宋金博 宋瑞

摘要：利用波函數(shù)展開(kāi)法，得出了SV波作用下深埋復(fù)合式襯砌動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題的解析解，并將其退化為彈性介質(zhì)中單層襯砌對(duì)SV波散射問(wèn)題，驗(yàn)證了結(jié)果的可靠性。研究結(jié)果表明，飽和土中復(fù)合式襯砌內(nèi)邊界動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)大于外邊界，其原因是內(nèi)側(cè)襯砌剛度大于外側(cè)襯砌剛度及襯砌內(nèi)側(cè)為凌空邊界所致;增加內(nèi)外側(cè)襯砌的厚度可很大程度上減小襯砌內(nèi)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù);復(fù)合式襯砌剛度對(duì)襯砌動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)影響較為顯著，在保證內(nèi)外側(cè)襯砌穩(wěn)定的情況下，應(yīng)盡量減小內(nèi)外襯砌的剛度差，以減小襯砌內(nèi)應(yīng)力放大效應(yīng)。

關(guān)鍵詞：復(fù)合式襯砌;SV波;飽和土;圓形襯砌;深埋

中圖分類號(hào)：TU352.1;TU435文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）02-0383-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.019

引言

日本阪神地震、中國(guó)唐山地震和汶川地震等眾多地震經(jīng)驗(yàn)說(shuō)明，強(qiáng)烈地震作用下會(huì)對(duì)地下結(jié)構(gòu)造成嚴(yán)重的破壞，因此，研究地震波作用下地下結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問(wèn)題具有重要的實(shí)際意義。目前，國(guó)內(nèi)外已有許多學(xué)者針對(duì)彈性波作用下地下圓形襯砌動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題做了相關(guān)研究。Pao等首次采用波函數(shù)展開(kāi)法研究了彈性波作用下彈性介質(zhì)中圓形襯砌動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)問(wèn)題;Lee等和Xu等通過(guò)引入大圓弧假定，將地面與洞室計(jì)算坐標(biāo)統(tǒng)一，求解了彈性波入射下半空問(wèn)中淺埋洞室動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)的解析解;Hasheminejad等求解了地震波作用下飽和多孔介質(zhì)中雙線隧道襯砌動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)問(wèn)題的解析解;鐘啟凱采用波函數(shù)展開(kāi)法研究了柔性襯砌和剛性襯砌在地震波作用下的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，并分析襯砌和圍巖參數(shù)對(duì)動(dòng)應(yīng)力的影響;Jiang等在直角坐標(biāo)系下求解了孔隙彈性半空問(wèn)中圓形襯砌的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)問(wèn)題;徐長(zhǎng)節(jié)等引入非局部-Biot理論，求解了P波作用下飽和土中深埋圓形襯砌的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)問(wèn)題，并分析了非局部參數(shù)對(duì)其影響;李偉華等研究了飽和土中深埋圓柱形襯砌在平面P波作用下，動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題的瞬態(tài)解。Lin等將Hankel函數(shù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系，從而求解了半空問(wèn)中圓形襯砌對(duì)入射P波和SV波散射問(wèn)題的解析解。

以往的研究大多數(shù)是針對(duì)單層襯砌，而常見(jiàn)的鐵路隧道、水工隧道等都是初襯加上二次襯砌的復(fù)合式襯砌結(jié)構(gòu)，目前針對(duì)復(fù)合式襯砌的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)問(wèn)題研究較少，王長(zhǎng)柏等和王帥帥等分別研究了彈性介質(zhì)中深埋和淺埋圓柱形襯砌在地震波作用下的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)問(wèn)題，除此之外，王帥帥等采用室內(nèi)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)，分析了含減震層襯砌的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)問(wèn)題。

