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        一道高二數(shù)學(xué)期考題的解法探究

        2020-05-13 13:51:34陜西省漢中市四五學(xué)校723312侯有岐
        關(guān)鍵詞:高二余弦定理三角形

        陜西省漢中市四〇五學(xué)校 (723312) 侯有岐

        在近年的各類考試中,經(jīng)常涉及三角形面積及相關(guān)問題的最值或取值范圍的問題.此類問題往往前景活潑多樣,難度較大,解決的思維方式多變,解決的方法也多種多樣.因此一直備受命題者的青睞.這里以一道高二考試題為例,探索如何解決此類問題的常見解法,希望有益于大家理解題目的本質(zhì),同時注意體會在解題過程中,如何適時實施轉(zhuǎn)化化歸的方法.

        一、試題呈現(xiàn)

        題目(2019年洛陽市高二數(shù)學(xué)考試第12題)

        本題通過已知三角形中有關(guān)邊長及點的特殊位置,進而求解三角形面積的最大值.解決問題時可以從“數(shù)”的角度和“形”的角度兩方面入手,使數(shù)與形有機結(jié)合,這樣就可以利用多種思想方法完成,從而有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng).

        二、多解思維

        設(shè)ab=t(ab≥2),則y=-3t2+24t-36

        思維角度3:根據(jù)已知及“點P是AB的中點”,由三角形中線定理得到a,b的關(guān)系式a2+b2=4ab-4,由余弦定理得8=a2+b2-2abcos∠ACB,兩式結(jié)合得出6=ab(2-cos∠ACB),再利用系數(shù)的轉(zhuǎn)化與配對并結(jié)合不等式(a2-b2)(c2-d2)≤(ac-bd)2(當(dāng)且僅當(dāng)bc=ad時取等號)*得出三角形面積的最大值.

        三、解后反思

        三角形問題是高考中??嫉目键c.解決此類問題時,不但要時刻想到正、余弦定理,而且要熟悉三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)、向量等有關(guān)知識.這類題目一般要求學(xué)生會運用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想方法從幾何角度來尋找解題途徑,然后通過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運算加以解決,所以在平時的教學(xué)活動中,要指導(dǎo)學(xué)生細心審題,認真計算,合理轉(zhuǎn)化,逐步培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

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