鮑四元 曹津瑞 周靜

摘要：基于非局部理論，對(duì)任意彈性邊界Euler-Bernoulli梁的橫向振動(dòng)特性進(jìn)行分析。在結(jié)構(gòu)兩端邊界引人橫向位移彈簧和旋轉(zhuǎn)約束彈簧，通過(guò)設(shè)置其剛度大小來(lái)模擬從自由到固支的各種邊界條件。計(jì)算中先將梁的位移函數(shù)以改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)形式表示，然后采用基于Lagrange泛函的瑞利一里茲法建立關(guān)于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的線性方程組。根據(jù)此方程組有非零解的條件，通過(guò)求解廣義特征值問(wèn)題得到梁的固有頻率和振型曲線。算例結(jié)果表明所提方法具有合理性且具有良好的精度，并進(jìn)一步探究非局部影響系數(shù)與彈性邊界約束剛度對(duì)非局部梁振動(dòng)的影響。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)振動(dòng);橫向振動(dòng);非局部理論;譜幾何法;彈性邊界條件

中圖分類號(hào)：0327;0343文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）02-0276-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.007

引言

自從Iijima1991年發(fā)現(xiàn)碳納米管以來(lái)，工程結(jié)構(gòu)逐漸向微型化、智能化的方向發(fā)展，而納米梁作為重要構(gòu)件在微機(jī)電系統(tǒng)、生物傳感器和原子力顯微鏡等領(lǐng)域得到日益廣泛的應(yīng)用。在研究微尺度結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的諸多方法中，實(shí)驗(yàn)研究由于對(duì)試樣、儀器和測(cè)試方法的嚴(yán)苛要求，以及對(duì)精度控制的困難性而備受局限。分子動(dòng)力學(xué)模擬因程序計(jì)算量巨大，計(jì)算效率較低而難以進(jìn)行。在微納米尺度下，材料特征長(zhǎng)度尺寸接近材料顆粒尺寸，結(jié)構(gòu)的尺度效應(yīng)不可忽略，傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)理論已無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)微納米尺度結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。因此，考慮尺度效應(yīng)的非局部理論成為微納米力學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)研究重點(diǎn)。

作為在經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論基礎(chǔ)上的擴(kuò)充與發(fā)展，非局部理論能夠計(jì)及微觀尺度效應(yīng)，為解決考慮到內(nèi)部微觀或細(xì)觀結(jié)構(gòu)的問(wèn)題奠定了理論基礎(chǔ)。非局部理論的基本思想是某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不僅與該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)有關(guān)，同時(shí)與整個(gè)域內(nèi)所有點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)有關(guān)。研究人員給予非局部理論極大的關(guān)注，非局部理論體系也正在逐步完善。如，戴天民對(duì)連續(xù)統(tǒng)場(chǎng)理論進(jìn)行了大量的工作，先后提出連續(xù)統(tǒng)場(chǎng)論、微極連續(xù)耦合場(chǎng)論，極性連續(xù)統(tǒng)理論的基本原理等，并對(duì)該理論進(jìn)行了詳盡的論述。Aydogdu基于非局部彈性理論，研究了不同邊界條件下非局部直桿幾何參數(shù)和非局部特征參數(shù)對(duì)縱振固有頻率的影響。Numanoglu等研究不同邊界條件下非局部一維納米結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性，得出了附加質(zhì)量會(huì)引起納米桿縱向頻率減小的結(jié)論。Loghmani等基于波傳播法對(duì)非局部桿含裂紋等多種不連續(xù)問(wèn)題做了綜合性研究。張大鵬等。利用傳遞函數(shù)法研究非局部黏彈性地基梁的振動(dòng)特性問(wèn)題。黃偉國(guó)等基于非局部理論研究了壓桿穩(wěn)定性及軸向振動(dòng)，推導(dǎo)了3種常見邊界條件下桿臨界壓力和固有頻率的非局部理論解。Pisano等獲得了非局部彈性直桿靜力問(wèn)題中應(yīng)變場(chǎng)的封閉解。Thai等在連續(xù)力學(xué)模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了梁與板的尺度效應(yīng)分析。由此可見，非局部理論在彈性力學(xué)、黏彈性力學(xué)等方面的研究中取得了許多成果，解決了一系列經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)非局部梁橫向振動(dòng)特性的研究方法主要有解析法、數(shù)值法、微分求積法、傳遞函數(shù)法、改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法等。如Reddy等推導(dǎo)了Eul-er-Bernoulli和Timoshenko梁理論的運(yùn)動(dòng)方程，該方程可以用來(lái)校核非局部梁在不同邊界條件下的靜力彎曲、振動(dòng)和屈曲響應(yīng)。Shen等運(yùn)用傳遞函數(shù)法求解了非局部彈性梁在經(jīng)典邊界條件下橫向振動(dòng)的模態(tài)及頻率。De Rosa等利用DQM（微分求積法）研究了嵌入介質(zhì)的單壁碳納米管的非局部振動(dòng)頻率。Kiani分別應(yīng)用非局部Euler-Ber-noulli梁（NEB）、非局部Timoshenko梁（NTB）和非局部高階梁（NHOB）理論研究單壁碳納米管的橫向自由振動(dòng)頻率。Lu等基于Hamilton原理推導(dǎo)了尺度效應(yīng)梁振動(dòng)的控制微分方程及邊界條件，用Navier方法獲得了簡(jiǎn)支納米梁的固有頻率解析解。Li等對(duì)非局部應(yīng)變梯度梁，采用直接求解控制方程預(yù)測(cè)了桿在簡(jiǎn)支邊界條件下的臨界屈曲力和后屈曲撓度。

