王敏容， 樊建平， 胡 雋

(1. 華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院， 湖北 武漢 430074； 2. 五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院， 廣東 江門 529020)

我國橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)采用以可靠度理論為基礎(chǔ)的概率極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法，相應(yīng)的橋梁維修和加固設(shè)計(jì)也應(yīng)該建立在可靠度理論之上。貢金鑫[1]以增大截面法加固鋼筋混凝土軸心受壓構(gòu)件為例，提出了結(jié)構(gòu)加固后的可靠度分析方法，對以概率理論為基礎(chǔ)的加固設(shè)計(jì)規(guī)范提供了一定的參考。杜斌[2]、黃炎生[3]、楊建江[4]等基于《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》，對加固后的鋼筋混凝土受壓柱進(jìn)行了概率可靠性分析?；诟怕誓Ｐ偷目煽啃苑治鲂枰銐虻臄?shù)據(jù)信息描述不確定參數(shù)的概率分布，不同的分布形式對可靠性指標(biāo)存在較大的差異，而且概率可靠性對概率模型的參數(shù)變化很敏感，概率模型在缺乏足夠的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)描述不確定參數(shù)時(shí)，計(jì)算結(jié)果不可靠。對于實(shí)際的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，由于各種客觀條件的限制，試驗(yàn)數(shù)據(jù)難以描述參數(shù)的某種概率分布，但參數(shù)的界限是確定的。1994年Ben-Haim[5,6]首次提出了基于凸模型的非概率可靠性概念，認(rèn)為系統(tǒng)能容許不確定參量在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，則系統(tǒng)是可靠的?；趨^(qū)間的非概率可靠性模型，將不確定參數(shù)的變化范圍作為區(qū)間變量，對參數(shù)統(tǒng)計(jì)信息需求量少，為結(jié)構(gòu)可靠性分析提供了新的途徑。陳旭勇[7,8]、邊曉亞[9]等采用區(qū)間模型對在役橋梁進(jìn)行了非概率可靠性評估。本文以JTG/T J22-2008《公路橋梁加固設(shè)計(jì)規(guī)范》中增大截面法加固鋼筋混凝土軸心受壓構(gòu)件為研究對象，將不確定參數(shù)描述為區(qū)間變量，建立應(yīng)力-強(qiáng)度干涉非概率可靠性模型，以非概率可靠度度量可靠性，采用子集子區(qū)間抽樣法計(jì)算非概率集合可靠度，并給出了計(jì)算步驟，最后以某鋼筋混凝土軸壓柱為例，驗(yàn)證了文中方法在橋梁加固中的合理可行性。

1 非概率可靠性分析

1.1 非概率可靠性模型

設(shè)結(jié)構(gòu)的不確定參數(shù)x在區(qū)間內(nèi)變化，其上、下界分別為xu，xl，則x∈XI=[xl,xu]為區(qū)間變量。對應(yīng)的區(qū)間中點(diǎn)(均值)xc和區(qū)間半徑(離差)xr分別為

xc=(xu+xl)/2,xr=(xu-xl)/2

(1)

對x作標(biāo)準(zhǔn)化處理

x=xc+xrδ

(2)

式中：δ∈[-1,+1]為標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量。

將工程結(jié)構(gòu)中的抗力R和荷載效應(yīng)S作為區(qū)間變量，標(biāo)準(zhǔn)化后功能函數(shù)為

M(R,S)=R-S=Rc-Sc+RrδR-ScδS

(3)

式中：Rc和Sc分別為抗力和強(qiáng)度的均值；Rr和Sr為抗力和強(qiáng)度的離差；δR∈[-1,+1]和δS∈[-1,+1]分別為標(biāo)準(zhǔn)化抗力區(qū)間變量和標(biāo)準(zhǔn)化強(qiáng)度區(qū)間變量。R∈[Rl,Ru]和S∈[Sl,Su]為抗力和強(qiáng)度的區(qū)間，l和u分別為對應(yīng)區(qū)間變量的下界和上界。

