■甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 盧會(huì)玉

解析幾何是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合,是代數(shù)解決幾何的典范。由于解析幾何蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想(函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想等),所以通過(guò)對(duì)解析幾何的考查,可以有效檢測(cè)同學(xué)們的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

解析幾何在高考中的考查內(nèi)容包括：直線與方程、圓與方程、圓錐曲線等內(nèi)容。題型有選擇、填空及解答題,考查形式有純粹的解析幾何試題,以及蘊(yùn)含在線性規(guī)劃、導(dǎo)數(shù)等試題中的直線方程問(wèn)題。純粹的解析幾何試題基本保持為兩道小題和一道解答題,分值為22分。選擇與填空題常有一道較低起點(diǎn)題,另一道則為較難題或者壓軸題。解答題的第(1)問(wèn)側(cè)重考查圓錐曲線的定義與基本性質(zhì);解答題的第(2)問(wèn),盡管可能有多種不同的呈現(xiàn)形式,但總離不開直線與圓或圓錐曲線的位置關(guān)系這一本質(zhì)的模式或套路。

通常解析幾何試題的計(jì)算量都比較大,導(dǎo)致同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中有恐懼心理,使得很多同學(xué)在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)只能走三步：求方程,聯(lián)立方程,韋達(dá)定理,然后就繼續(xù)不下去了。其實(shí)這種思維主要是由只重視代數(shù)運(yùn)算,而忽視幾何本質(zhì)所導(dǎo)致的。解析幾何應(yīng)該以幾何問(wèn)題為導(dǎo)向,關(guān)注幾何本質(zhì),以幾何為切入點(diǎn),這樣更容易找到解題思路。想要快而準(zhǔn)確地解決解析幾何問(wèn)題,應(yīng)遵循解析幾何三部曲：厘清幾何問(wèn)題,幾何問(wèn)題代數(shù)化,代數(shù)思想解決(方程思想)。顯然第一步是前提,第二步是關(guān)鍵,第三步是保障。

考向一、直線方程的求解問(wèn)題

例1 一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-3),并且它的傾斜角等于直線x-3y=0的傾斜角的2倍,則這條直線的方程是( )。

解析：已知直線x-3y=0的斜率為則傾斜角為30°,故所求直線的傾斜角為60°,斜率為,則所求直線方程為y-,即

總結(jié)：求直線方程的常用方法有：(1)直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式,寫出方程。(2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程,再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù),最后代入求出直線方程。(3)求直線方程時(shí),如果沒有特別要求,求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax+By+C=0,且A≥0。

考向二、和圓有關(guān)的最值問(wèn)題

例2 平面上兩個(gè)點(diǎn)為A(-1,0),B(1,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),在圓C：x2+y2-6x-8y+21=0上任取一點(diǎn)P,則|AP|2+|BP|2的最小值為_______。

解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則|OP|=因?yàn)锳(-1,0),B(1,0),所以|AP|2+|BP|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2。

要使|AP|2+|BP|2取得最小值,需使|OP|2最小。

將圓C：x2+y2-6x-8y+21=0化為(x-3)2+(y-4)2=4。

因?yàn)镻為圓C：(x-3)2+(y-4)2=4上的點(diǎn),所以|OP|min=|OC|-r(r為半徑)。

由(x-3)2+(y-4)2=4知圓心C(3,4),r=2,所以|OC|-r=-2=5-2=3,即|OP|min=3。

故(|AP|2+|BP|2)min=2×32+2=20。

總結(jié)：和圓有關(guān)的問(wèn)題,多數(shù)情況下都是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決的。在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí),一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者定點(diǎn)的距離,再加減半徑,分別得到最大值和最小值。涉及圓的弦長(zhǎng)或者切線長(zhǎng)時(shí),經(jīng)常用到垂徑定理。

考向三、圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

解析：由 ∠F2MN= ∠F2NM 可 知,|F2M|=|F2N|。

由雙曲線定義可知,|MF2|-|MF1|=|NF1|-|NF2|=,兩式相加得|NF1|-|MF1|=|MN|=。

總結(jié)：(1)橢圓定義的集合語(yǔ)言：P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a＞|F1F2|}往往是解決計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵,橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形。解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義、正弦定理和余弦定理。

(2)在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件,即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù),且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)的距離”。若定義中的“絕對(duì)值”去掉,點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支。同時(shí)注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用。

(3)求雙曲線的方程時(shí),一是要注意判斷標(biāo)準(zhǔn)形式;二是要注意a、b、c的關(guān)系。

考向四、有關(guān)離心率問(wèn)題

例4 拋物線C：y2=2px(p＞0)與橢圓E=1(a＞b＞0)有相同的焦點(diǎn)F,兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A。若直線OA的斜率為2,則橢圓E的離心率為( )。

圖1

解析：因?yàn)橹本€OA的斜率為2,則可設(shè)點(diǎn)A(t,2t),代入拋物線C：y2=2px=4cx中,求得點(diǎn)A(c,2c),依此作圖,如圖1,發(fā)現(xiàn)△OAF是Rt△,在橢圓中,通徑的一半|AF|=2c=,則2ac=b2,所以e2+2e-1=0,得e=2-1。

總結(jié)：(1)求離心率時(shí),由條件尋找a,c滿足的等式或不等式,在雙曲線中,a,b,c的關(guān)系為c2=a2+b2,在橢圓中,a,b,c的關(guān)系為a2=b2+c2,然后進(jìn)行變形即可。

