魯 斌, 蔣 濤, 王樹(shù)剛, 劉石磊, 尹 龍, 翟康博

(1. 中鐵隧道局集團(tuán)有限公司， 廣東 廣州 511458;2. 大連理工大學(xué)， 遼寧 大連 116024; 3. 中鐵隧道勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司， 廣東 廣州 511458)

0 引言

高地溫地質(zhì)條件不僅會(huì)引起洞內(nèi)氣溫超過(guò)《鐵路隧道工程施工技術(shù)指南》[1]的相應(yīng)規(guī)定，而且還可能引起襯砌結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力異常[2]。隨著運(yùn)營(yíng)隧道交通量增大，機(jī)動(dòng)車(chē)排出的大量熱量會(huì)導(dǎo)致隧道內(nèi)空氣溫度明顯升高[1]，因此，獲得準(zhǔn)確可靠的洞內(nèi)氣溫和隧道內(nèi)壁面溫度分布規(guī)律，對(duì)改善隧道運(yùn)營(yíng)環(huán)境和采取低能耗的有效降溫措施有著很好的指導(dǎo)作用。

隧道內(nèi)氣溫預(yù)測(cè)的理論方法主要有數(shù)值解法[2-3]和分析解法[4-5]。周小涵[6]建立了考慮對(duì)流-導(dǎo)熱耦合作用的隧道溫度場(chǎng)有限差分計(jì)算模型，分析了隧道內(nèi)空氣溫度及圍巖溫度隨入口風(fēng)溫的變化規(guī)律； 馬國(guó)川[7]建立了單線鐵路隧道內(nèi)空氣溫度的非穩(wěn)態(tài)模擬計(jì)算模型，采用有限體積法對(duì)熱濕控制方程進(jìn)行離散，并分析得出滲流對(duì)鐵路隧道內(nèi)空氣及圍巖溫度的影響規(guī)律； 王樹(shù)剛等[8]同時(shí)考慮了礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)中傳質(zhì)和傳熱的過(guò)程，求解得到圍巖振蕩溫度和振蕩濕度的傳導(dǎo)方程。雖然針對(duì)隧道圍巖徑向和軸向溫度分布混合求解的數(shù)值解法有很多報(bào)道，但針對(duì)解析解的文獻(xiàn)報(bào)道較少。如邵珠山等[9]利用量綱一化導(dǎo)熱微分方程采用萊維法得到了考慮隔熱層的高地溫隧道溫度場(chǎng)理論解，不僅研究了圍巖溫度沿隧道徑向的變化，還分析了其沿隧道軸向的變化，但該分析解受到洞內(nèi)空氣溫度為已知條件的限制，沒(méi)有討論洞內(nèi)氣溫的求解方法。

與數(shù)值解法相比，分析解法更為簡(jiǎn)便、實(shí)用，且各種參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響規(guī)律明確，便于在實(shí)際隧道中應(yīng)用，但目前缺少在求解隧道圍巖徑向和軸向溫度相結(jié)合的同時(shí)，又能考慮沿隧道軸向變化的洞內(nèi)氣溫求解方法。針對(duì)當(dāng)前研究的不足，本文引入傳熱第三類(lèi)邊界條件，耦合隧道徑向及軸向二維軸對(duì)稱(chēng)的圍巖溫度導(dǎo)熱方程與洞內(nèi)氣流溫度方程，推導(dǎo)出運(yùn)營(yíng)隧道內(nèi)空氣溫度的分析解，計(jì)算得到沿隧道軸向的空氣溫度，并分析不同風(fēng)速對(duì)出口空氣溫度的影響。

1 數(shù)學(xué)模型的描述

1.1 隧道內(nèi)空氣溫度的數(shù)學(xué)模型

隧道模型如圖1所示，其中z軸表示隧道軸向，r軸表示隧道徑向?？紤]沿隧道軸向變化的空氣與圍巖換熱方程[10]，同時(shí)為方便推導(dǎo)，做如下假設(shè)： 1) 隧道截面等效為圓形斷面； 2) 空氣以恒定均勻的速度流過(guò)隧道； 3) 流體具有恒定的密度ρ和比熱cp。所以，能量方程為：