基于區(qū)間模型的非概率可靠性指標(biāo)η，將結(jié)構(gòu)參數(shù)波動(dòng)的范圍與其要求變化范圍相比較，按無窮范數(shù)‖·‖度量的從坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面上的最短距離來確定結(jié)構(gòu)的安全可靠程度[10，11]：

η=min(‖δ‖

(4)

當(dāng)η>1時(shí)，Rl>Su，結(jié)構(gòu)的失效域與基本區(qū)間變量的波動(dòng)范圍不相交，結(jié)構(gòu)安全可靠；當(dāng)η<-1時(shí)，Ru

1.2 應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型集合可靠度

文獻(xiàn)[12，13]將失效應(yīng)力小于強(qiáng)度的可能性度量稱為非概率集合可靠度，提出以結(jié)構(gòu)安全域體積與基本區(qū)間變量域的總體積之比作為結(jié)構(gòu)非概率可靠度的度量。采用區(qū)間變量描述不確定參數(shù)，參數(shù)在區(qū)間內(nèi)取值的可能性是相同的，從概率的意義可認(rèn)為它們在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。因此，非概率集合可靠度與概率可靠度有相同的意義，均表征結(jié)構(gòu)完成預(yù)定功能的概率，以可靠度度量結(jié)構(gòu)的可靠性。

《公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[14]中規(guī)定了橋梁結(jié)構(gòu)的目標(biāo)可靠指標(biāo)，橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和校核時(shí)，構(gòu)件必須達(dá)到或高于目標(biāo)可靠指標(biāo)，概率和非概率模型評估的橋梁結(jié)構(gòu)均應(yīng)滿足目標(biāo)可靠指標(biāo)要求的可靠度。因此，應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，對比橋梁結(jié)構(gòu)的非概率集合可靠度與概率目標(biāo)可靠指標(biāo)要求的可靠度，則可對結(jié)構(gòu)的可靠性做出定性的評估。

采用類似概率可靠性中的蒙特卡洛法(Monte Carlo Simulation，MCS)法，在不確定區(qū)域內(nèi)抽樣，計(jì)算失效概率Pfailure?？梢酝ㄟ^抽樣點(diǎn)落在失效域內(nèi)的點(diǎn)數(shù)除以不確定域內(nèi)抽樣總點(diǎn)數(shù)的比值來代替失效域體積與不確定域總體積比，以此求出非概率可靠性集合可靠度Prest，表示為

Prset=1-Pfailure

(5)

(6)

式中：V失效域和V總分別為失效域體積和不確定域總體積；N失效域和N總分別為失效域內(nèi)失效點(diǎn)數(shù)和不確定域內(nèi)總抽樣點(diǎn)數(shù)。

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的失效概率是一個(gè)小量值，失效域占基本變量標(biāo)準(zhǔn)域的比值非常小，直接抽樣的樣本點(diǎn)落入到失效域內(nèi)的樣本點(diǎn)很少。采用直接抽樣的MCS法需要有足夠的樣本點(diǎn)才能保證計(jì)算精度，計(jì)算效率很低。通過改變隨機(jī)抽樣區(qū)域，使樣本點(diǎn)有較多機(jī)會(huì)落入失效域，增加功能函數(shù)G(δi)<0的機(jī)會(huì)。

2 基于子集子區(qū)間法(SSS)的非概率集合可靠度

(7)

圖1 子集內(nèi)的子區(qū)間抽樣

第k個(gè)子區(qū)間可表示為：

j=1,2,…,n,k=1,2,…,K

(8)

同理可得δri方向的各邊界點(diǎn)為

(9)

δri方向的第k個(gè)子區(qū)間可表示為：

i=1,2,…,m,k=1,2,…,K

(10)

(11)

(12)

由子區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)的取值，子區(qū)間可以分為以下三種模型：

(1)若Gmax>0，則子區(qū)間安全可靠，Prset=1；

(2)若Gmax≤0，則子區(qū)間失效，Prset=0；

(3)若Gmax≥0且Gmin<0，則子區(qū)間為干涉區(qū)間，0

(13)

(14)

