(bǔ)貨周期i內(nèi)，高端和低端產(chǎn)品的庫存水平（分別以表示） 隨時間變化的曲線由兩個階段構(gòu)成。如圖1 所示：第一階段，庫存系統(tǒng)中不發(fā)生缺貨，存貨被市場需求消耗至t0時刻，庫存水平降為0；第二階段，庫存系統(tǒng)中發(fā)生缺貨，且短缺量部分滯后供給，直到時間到達(dá)補(bǔ)貨的開始時刻t1。

在計劃時域內(nèi)，庫存水平的變化如圖1 所示，采購周期中時間區(qū)間為［0,t1］內(nèi)，高端和低端產(chǎn)品的庫存水平分別滿足以下方程：

由此可以分別計算出單個周期內(nèi)，高端和低端產(chǎn)品的銷售收入和各項成本：

銷售收入：

采購成本：

保管成本：

丟單成本：

因此高端和低端產(chǎn)品庫存系統(tǒng)中，單個銷售周期內(nèi)的平均利潤（以πH,πL表示） 為：

根據(jù)逆向歸納法和子博弈納什均衡原理，分析高端和低端產(chǎn)品庫存系統(tǒng)的平均利潤函數(shù)，可得制造商的最優(yōu)決策變量為：

3 模型分析及管理意義

證明：通過將低端產(chǎn)品的利潤函數(shù)πL對缺貨時間t2做一階和二階偏導(dǎo)可得：依據(jù)上文假設(shè)及分析，低端產(chǎn)品的市場需求始終存在且參數(shù)k0,k3和指數(shù)始終大于0。故當(dāng)?shù)投水a(chǎn)品的市場銷售價格滿足條件則始終存在

由定理1 可知，當(dāng)?shù)投水a(chǎn)品的銷售價格低于某一閾值時，隨著缺貨時間t2的增加，低端產(chǎn)品的利潤降低，因為當(dāng)產(chǎn)品價格過低時，消費(fèi)者放棄購買的機(jī)會成本較低，此時若缺貨時間增加，消費(fèi)者則會放棄或選擇市場中的其他零售商，從而造成利潤降低，且隨著缺貨時間推移，消費(fèi)者的購買欲望降低和等待成本增加，進(jìn)一步造成利潤損失加大。

定理2 高端和低端產(chǎn)品的利潤始終是關(guān)于期初庫存量S的凹函數(shù)，令若S＜SL，則?πL/?S＞0；若S＞SL，則?πL/?S＜0。令若S＜SH，則?πH/?S＞0；若S＞SH，則?πH/?S＜0。

由定理2 分析可知，當(dāng)差異化產(chǎn)品的期初庫存量較小且小于某一閾值時，隨著高端和低端產(chǎn)品庫存系統(tǒng)的期初庫存量增大，高端和低端產(chǎn)品的利潤會逐漸增加；當(dāng)差異化產(chǎn)品的期初庫存量較大且大于某一閾值時，隨著高端和低端產(chǎn)品庫存系統(tǒng)的期初庫存量增大，高端和低端產(chǎn)品的利潤會逐漸減少。但始終存在兩者利潤的增加速率隨期初庫存量的增大而遞減。

定理3 如圖2 所示，當(dāng)?shù)投水a(chǎn)品售價pL和丟單成本cDL位于區(qū)域T2,T3時，?πL/?b＜0；當(dāng)pL和cDL位于區(qū)域T1,T4時，?πL/?b＞0。如圖3 所示，當(dāng)高端產(chǎn)品銷售服務(wù)SH和丟單成本cDH位于區(qū)域Tb,Tc時，?πH/?B＜0；當(dāng)SH和cDH位于區(qū)域Ta,Td時，?πH/?b＞0。

圖2 低端產(chǎn)品售價pL 和丟單成本cDL 的變動范圍

圖3 高端產(chǎn)品銷售服務(wù)SH 和丟單成本cDH 的變動范圍

由定理3 分析說明，高端和低端產(chǎn)品的競爭程度越大，給高端和低端產(chǎn)品利潤帶來的影響是不明確的，就低端產(chǎn)品而言，當(dāng)產(chǎn)品的售價和丟單成本較低，且低于某一閾值時，差異化產(chǎn)品之間競爭越激烈，給低端產(chǎn)品帶來的利潤損失越大。就高端產(chǎn)品而言，當(dāng)產(chǎn)品銷售服務(wù)程度和丟單成本較低，且低于某一閾值時，差異化產(chǎn)品間競爭越激烈，則會造成高端產(chǎn)品利潤的減少。

定理6 當(dāng)時，高端產(chǎn)品的期初庫存量SH隨高端產(chǎn)品售價pH的提升而增加；當(dāng)/2 時，高端產(chǎn)品的期初庫存量SH隨高端產(chǎn)品售價pH的提升而減少。

證明：

4 數(shù)值仿真及靈敏度分析

為了求解本文提出模型的最優(yōu)策略，以及進(jìn)行主要參數(shù)的靈敏度分析，參考文獻(xiàn)[4]的數(shù)據(jù)，假定庫存系統(tǒng)的基本參數(shù)為：a=10，b=0.3，β=0.25，η=-0.005，k0=5，k1=0.1，k2=0.1，k3=0.2，ρ=1.3，p0=2，hL=1.5，hH=2.5，cDL=1，cDH=3，pH=9，pL=3，sH=4，本節(jié)對高低端產(chǎn)品替代程度、存貨影響銷售因子、等待時間敏感因子和消費(fèi)者對低端產(chǎn)品價格、高端產(chǎn)品服務(wù)敏感因子做了靈敏度分析。表1 至表5 反映了各參數(shù)分別對低端和高端產(chǎn)品的缺貨時間、期初庫存量和平均利潤的影響。