由于數(shù)學(xué)處理上存在一定難度，這方面的研究主要局限于經(jīng)典邊界條件，即固定、簡(jiǎn)支、自由等。事實(shí)上，邊界條件作為影響結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的重要因素，已有的研究較少，制約了人們對(duì)此類問(wèn)題的全面認(rèn)識(shí)。

針對(duì)已有研究的不足，本文基于非局部彈性理論建立彈性邊界約束梁結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)分析模型，任意經(jīng)典邊界及其組合可以通過(guò)設(shè)置邊界約束剛度系數(shù)得到。使用基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)的譜幾何方法研究非局部Euler-Bernoulli梁的振動(dòng)特性。其中譜幾何法來(lái)源于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法，它能有效避免傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)方法的邊界不連續(xù)、收斂速度慢等問(wèn)題。該方法由Li提出并進(jìn)行梁結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)的分析。其中梁的撓曲位移被表示為傅里葉級(jí)數(shù)和一個(gè)輔助多項(xiàng)式的線性組合，使得彈性約束邊界條件能夠得到精確滿足，結(jié)合梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)微分方程，根據(jù)系統(tǒng)的系數(shù)特征值矩陣使梁自由振動(dòng)問(wèn)題得到了很好地求解。數(shù)值計(jì)算表明該方法具有良好的收斂性和精確性。在改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)基礎(chǔ)上，譜幾何法作為一種新型方法在結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析中取得了若干進(jìn)展。如石先杰等研究了環(huán)板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)自由振動(dòng);Shi等研究了正交矩形薄板的彎曲振動(dòng);Bao等進(jìn)行了環(huán)扇形板和矩形板的面內(nèi)振動(dòng)問(wèn)題的研究。

本文研究思路如下：采用譜幾何法假設(shè)非局部單跨梁橫向振動(dòng)位移函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。在梁的兩端設(shè)置橫向位移彈簧與旋轉(zhuǎn)約束彈簧，通過(guò)改變彈簧剛度來(lái)模擬彈性邊界條件。利用瑞利一里茲方法，給出梁總勢(shì)能和總動(dòng)能的表達(dá)式，得到梁的Lagrange能量泛函，從而獲得非局部彈性梁振動(dòng)特征矩陣，通過(guò)求解矩陣的特征值問(wèn)題得到固有頻率和振型等振動(dòng)特性。

1理論推導(dǎo)

本文在梁兩端設(shè)置橫向和旋轉(zhuǎn)彈簧，通過(guò)調(diào)整邊界彈簧的剛度來(lái)模擬不同邊界條件。如圖1所示，k1和k2為梁端旋轉(zhuǎn)約束彈簧的剛度，k3和k4為位移約束彈簧的剛度，通過(guò)調(diào)節(jié)兩組彈簧的剛度，可以模擬從自由到固定的任意邊界條件。在后續(xù)計(jì)算中k2和ks模擬x=0處的邊界條件，k1和k4模擬x=L處的邊界條件。如位移約束彈簧與旋轉(zhuǎn)約束彈簧的剛度均設(shè)置為無(wú)窮大時(shí)可模擬固定端條件。

1.1梁的非局部理論

工程梁理論大多是通過(guò)假設(shè)將三維動(dòng)力學(xué)方程近似化，即使用有限個(gè)基本變量描述整個(gè)物體的力學(xué)狀態(tài)，其中Euler-Bernoulli梁理論僅僅考慮彎曲變形，忽略軸向變形和剪切變形的影響，適用于研究細(xì)長(zhǎng)梁的橫向振動(dòng)。