由式(11)和(13)，(12)和(14)可知，相鄰子區(qū)間的端點(diǎn)值存在交叉，即

G((δrik)I,(δsjk)I)∩G((δrik+1)I,(δsjk)I)≠0

(15)

為避免重復(fù)抽樣，因此，在整個(gè)子域內(nèi)，直接利用子區(qū)間端點(diǎn)值G(δi)的正負(fù)來判斷抽樣點(diǎn)是落在安全域或失效域，抽樣點(diǎn)直接采用區(qū)間端點(diǎn)代替。

子集內(nèi)子區(qū)間抽樣法的具體計(jì)算步驟如下：

(16)

沿軸δri方向的邊長li為

(17)

抽樣域體積

(18)

(3)計(jì)算子區(qū)間抽樣域占標(biāo)準(zhǔn)化基本變量域的比值P1為

(19)

(4)將δri和δsj的取值區(qū)間分別均分為K等分，分別得到K+1個(gè)邊界點(diǎn)和K個(gè)子區(qū)間，抽樣域D劃分為Km+n個(gè)小等超長方盒、(K+1)m+n個(gè)端點(diǎn)，提取(K+1)m+n個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值，計(jì)算滿足G(δi)<0的點(diǎn)數(shù)M，則失效可能度P2為

(20)

(5)非概率的集合可靠度表示為

(21)

相比于直接MCS抽樣，子集子區(qū)間抽樣法樣本點(diǎn)分布均勻，落入失效域的抽樣點(diǎn)更多，計(jì)算精度更高。等分?jǐn)?shù)K的具體取值由區(qū)間參數(shù)的分布范圍和求解精度來決定。

3 算 例

圖2 鋼筋混凝土軸心受壓柱/mm

在加固前軸向力作用下，構(gòu)件達(dá)到極限承載能力狀態(tài)時(shí)，新加混凝土和鋼筋均達(dá)到極限強(qiáng)度。加固后的鋼筋混凝土軸心受壓柱的抗力為：

選取混凝土和鋼筋的強(qiáng)度、面積及恒載、汽車荷載效應(yīng)共10個(gè)不確定參數(shù)，為對比概率可靠性和非概率可靠性結(jié)果，以下計(jì)算根據(jù)《公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》確定各參數(shù)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，由[μ-3σ,μ+3σ]獲得參數(shù)區(qū)間。

3.1 不同計(jì)算方法下的可靠度分析

假定活載和恒載比值為ρ，定義為ρ=SQk÷SGk，SGk，SQk分別為加固后恒載和活載的標(biāo)準(zhǔn)值。取軸向力組合設(shè)計(jì)值1700 kN，荷載比ρ=1.25時(shí)，相同的抽樣點(diǎn)數(shù)N=9765625，采用直接的MCS抽樣、子集內(nèi)MCS抽樣法(SS-MCS)和子集子區(qū)間抽樣法(SSS)(抽樣N=4)，分別計(jì)算落入失效域內(nèi)的點(diǎn)數(shù)Nf和失效可能度Pf，計(jì)算結(jié)果見表1所示。直接MCS法落入失效域的抽樣點(diǎn)最少，失效可能度精度最低。子集抽樣法落入失效域內(nèi)的點(diǎn)數(shù)大于完整區(qū)間內(nèi)，且子集子區(qū)間法抽樣落入失效域內(nèi)的點(diǎn)數(shù)大于子集內(nèi)MCS抽樣，結(jié)構(gòu)可靠性評估更保守。

表1 不同計(jì)算方法的失效可能度

3.2 不同軸向力組合設(shè)計(jì)值下的可靠度分析

取荷載比ρ=1.25，隨著軸向力的增加，荷載效應(yīng)區(qū)間上限和下限值逐漸增加，鋼筋混凝土柱的可靠性逐漸降低，結(jié)果見表2所示。非概率可靠度計(jì)算結(jié)果比概率可靠度保守，可靠度均隨著軸向力組合設(shè)計(jì)值的提高而降低。當(dāng)軸向力組合設(shè)計(jì)值取1300，1500 kN時(shí)，Rl>Su，抗力和荷載效應(yīng)不發(fā)生干涉，鋼筋混凝土柱可靠，與概率可靠度評估結(jié)果相同。當(dāng)軸向力組合設(shè)計(jì)值取1700，1900 kN時(shí)，Sl