(2)求解雙曲線的離心率的范圍,一般是根據(jù)條件,結(jié)合c2=a2+b2和e=,得到關(guān)于e的不等式,求解即得。橢圓問(wèn)題用類似方法求解。注意區(qū)分雙曲線的離心率e∈(1,+∞),橢圓的離心率e∈(0,1)。

考向五、求軌跡方程

例5 在直角坐標(biāo)系xOy中,A(-2,0),B(2,0),不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)C滿足AC⊥BC,CD⊥AB于點(diǎn)D,P為CD的中點(diǎn),求點(diǎn)P的軌跡E的方程。

解法一：設(shè)點(diǎn)P(x,y)(y≠0),因?yàn)镃D⊥x軸,P為CD的中點(diǎn),所以C(x,2y)。

因?yàn)锳C⊥BC,所以kAC·kBC=-1,即化簡(jiǎn)得

解法二：依題意可知點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足設(shè)點(diǎn)P(x,y)(y≠0),因?yàn)檩S,P為CD的中點(diǎn),所以C(x,2y),所以x2+(2y)2=4,即1,則點(diǎn)P的軌跡E的方程為±2)。

總結(jié)：(1)直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價(jià)性。通常將步驟簡(jiǎn)記為建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟,但最后的證明可以省略,如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步,求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性。

(2)求軌跡方程時(shí),若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型,再寫出其方程。理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題的關(guān)鍵。利用定義法求軌跡方程時(shí),還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,如果不是完整的曲線,則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制。

(3)動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式,但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x′,y′)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律地運(yùn)動(dòng),而且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為給定的或容易求得的,則可先將x′,y′表示成關(guān)于x,y的式子,再代入Q的軌跡方程整理化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

考向六、圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題

例6 已知橢圓方程為x2+=1,射線y=2x(x≥0)與橢圓的交點(diǎn)為M,過(guò)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與橢圓交于A,B兩點(diǎn)(異于M),求證：直線AB的斜率為定值。

所以直線AB的斜率為定值2。

總結(jié)：定點(diǎn)、定值問(wèn)題多以直線與圓錐曲線為背景,常與函數(shù)、方程、向量等知識(shí)交匯,形成了過(guò)定點(diǎn)、定值等問(wèn)題的證明,難度較大。定點(diǎn)、定值問(wèn)題是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量,那么就可以用變化的量表示問(wèn)題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值,就是要求的定點(diǎn)、定值?；膺@類問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。

考向七、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用

例7 已知拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F(1,0),拋物線E：x2=2py(p＞0)的焦點(diǎn)為M。若過(guò)點(diǎn)M的直線l與拋物線C有且只有一個(gè)交點(diǎn),求直線l的方程。

解析：由題意知拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F(1,0),拋物線E：x2=2py(p＞0)的焦點(diǎn)為M,所以p=2,M(0,1),則拋物線C的方程為y2=4x,拋物線E的方程為x2=4y。

若直線l的斜率不存在,則易知直線l的方程為x=0。

若直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線l的方程為y=kx+1,與y2=4x聯(lián)立,消去y

可得k2x2+(2k-4)x+1=0。

當(dāng)k≠0時(shí),Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,此時(shí)直線l的方程為y=x+1。

綜上可知,直線l的方程為x=0,或y=1,或y=x+1。

總結(jié)：(1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo),也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來(lái)確定,需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0。

(2)依據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)時(shí),聯(lián)立方程并消元,得到一元二次方程,此時(shí)注意觀察方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,若為0,則方程為一次方程;若不為0,則將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解。

考向八、直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)橢圓E的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1且斜率存在的直線l與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),且|AF2|+|BF2|=2|AB|,求直線l的方程。

解析：(1)因?yàn)橹本€PQ與圓x2+y2=相切于點(diǎn)即直線PQ的方程為,所以P(0,1),Q(2,0),即a=2,b=1,故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

總結(jié)：直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題：

(1)過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題,利用圓錐曲線的定義可優(yōu)化解題。

(2)將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo),再運(yùn)用兩點(diǎn)之間的距離公式求弦長(zhǎng)。

(3)解題過(guò)程體現(xiàn)了解析幾何中的設(shè)而不求思想,其實(shí)質(zhì)是利用兩點(diǎn)之間的距離公式,以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

解答解析幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,那么怎樣才能進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化呢?筆者認(rèn)為有幾點(diǎn)值得注意：(1)要主動(dòng)去理解幾何對(duì)象的本質(zhì)特征,這需要在審題上下功夫;(2)要善于將幾何條件、幾何性質(zhì)用代數(shù)的形式表達(dá)出來(lái),這需要對(duì)特殊圖形的代數(shù)表示非常明確;(3)恰當(dāng)選擇代數(shù)化的形式,這需要很好的大局觀,方便后續(xù)的代數(shù)研究;(4)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化。

總之,解析幾何題綜合性強(qiáng)、應(yīng)用面廣,有些題目對(duì)運(yùn)算求解能力要求高、有些題目對(duì)推理論證能力要求高,所以在高三復(fù)習(xí)中,既要注重基礎(chǔ),又要有所創(chuàng)新提高,既要注重通性通法,又要注意技巧鍛煉,要做到靈活多變,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析、推理、運(yùn)算,這樣才能快速準(zhǔn)確地解答問(wèn)題。