(1)

式中：A為隧道斷面面積；uf為隧道內(nèi)的平均空氣流速；Dh為隧道斷面當(dāng)量直徑；Tmf為空氣平均溫度；Tra為隧道內(nèi)壁面溫度；h為空氣與隧道內(nèi)壁面之間的對(duì)流換熱系數(shù)；qsej為單位長(zhǎng)度下的散熱量；zj為內(nèi)熱源所處隧道軸向位置。

圖1 隧道模型示意圖

引入量綱一的量如下：

L=l/rb。

(2)

式中：l為隧道長(zhǎng)度；Z為隧道軸向的某一位置；T∞為外界無(wú)窮遠(yuǎn)處的空氣溫度；Tmf0為隧道入口端空氣溫度；rb為保持原巖溫度值不變的圍巖外部半徑，同時(shí)作為長(zhǎng)度的量綱一的量的參考值；Tb為rb處原巖溫度，同時(shí)Tb-T∞作為溫度的量綱一的量的參考值。

將式(2)代入式(1)，得到空氣與隧道內(nèi)壁面換熱的量綱一的量的溫度：

(3)

1.2 圍巖溫度

由式(3)可知，求解洞內(nèi)空氣溫度需要獲得圍巖溫度。在r-z柱坐標(biāo)系下，設(shè)隧道半徑為ra，隧道長(zhǎng)為l，取隧道一端z=0，考慮隧道兩端圍巖長(zhǎng)期接觸外界空氣，假定兩端圍巖溫度近似相等(均為T(mén)∞)。于是，有圍巖溫度的基本穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程[11]和邊界條件如下：

(4)

(5)

式中：Tria(ra,z)表示某一位置處的圍巖溫度；λ1為圍巖的熱傳導(dǎo)系數(shù)。

第1個(gè)邊界條件即為本文引入的第3類(lèi)邊界條件，對(duì)于未明確給出對(duì)流換熱系數(shù)h值的工況，可以根據(jù)迪圖斯-貝爾特公式(Nu=0.023Re0.8Pr0.4)來(lái)估算，得到h的表達(dá)式為：

(6)

式中：v為運(yùn)動(dòng)黏度系數(shù)，取1.516×10-5m2/s； Pr為普朗特?cái)?shù)，取為0.729 3。

故第3類(lèi)邊界條件中對(duì)流換熱h的取值實(shí)際為未知參數(shù)速度uf的函數(shù)。

通過(guò)Tmf關(guān)聯(lián)圍巖溫度和空氣溫度的表達(dá)式，為簡(jiǎn)化分析，對(duì)各變量進(jìn)行量綱一化：

(7)

將上述量綱一的量引入穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)基本方程及邊界條件后，可得：

(8)

(9)

參照文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]對(duì)空心圓柱體導(dǎo)熱的推導(dǎo)過(guò)程，引入分離變量法，可以得到Θr(R,Z)的通解：

(10)

將式(10)和式(3)同時(shí)代入式(9)的前2個(gè)邊界條件中，經(jīng)過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)變換[15]后，求得式(10)中的系數(shù)Am和Bm，于是在式(10)中將R取值為Ra即獲得圍巖溫度Θr(Ra,Z)，再將其代回式(3)，即可得到量綱一的量的空氣溫度：

(11)

2 本文分析解驗(yàn)證

2.1 同數(shù)值解的比較

文獻(xiàn)[16]以大隆礦區(qū)礦井通風(fēng)巷道圍巖與巷道風(fēng)流換熱為例，利用數(shù)值模擬方法得到了給定計(jì)算條件下巷道內(nèi)的空氣溫度。計(jì)算參數(shù)有： 巷道斷面面積為6.55 m2，斷面周長(zhǎng)為9.68 m(當(dāng)量半徑為1.35 m)，巷道總長(zhǎng)為2 000 m； 空氣熱物性參數(shù)ρ=1.205 kg/m3，cp=1.005 kJ/(kg·℃)； 巷道巖體熱物性參數(shù)λ=1.43 W/(m·℃)，巷道內(nèi)空氣對(duì)流換熱系數(shù)h由式(6)計(jì)算得到；巷道入口處的空氣溫度為24.1 ℃，外部原巖溫度Tb皆為32.75 ℃。