表2 不同軸向力組合設(shè)計(jì)值下的可靠度

3.3 不同加固混凝土層厚下的可靠度分析

仍取軸向力組合設(shè)計(jì)值1700 kN，計(jì)算荷載比ρ=1.25時(shí)，分別采用70，80，90，100，110 mm厚新增混凝土層加固鋼筋混凝土柱，加固后的計(jì)算結(jié)果見表3所示。表3反映出非概率可靠度計(jì)算結(jié)果同樣比概率可靠度保守，且加固后的鋼筋混凝土柱均能滿足橋梁二級結(jié)構(gòu)延性破壞的要求。不同新增混凝土層厚對非概率可靠度的影響比概率可靠度大，可靠度均隨著混凝土層厚的增加而增加?；炷翆雍裨黾?，鋼筋混凝土柱的抗力增加，抗力和荷載的干涉區(qū)間減小顯著，非概率可靠度增加明顯。概率可靠度中，當(dāng)結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)β>6，失效概率pf<9.8×10-10較小時(shí)，參數(shù)變化對可靠指標(biāo)影響不明顯。

表3 不同新增混凝土層厚下的可靠性

3.4 不同新增鋼筋直徑下的可靠度分析

表4 不同新增鋼筋直徑下的可靠性

3.5 抗力不同概率分布下的可靠度分析

取軸向力組合設(shè)計(jì)值1700 kN，計(jì)算荷載比ρ=1.0，1.25，1.5時(shí)，若考慮抗力服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布兩種情況，其均值和變異系數(shù)保持不變，概率模型的可靠度和非概率模型的集合可靠度計(jì)算結(jié)果如表5所示，非概率可靠度計(jì)算結(jié)果仍比概率可靠度保守。抗力服從正態(tài)分布時(shí)，概率可靠度隨著荷載比的增加而增加，變化趨勢與非概率模型相同，而抗力服從對數(shù)正態(tài)分布時(shí)，可靠度隨著荷載比的增加而減小。兩種不同分布類型的抗力，概率可靠度的差別較大，即概率可靠度對抗力的概率分布類型較敏感。在概率可靠性分析中，近似認(rèn)為抗力服從對數(shù)正態(tài)分布，而非概率模型用區(qū)間描述抗力的范圍，與抗力的概率分布類型無關(guān)。

表5 抗力不同概率分布下的可靠度

4 結(jié) 論

本文以增大截面法加固鋼筋混凝土軸心受壓構(gòu)件為研究對象，對不同參數(shù)下的加固構(gòu)件進(jìn)行非概率可靠性和概率可靠性分析，得到如下結(jié)論：

(1)針對直接MCS抽樣效率低的問題，采用子集抽樣域并劃分為子區(qū)間，以子區(qū)間端點(diǎn)作為抽樣點(diǎn)，有效地解決了抽樣點(diǎn)在區(qū)間均勻分布的問題，實(shí)例表明了該方法的有效性與合理性。

(2)概率可靠性模型和不確定參數(shù)的分布類型有關(guān)，而區(qū)間非概率模型中不確定參數(shù)在區(qū)間均勻分布，非概率可靠性比概率可靠性保守。

(3)不同加固混凝土層厚和鋼筋直徑，對非概率可靠性和概率可靠性的影響規(guī)律相同。

(4)概率可靠度對不確定參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)分布較敏感，但非概率集合可靠度不需要確定概率統(tǒng)計(jì)分布類型。當(dāng)不確定參數(shù)的信息較少時(shí)，根據(jù)現(xiàn)場的實(shí)測數(shù)據(jù)確定不確定參數(shù)的區(qū)間，采用非概率可靠性模型給加固后橋梁構(gòu)件進(jìn)行可靠性評估提供一條新的途徑。