表1 存貨影響銷售因子β 的靈敏度分析

表2 高低端產(chǎn)品替代程度b 的靈敏度分析

由表1 可知，隨著存貨影響銷售因子的增大，低端產(chǎn)品的期初庫存量和平均利潤略微增加，缺貨時間不變，而高端產(chǎn)品的缺貨時間、期初庫存量和平均利潤不受影響。這是因為隨著存貨影響銷售因子增大，制造商則會通過進(jìn)一步增加低端產(chǎn)品的期初庫存量，以此增加低端產(chǎn)品在現(xiàn)貨期間的存貨量，刺激顧客消費(fèi)，從而增加銷售低端產(chǎn)品的平均利潤。而高端產(chǎn)品銷售時，顧客更多地是關(guān)注銷售服務(wù)和產(chǎn)品本身，受產(chǎn)品存貨數(shù)量的影響較小，故決策變量和平均利潤不受影響。

由表2 可知，隨著高低端產(chǎn)品的替代程度增加，高端和低端產(chǎn)品的期初庫存量和平均利潤均增大，而產(chǎn)品的缺貨時間均不受影響。這是因為隨著高低端產(chǎn)品的替代程度增加，差異化產(chǎn)品間的市場競爭愈加激烈，低端產(chǎn)品銷售商通過增加產(chǎn)品庫存，來增加產(chǎn)品銷售。高端產(chǎn)品銷售商通過增加產(chǎn)品庫存，一定程度上降低了缺貨帶來的丟單損失，以增加利潤。

表3 低端產(chǎn)品價格敏感因子k1 的靈敏度分析

表4 高端產(chǎn)品服務(wù)敏感因子k2 的靈敏度分析

由表3 和表4 可知，隨著低端產(chǎn)品價格敏感因子的增大，低端產(chǎn)品的缺貨時間減少，平均利潤先減少后增加，期初庫存量不變。高端產(chǎn)品的缺貨時間、期初庫存量和平均利潤均不受影響；隨著高端產(chǎn)品服務(wù)敏感因子增加，高端產(chǎn)品的缺貨時間和平均利潤均減少，期初庫存量不變。低端產(chǎn)品的缺貨時間、期初庫存量和平均利潤均不受影響。這是因為無論是隨著k1或k2增大，會造成低端或高端產(chǎn)品的短缺量供給分?jǐn)?shù)減小，使得產(chǎn)品的訂貨量減少，此時低端或高端產(chǎn)品銷售商應(yīng)縮短缺貨時間，及時滿足消費(fèi)者需求，從而彌補(bǔ)丟單帶來的利潤損失。

由表5 可知，隨著等待時間敏感因子的增大，低端產(chǎn)品的缺貨時間減少，期初庫存量不變，平均利潤減少；高端產(chǎn)品的缺貨時間減少，期初庫存量略微增加，平均利潤減少。同表3 和表4分析過程，這是因為隨著k3增加，會造成低端和高端產(chǎn)品的短缺量供給分?jǐn)?shù)減小，差異化產(chǎn)品的訂貨量均減少。此時，差異化產(chǎn)品銷售商應(yīng)縮短缺貨時間，以增加利潤。

表5 等待時間敏感因子k3 的靈敏度分析

5 結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)對于單一產(chǎn)品EOQ 模型研究的基礎(chǔ)上，基于市場中存在差異化產(chǎn)品競爭的背景，提出高端和低端產(chǎn)品短缺量滯后供給率是關(guān)于顧客等待時間、低端產(chǎn)品售價和高端產(chǎn)品服務(wù)水平的函數(shù)，并綜合考慮了差異化產(chǎn)品采購價格時變，低端產(chǎn)品存貨影響銷售等因素，建立了相應(yīng)的異質(zhì)品EOQ 模型，拓展了傳統(tǒng)EOQ 模型的實用性。通過建模計算和理論分析，可以發(fā)現(xiàn)對于高端和低端產(chǎn)品供應(yīng)鏈系統(tǒng)，存在最優(yōu)缺貨時間和產(chǎn)品期初庫存量使得差異化產(chǎn)品銷售商獲得最大平均利潤，并且差異化產(chǎn)品的銷售價格和競爭程度在不同的閾值范圍內(nèi)，決策變量對利潤的影響不同。并通過算例的數(shù)值仿真驗證了模型求解的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)低端產(chǎn)品的價格敏感因子、高端產(chǎn)品的服務(wù)敏感因子和顧客等待時間敏感因子的增加，會分別造成差異化產(chǎn)品的短缺量拖后率降低，從而銷售商需通過減少缺貨時間或增加產(chǎn)品期初庫存量來獲得最大平均利潤。本文提出的模型為商業(yè)實踐中采取產(chǎn)品差異化策略的制造商在產(chǎn)品定價、期初庫存量設(shè)置等方面的決策提供了參考。