應(yīng)用本文分析解計(jì)算相同條件下巷道內(nèi)的空氣溫度，得到氣溫隨巷道軸向位置的變化曲線如圖2所示。由圖2可知，巷道入口至出口間的空氣溫度沿軸向(0 m≤z≤ 2 000 m)不斷升高，且隨著巷道內(nèi)平均風(fēng)速的增加，巷道內(nèi)氣溫值不斷減小。應(yīng)用本文式(11)算出的氣溫與文獻(xiàn)[16]最大相差值小于0.5 ℃，且溫度變化趨勢(shì)基本一致，初步驗(yàn)證了式(11)計(jì)算結(jié)果的合理性。

2.2 同已有實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的比較

為了進(jìn)一步驗(yàn)證式(11)的正確性，需與已有的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。文獻(xiàn)[17]給出了一組武漢長(zhǎng)江運(yùn)營(yíng)隧道內(nèi)空氣溫度的夏季實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，該隧道的基本計(jì)算參數(shù)為： 隧道當(dāng)量半徑為4.4 m，隧道總長(zhǎng)為3 260 m； 空氣熱物性參數(shù)ρ=1.29 kg/m3，cp=1.005 kJ/(kg·℃)； 隧道所處地層為砂土層的導(dǎo)熱系數(shù)λ=1.43 W/(m·℃)，混凝土表面的自然對(duì)流換熱系數(shù)hf=4.8 W /( m2·℃ )； 當(dāng)?shù)囟嗄昶骄鶜鉁貫?6.7 ℃，隧道入口處的空氣溫度為40 ℃，地層穩(wěn)定溫度Tb皆為18 ℃； 隧道內(nèi)風(fēng)速u(mài)f為5 m/s； 單位長(zhǎng)度下車(chē)輛散熱量、燈具及其他設(shè)備散熱量為2 054.5 W/m。

圖2 本文分析解與文獻(xiàn)[16]數(shù)值解的溫度計(jì)算結(jié)果

Fig. 2 Comparison between temperature calculation results by analytical solution recommended and that by numerical solution of Reference[16]

根據(jù)以上計(jì)算條件，應(yīng)用本文分析解法計(jì)算隧道內(nèi)空氣溫度和r=8、14、20 m時(shí)沿隧道軸向(0 m≤z≤3 260 m)的圍巖溫度，并將空氣溫度的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)同時(shí)繪于圖3，圍巖溫度的計(jì)算結(jié)果如圖4所示。由圖3可以看出，隧道內(nèi)空氣溫度的計(jì)算值和實(shí)測(cè)值沿著隧道軸向的差值一般在1 ℃以內(nèi)，最大差值不超過(guò)3 ℃，此結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文分析解的正確性。由圖4可以得到，沿隧道軸向的圍巖溫度在整個(gè)隧道中并不完全對(duì)稱(chēng)，且靠近隧道出口(z=3 260 m)和內(nèi)壁面(r=4.4 m)處的圍巖溫度較高，這皆是空氣從隧道入口流向出口的過(guò)程中與圍巖不斷換熱的結(jié)果。

圖3 本文分析解計(jì)算值與文獻(xiàn)[17]實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比

Fig. 3 Comparison between measuring temperature by analytical solution recommended and that by numerical solution of Reference[17]