以上對(duì)復(fù)合式襯砌的研究都是在彈性介質(zhì)中，而在飽和土介質(zhì)中復(fù)合式襯砌方面的研究還未見(jiàn)相關(guān)報(bào)道。本文旨在基于SV波作用下，對(duì)復(fù)合式襯砌的減震機(jī)理進(jìn)行研究，分析了襯砌厚度及剛度對(duì)襯砌內(nèi)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響。

1理論模型及飽和土中波場(chǎng)

1.1計(jì)算模型和入射波

飽和土中深埋復(fù)合式圓形隧道襯砌計(jì)算模型如圖1所示。復(fù)合式襯砌半徑分別為R1，R2，R3復(fù)合式襯砌力學(xué)參數(shù)可由拉梅常數(shù)λk，uk以及密度pk確定。

假設(shè)平面SV波在無(wú)限飽和土介質(zhì)中沿x正方向傳播至襯砌邊界（如圖1所示），入射SV波勢(shì)函

2襯砌內(nèi)波函數(shù)

襯砌結(jié)構(gòu)為單相固體介質(zhì)，求解時(shí)可將襯砌視為彈性均勻介質(zhì)，由此可知，襯砌1（外側(cè)襯砌）內(nèi)存在由飽和土與襯砌交界面的折射波場(chǎng)以及襯砌2（內(nèi)測(cè)襯砌）外界面的散射波場(chǎng);襯砌2內(nèi)存在由外界面的折射波場(chǎng)和襯砌2內(nèi)界面的散射波場(chǎng)。由此可知襯砌內(nèi)波場(chǎng)勢(shì)函數(shù)可表示為：

4計(jì)算結(jié)果與分析

為研究SV波作用下復(fù)合式襯砌的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)問(wèn)題，以此來(lái)判定復(fù)合式襯砌的隔振效果，本文引入復(fù)合式襯砌外邊界以及內(nèi)邊界動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)（DSCF），其所表述的是入射波在其傳播方向上的強(qiáng)度，即襯砌內(nèi)環(huán)向應(yīng)力與入射波引起介質(zhì)產(chǎn)生最大應(yīng)力的比值

襯砌參數(shù)。分析彈性模量對(duì)DSCF影響時(shí)，保持襯砌半徑為R1=3.2m，R2=3.0m，R3=2.7m。分析襯砌厚度影響時(shí)，襯砌內(nèi)徑R3保持不變;分析襯砌1厚度影響時(shí)，襯砌2厚度保持0.3m，分析襯砌2厚度影響時(shí)，襯砌1厚度保持不變。襯砌1彈性模量取值為10GPa（5-25GPa），襯砌2彈性模量取值為30GPa（20-45GPa），括號(hào)內(nèi)為分析彈性模量影響時(shí)采用的范圍值。入射波頻率f=20Hz，其中圓角頻率ω=2πf。

圖3為復(fù)合式襯砌在SV波作用下，襯砌內(nèi)外邊界動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)（DSCF）的分布曲線。由圖可知，復(fù)合式襯砌內(nèi)邊界DSCF大于外邊界DSCF，其原因是襯砌2的彈性模量大于襯砌1彈性模量，從而導(dǎo)致襯砌2中應(yīng)力呈現(xiàn)出了明顯的放大效應(yīng)。除此之外，襯砌2內(nèi)邊界為凌空狀態(tài)，其受力也相對(duì)較差。

圖4為襯砌2厚度不變（0.3m）情況下，復(fù)合式襯砌內(nèi)外點(diǎn)DSCF隨襯砌1厚度變化曲線。從圖中可以看出，襯砌1厚度由0.1m變化至1.0m時(shí)，襯砌上B，D點(diǎn)DSCF由74.2，58.9減小為4.98和4.96;A，C點(diǎn)DSCF由38.2，26.5減小至1.29和1.32。由此可知，增加襯砌1的厚度可以較為明顯地減小襯砌內(nèi)部的受力。

