徐麗珍

學(xué)生總是匆忙完成作業(yè)，不多加以思考、探究，往往忽略了問題本質(zhì)，就題解題的學(xué)習(xí)態(tài)度。如果一線教師碰到此類問題，不加以挖掘問題本質(zhì)，那么就太浪費(fèi)教學(xué)資源，因此，一線教師不光要加以重視學(xué)生存在困惑，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究問題，從初識(shí)問題、認(rèn)識(shí)問題到深化問題，使得學(xué)生能悟出此類問題本質(zhì)，并加以理解，讓學(xué)生在此類問題的解決上有所突破。

一、背景展現(xiàn)、發(fā)現(xiàn)問題

這是一道高一的習(xí)題：

題目：在△ABC中，設(shè)

(1)求證：△ABC為等腰三角形；

答題分析：答(1)沒有問題。(2)學(xué)生答的不理想：①答題的正確率不高，部分同學(xué)是空白的，表現(xiàn)為沒有想法；②做了的同學(xué)，方法選擇比較煩瑣或者計(jì)算錯(cuò)誤；③選擇較好的解題方法的同學(xué)很少。因此，面對(duì)這樣的一種教學(xué)現(xiàn)狀，直接提供好的方法，顯然不對(duì)。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)思維的形成過(guò)程，需要學(xué)生能從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)此類問題，在解題上需要實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題思路、簡(jiǎn)化解題過(guò)程，值得探究。

二、初識(shí)問題，探究模型

學(xué)生錯(cuò)誤是學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)還不夠落實(shí)，基本技能不太掌握，因此高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)以“基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、基本技能的提高、基本思想方法的落實(shí)”為原則。在教學(xué)中，教師不是直接告訴學(xué)生，而是通過(guò)問題設(shè)計(jì)，充分激發(fā)學(xué)生的思維，學(xué)生能自然地感悟到知識(shí)的形成，然后尋找問題與知識(shí)間的聯(lián)系，會(huì)對(duì)學(xué)生分析問題產(chǎn)生積極的影響，開闊了解題的思路。

例(2012·浙江15)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則

這類問題的特殊性就是極化恒等式，但是從解題的情況來(lái)看，學(xué)生只是恰巧碰對(duì)了，未能真正理解極化恒等式的本質(zhì)。

【設(shè)計(jì)意圖】例1 的設(shè)計(jì)讓學(xué)生能簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)極化恒等式是用基底表示數(shù)量積運(yùn)算的一種應(yīng)用，是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單深化。由于條件與結(jié)論之間的關(guān)系緊密，學(xué)生很容易突破問題。

三、認(rèn)識(shí)問題，探究本質(zhì)

我們知道，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則本質(zhì)是一樣的，那么你能從平行四邊形的角度看極化恒等式嗎?

學(xué)生：已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線交于O點(diǎn)，則

即在平行四邊形模型中，我們求共起點(diǎn)的兩個(gè)向量的數(shù)量積，只要知道哪些量就能求呢?

學(xué)生：我們只要知道這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；

很好，我們把這個(gè)模型稱為極化恒等式的平行四邊形模型；

很好，這個(gè)式子就是極化恒等式的符號(hào)表示式；

那么，前人是怎么發(fā)現(xiàn)極化恒等式的呢?大家請(qǐng)看一個(gè)我們都熟悉的問題。

題目：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。你能用向量方法證明平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍嗎?

你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題的背景與極化恒等式的聯(lián)系嗎?

這個(gè)時(shí)候，學(xué)生的眼神會(huì)告訴我們，如果在碰到這個(gè)問題時(shí)，能夠再細(xì)心一點(diǎn)，或許就能發(fā)現(xiàn)極化恒等式。

請(qǐng)同學(xué)們歸納極化恒等式的表現(xiàn)形式；

她是你的煞星！你要做的，是將刀插入她的心臟！不能再繼續(xù)猶豫和顧慮，這只會(huì)讓你更加得軟弱，更加得無(wú)法握住刀柄！

追問：極化恒等式解決什么問題?