本文基于非局部理論研究Euler-Bernoulli梁。與經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論不同，非局部理論認(rèn)為梁中任意一點(diǎn)的應(yīng)力與這一點(diǎn)以及周圍區(qū)域的應(yīng)變均有關(guān)，并使用核函數(shù)來(lái)表征這種關(guān)系。當(dāng)核函數(shù)形式選為常用的指數(shù)型衰減核函數(shù)時(shí)，梁的單軸本構(gòu)關(guān)系可通過(guò)如下微分形式表示為

1.2橫向位移函數(shù)的譜幾何法表達(dá)

常用的位移容許函數(shù)有多項(xiàng)式和三角函數(shù)等。采用多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式的階次會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生很大影響，高階多項(xiàng)式會(huì)導(dǎo)致數(shù)值結(jié)果不穩(wěn)定，而低階多項(xiàng)式則無(wú)法求解高階振動(dòng)。采用傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，位移函數(shù)可能在邊界處不連續(xù)，會(huì)導(dǎo)致在除簡(jiǎn)單

本文模型可模擬在CC（兩端固定）、CS（一端固定一端簡(jiǎn)支）、CF（一端固定一端自由）、SS（兩端簡(jiǎn)支）、FF（兩端自由）五種經(jīng)典邊界條件下的梁的橫向振動(dòng)，并可進(jìn)一步調(diào)整邊界約束剛度模擬彈性邊界條件。經(jīng)典邊界條件下需設(shè)定無(wú)量綱彈簧剛度取無(wú)窮大，實(shí)際計(jì)算中此無(wú)窮大數(shù)取值至少為10⁶。取值時(shí)采用10⁶的普適性和合理性參見文獻(xiàn)[20，23]。

本節(jié)首先討論譜幾何法求解非局部Euler-Ber-noulli梁時(shí)的數(shù)值收斂性，然后探討非局部參數(shù)與彈性邊界約束剛度對(duì)梁自由振動(dòng)頻率的影響。

2.1收斂性研究

在計(jì)算過(guò)程中，位移函數(shù)的截?cái)鄶?shù)影響著結(jié)果的收斂性，因此需要先驗(yàn)證收斂性。選擇簡(jiǎn)支一簡(jiǎn)支（ss）的邊界條件，使用本文方法計(jì)算中取邊界位移約束對(duì)應(yīng)無(wú)量綱的彈簧剛度為10⁶，邊界旋轉(zhuǎn)約束彈簧剛度為0，非局部系數(shù)R=eoa/L=0.005，得到不同截?cái)鄶?shù)下非局部梁的前9階無(wú)量綱自振頻率如表1所示。

文獻(xiàn)[26]附錄部分給出求解固定一固定（CC）邊界與固定一自由（CF）邊界非局部Euler-Bernoulli梁固有頻率的方程，本文根據(jù)該頻率方程求解各種邊界條件下的無(wú)量綱頻率，其值分別列于表2和3中。

由表1可以看出隨著截?cái)鄶?shù)增大，各階頻率計(jì)算結(jié)果趨近于精確值，而且較小的截?cái)鄶?shù)即可獲得精度較高的結(jié)果。因此文中方法具有合理性與良好的數(shù)值穩(wěn)定性。計(jì)算表明，當(dāng)截?cái)鄶?shù)n取10以上時(shí)所得結(jié)果與收斂結(jié)果較為接近。為保證計(jì)算的精度，在后面的計(jì)算中，若無(wú)特別說(shuō)明，截?cái)鄶?shù)取n=15。

2.2經(jīng)典邊界條件下非局部Euler-Bernoulli梁橫向自由振動(dòng)分析

表4列出簡(jiǎn)支一簡(jiǎn)支（SS）邊界條件下本文非局部Euler-Bernoulli梁橫向自由振動(dòng)預(yù)測(cè)頻率與文獻(xiàn)[25]結(jié)果的比較，計(jì)算中取非局部系數(shù)R分別為0.005和0.005√2。

表2給出固定一固定（CC）邊界條件下Euler—Bernoulli梁的非局部無(wú)量綱頻率。而表3給出固定一自由（CF）邊界條件下Euler-Bernoulli梁的非局部無(wú)量綱頻率。

從表2-4可以看出，本文計(jì)算方法所預(yù)測(cè)的結(jié)果與文獻(xiàn)[25，27]的解能夠很好地吻合，最大誤差為0.07%，因而驗(yàn)證本文方法的正確性。