圖4 不同軸向距離的圍巖溫度

Fig. 4 Surrounding rock temperature at different radial distances

3 風(fēng)速對(duì)隧道出口空氣溫度影響分析

影響隧道運(yùn)營(yíng)期內(nèi)部空氣溫度的因素有很多，除了有圍巖散熱外，還有車(chē)輛散熱量、入口空氣溫度和風(fēng)速等。本文將入口空氣溫度作為邊界條件，將車(chē)輛等設(shè)備散熱作為內(nèi)熱源，重點(diǎn)研究隧道運(yùn)營(yíng)期機(jī)械通風(fēng)的風(fēng)流調(diào)節(jié)作用對(duì)空氣溫度的影響。當(dāng)自然通風(fēng)不能滿足隧道內(nèi)氣溫要求時(shí)，需要采取機(jī)械風(fēng)機(jī)來(lái)調(diào)節(jié)隧道內(nèi)的風(fēng)速，因?yàn)轱L(fēng)速直接影響了隧道內(nèi)壁面與空氣的對(duì)流換熱強(qiáng)度，從而對(duì)空氣溫度產(chǎn)生較大影響。根據(jù)JTG D70/2—2014《公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范 第二冊(cè) 交通工程與附屬設(shè)施》[18]可知，單向交通的縱向及縱向組合式通風(fēng)風(fēng)速應(yīng)控制在1.5～10 m/s，因此本文仍以文獻(xiàn)[17]的計(jì)算工況為例，其余參數(shù)不變，對(duì)流換熱系數(shù)h依據(jù)式(6)估算，計(jì)算隧道內(nèi)風(fēng)速為1.5～10.0 m/s時(shí)的出口端空氣溫度，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖5 隧道出口端空氣溫度與風(fēng)速的關(guān)系

Fig. 5 Relationship between air temperature and wind speed at tunnel exit

由圖5可知，隨著風(fēng)速增加，隧道出口端空氣溫度從62.0 ℃降低至47.7 ℃，且下降幅度(風(fēng)速每增大1 m/s時(shí)隧道出口溫度降低值)逐漸減小。例如當(dāng)風(fēng)速分別為2、6、10 m/s時(shí)，對(duì)應(yīng)出口氣溫隨風(fēng)速增加的下降幅度分別為4.2、1.2、0.6 ℃/(m/s)。以上結(jié)果表明，若一味地增加風(fēng)速來(lái)降低隧道內(nèi)空氣溫度，那么降溫效果隨風(fēng)速增加逐漸不明顯，這從降溫角度佐證了規(guī)范中將風(fēng)速控制在一定范圍內(nèi)的原因。

4 結(jié)論與討論

本文引入傳熱第三類(lèi)邊界條件，耦合隧道徑向及軸向二維軸對(duì)稱(chēng)的圍巖溫度導(dǎo)熱方程與洞內(nèi)氣流溫度方程，推導(dǎo)出隧道空氣溫度和內(nèi)壁面溫度的分析解。通過(guò)對(duì)比文獻(xiàn)報(bào)道的巷道內(nèi)氣溫的數(shù)值解，計(jì)算差值在0.5 ℃以內(nèi)，初步驗(yàn)證了本文分析解的合理性。以武漢長(zhǎng)江隧道為例，對(duì)運(yùn)營(yíng)隧道內(nèi)的空氣溫度進(jìn)行計(jì)算分析，并得出以下結(jié)論：

1)該隧道的洞內(nèi)氣溫計(jì)算值與實(shí)測(cè)值差值大多在1 ℃以內(nèi)，且溫度變化趨勢(shì)一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文分析解的正確性和相應(yīng)假設(shè)的合理性。

2)在式(11)中，對(duì)應(yīng)z=l即可得到隧道出口端空氣溫度與參量HF的關(guān)聯(lián)式，也就是隧道出口端空氣溫度與風(fēng)速u(mài)f的關(guān)聯(lián)式。隨著風(fēng)速u(mài)f的增加，出口氣溫不斷降低且降幅逐漸減小，即降溫效果已逐漸變?nèi)?，表明運(yùn)營(yíng)隧道內(nèi)的風(fēng)速選擇應(yīng)綜合考慮降溫效果與動(dòng)力消耗。

3)該解析解考慮了實(shí)際運(yùn)營(yíng)隧道內(nèi)被車(chē)輛、燈具等熱源加熱的空氣和圍巖之間的相互影響，相較于通常不考慮圍巖溫度沿隧道軸向變化的解析解更加精確，故該解析解可供工程設(shè)計(jì)人員參考。然而，本文的隧道圍巖模型僅考慮單層結(jié)構(gòu)，故式(11)適用于傳熱介質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)相近的情況。下一步應(yīng)將物理模型擴(kuò)展到多層隧道結(jié)構(gòu)(襯砌層、隔熱層、初期支護(hù)層和圍巖層等)，推導(dǎo)出隧道空氣溫度和內(nèi)壁面溫度的分析解。