學(xué)生：極化恒等式描述的是兩個(gè)數(shù)量積、這兩個(gè)向量的和的模和這兩個(gè)向量差的模的關(guān)系；

【設(shè)計(jì)意圖】尋找知識(shí)點(diǎn)并重構(gòu)對(duì)知識(shí)的再理解，使得知識(shí)的內(nèi)涵得以豐盈，使知識(shí)的展開、方法的形成不再是無(wú)本之木、無(wú)源之水。學(xué)生能夠更加系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)到問題是源于課本而又高于課本的一種現(xiàn)象，這樣使得學(xué)生能夠更好地認(rèn)識(shí)問題。

題目：在△ABC中，設(shè)

(1)求證：△ABC為等腰三角形；

經(jīng)過(guò)這一系列的努力，學(xué)生解(2)小題不再是構(gòu)造函數(shù)思想來(lái)求了，學(xué)生能分析出設(shè)O為AC的中點(diǎn)，即，是個(gè)常量，在△ABC中，OC隨著角B在變換，

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)錯(cuò)誤題目的再探，自然地解決問題，能讓學(xué)生深刻體會(huì)細(xì)細(xì)研究問題的重要性，對(duì)模型的認(rèn)識(shí)到位，自然出現(xiàn)最優(yōu)的解法，增加學(xué)生的解題興趣。

辨析：雖然我們都用的是三角形模型的極化恒等式求數(shù)量積的范圍問題，但是只能是中線是變量嗎?

學(xué)生：利用極化恒等式求解數(shù)量積的問題，化歸思想是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)線段的長(zhǎng)度問題，若其中一個(gè)是變量，就可以探究這個(gè)數(shù)量積的范圍問題。

老師：答得很好，在一定程度上我們認(rèn)識(shí)了使用極化恒等式的特點(diǎn)。

變式1

學(xué)生：設(shè)DB的中點(diǎn)為E，，此時(shí)，學(xué)生有些困惑，因?yàn)檫@兩個(gè)量都隨著D在變換，不能求出的取值范圍。

追問：使用極化恒等式有什么要求?

學(xué)生：使用極化恒等式的化歸思想，要轉(zhuǎn)化為已知的線段長(zhǎng)或者已知一個(gè)變量，若兩個(gè)都是變量，就不能使用了。

追問：那么此題的數(shù)量積怎么求呢?

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)變式1 的辨析，學(xué)生更清楚極化恒等式的化歸思想的應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了極化恒等式的本質(zhì)，同時(shí)也明白極化恒等式求數(shù)量積不是萬(wàn)能的。

四、深化問題，提升素養(yǎng)

變式2：(2013·浙 江)設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有則( )

A.∠ABC＝90° B.∠BAC＝90°

C.AB＝ACD.AC＝BC

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)真題檢驗(yàn)，希望同學(xué)們能夠增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，深化了對(duì)極化恒等式的本質(zhì)的理解。進(jìn)一步證明高考就是對(duì)高于課本的知識(shí)考查，讓學(xué)生碰到問題能更好地去研究問題，提升學(xué)生解題的能力，實(shí)現(xiàn)何以知其所以然的解題境界。

五、教師反思，感悟提升

大部分學(xué)生在平時(shí)解題時(shí)，只是匆忙地完成解題，沒有養(yǎng)成探究問題的習(xí)慣，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只能在題海戰(zhàn)術(shù)中摸爬滾打，這樣學(xué)生學(xué)得很累，沒有達(dá)到高效課堂的效果。碰到這種情況，如果教師能以學(xué)生存在的問題作為備課的主題，在課堂中引導(dǎo)學(xué)生以問題和變式為載體，從中發(fā)現(xiàn)他們的共性，能讓學(xué)生抽象出一般的數(shù)學(xué)問題，從而建立數(shù)學(xué)模型，然后能讓學(xué)生進(jìn)一步深化理解和應(yīng)用辨析，掌握模型的本質(zhì)和模型的應(yīng)用，從而深化對(duì)模型的理解，最后達(dá)到真正的領(lǐng)會(huì)和掌握，這樣，就能到達(dá)從一道題到一類題的過(guò)渡，達(dá)到課標(biāo)要求。通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增加學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力。羅增儒教授指出：誰(shuí)也無(wú)法教會(huì)我們解所有的數(shù)學(xué)題，重要的是，通過(guò)有限的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無(wú)限道題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。