在求解結(jié)構(gòu)的特征值問(wèn)題時(shí)可以得到梁的振動(dòng)頻率，還可得對(duì)應(yīng)的特征向量。將各階特征向量代人式（2），即可繪制對(duì)應(yīng)階的振動(dòng)模態(tài)曲線。

2.3非局部系數(shù)對(duì)Euler-Bernoulli梁固有頻率的影響

以簡(jiǎn)支梁為例，表5給出不同非局部系數(shù)下簡(jiǎn)支一簡(jiǎn)支（ss）邊界Euler-Bernoulli梁的固有頻率，并與解析解對(duì)比，結(jié)果較為吻合。當(dāng)非局部系數(shù)R=0.05和0.1時(shí)，本文方法分別使用截?cái)鄶?shù)為15和40兩種參數(shù)計(jì)算，比較發(fā)現(xiàn)截?cái)鄶?shù)為40時(shí)，結(jié)果更加接近解析解，誤差在0.8%以內(nèi)。這也說(shuō)明當(dāng)非局部系數(shù)變大時(shí)，采用本文方法計(jì)算，截?cái)鄶?shù)宜選擇較大值來(lái)趨近精確解。

當(dāng)非局部系數(shù)R一0時(shí)非局部梁即退化為經(jīng)典局部梁。從表5可以看出，非局部效應(yīng)使得Euler-Bernoulli梁固有頻率變小。隨著非局部系數(shù)的增大，非局部Euler-Bernoulli梁的振動(dòng)頻率減小的趨勢(shì)越發(fā)明顯。同時(shí)，相對(duì)于低階振動(dòng)頻率而言，非局部效應(yīng)對(duì)高階頻率的影響更大。

2.4彈性邊界約束剛度對(duì)非局部Euler-Bernoulli梁固有頻率的影響

為更好地表現(xiàn)邊界彈性約束對(duì)非局部Euler-Bernoulli梁的固有頻率影響規(guī)律，以一種廣義簡(jiǎn)支梁為例，即采用不同邊界橫向約束剛度的廣義簡(jiǎn)支一廣義簡(jiǎn)支（記為“S1S1”）邊界非局部Euler-Bernoulli梁進(jìn)行計(jì)算比較。表6列出邊界位移約束剛度變化時(shí)梁的前6階固有頻率。

邊界約束剛度對(duì)非局部Euler-Bernoulli梁的固有頻率有很大影響，由圖2可以明顯地反映出在不同的非局部系數(shù)下，邊界約束剛度增大到一定值后對(duì)非局部?jī)啥撕?jiǎn)支Euler-Bernoulli梁固有頻率的影響趨于一致。當(dāng)無(wú)量綱約束剛度取為10⁴以下值時(shí)，固有頻率變化明顯，為彈性約束剛度對(duì)固有頻率影響的敏感段。當(dāng)無(wú)量綱約束剛度取為10⁴以上時(shí)，固有頻率的變化不再明顯且不斷趨于一個(gè)定值。

3結(jié)論

本文在梁的非局部效應(yīng)基礎(chǔ)上，對(duì)彈性邊界約束的梁的橫向振動(dòng)特性進(jìn)行了分析，在譜幾何方法的框架下進(jìn)行計(jì)算。對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，得到如下結(jié)論：

（1）基于改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法的譜幾何方法除了能夠有效改善傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)在邊界處的位移或?qū)?shù)的不連續(xù)現(xiàn)象，還可以有效提升收斂速度與計(jì)算效率。

（2）對(duì)于非局部梁固有頻率，本文方法所預(yù)測(cè)的結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比，誤差一般在0.5%以內(nèi)，表明文中方法具有良好的精度與結(jié)果穩(wěn)定性。

（3）邊界約束的剛度對(duì)梁的固有頻率具有重要影響。隨著剛度增大，這種影響則趨于緩和，且存在一個(gè)頻率對(duì)于剛度變化的敏感區(qū)域。

（4）非局部效應(yīng)使得梁的固有頻率變小，隨著非局部系數(shù)的增大，這種影響也越來(lái)越明顯。相對(duì)于低階頻率而言，高階頻率受非局部效應(yīng)影響更大。

（5）本文方法具有較為廣泛的適應(yīng)性。在梁參數(shù)與邊界條件發(fā)生變化時(shí)，無(wú)需重新編制程序計(jì)算，只需改變計(jì)算參數(shù)，有利于結(jié)構(gòu)的參數(shù)化研究，從而有效提升效率。