圖5為襯砌1厚度（0.2m）不變情況下，復(fù)合式襯砌內(nèi)外點(diǎn)DSCF隨襯砌2厚度變化曲線。由圖可知，襯砌2厚度由0.1m增加至1m，B，D兩點(diǎn)DSCF呈現(xiàn)為先增加后減小，而A，C兩點(diǎn)DSCF由30.2和22.6變化至1.14和1.13，由此可知，隨襯砌2厚度的增加，襯砌內(nèi)邊界DSCF存在峰值，增加襯砌2的厚度對(duì)改善襯砌內(nèi)應(yīng)力有一定效果，隧道襯砌設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)將其考慮在內(nèi)。

圖6為襯砌2彈性模量一定時(shí)，復(fù)合式襯砌內(nèi)外點(diǎn)DSCF隨襯砌1彈性模量變化曲線。由圖可知，襯砌內(nèi)邊界點(diǎn)DSCF隨襯砌1彈性模量的增加而減小，而襯砌外邊界點(diǎn)DSCF隨襯砌1彈性模量的增加而增大，且兩者變化幅度均較大，這是由于隧道襯砌1彈性模量增加，襯砌1與襯砌2彈性模量值更加接近，應(yīng)力放大效果減弱。

圖7為襯砌1彈性模量一定時(shí)，復(fù)合式襯砌內(nèi)外點(diǎn)DSCF隨襯砌2彈性模量變化曲線。由圖可知，隨襯砌2彈性模量增加，復(fù)合式襯砌內(nèi)邊界DSCF逐漸增加，而外邊界DSCF逐漸減小，這是由于襯砌2彈性模量大于襯砌1，而對(duì)襯砌內(nèi)動(dòng)應(yīng)力有一個(gè)放大效應(yīng)，隨著襯砌2彈性模量的增加，此放大效應(yīng)更加明顯，由此導(dǎo)致復(fù)合式襯砌內(nèi)邊界DSCF逐漸增大;同時(shí)，由于襯砌2彈性模量的增加，襯砌1相對(duì)襯砌2更加傾向于柔性體，而導(dǎo)致襯砌外邊界DSCF逐漸減小。由此說(shuō)明，襯砌2與襯砌1彈性模量相差愈大，襯砌內(nèi)邊界DSCF越大，因此襯砌設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量保持復(fù)合式襯砌彈性模量盡量相近。

5結(jié)論

本文采用波函數(shù)展開(kāi)法，推導(dǎo)出SV波作用下飽和土中復(fù)合式圓形襯砌動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)問(wèn)題解析解。將本文計(jì)算結(jié)果退化為彈性介質(zhì)中單層襯砌動(dòng)應(yīng)力問(wèn)題，其結(jié)果與文獻(xiàn)[6]結(jié)果吻合的很好。除此之外，本文分析了襯砌厚度及彈性模量對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響，得出如下結(jié)論：

（1）復(fù)合式襯砌的內(nèi)襯砌（襯砌2）動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)大于外襯砌（襯砌1）動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)，其原因?yàn)閮?nèi)襯砌剛度大于外襯砌剛度，從而導(dǎo)致內(nèi)側(cè)動(dòng)應(yīng)力出現(xiàn)應(yīng)力放大效果，而且襯砌內(nèi)邊界凌空邊界，其受力效果較差。

（2）復(fù)合式襯砌的內(nèi)外襯砌厚度對(duì)襯砌內(nèi)動(dòng)應(yīng)力影響均較大，增大襯砌厚度可很大程度上減小襯砌內(nèi)動(dòng)應(yīng)力集中，因此，飽和土中復(fù)合式襯砌設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)將此因素考慮在內(nèi)。

（3）復(fù)合式襯砌剛度對(duì)襯砌內(nèi)動(dòng)應(yīng)力影響較大，且隨外襯砌剛度增加，外邊界動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)增大，而內(nèi)邊界動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)減小;內(nèi)襯砌剛度增加，效果與上述相反。因此，建議在襯砌設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡可能減小內(nèi)外襯砌的剛度差，以減小應(yīng)力的放大效應(yīng)。