章勝平， 陳 旭， 賴應(yīng)良a， 毛德均， 吳克川

(1. 昆明理工大學(xué) a. 建筑工程學(xué)院； b. 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院， 云南 昆明 650504；2. 昆明學(xué)院 建筑工程學(xué)院， 云南 昆明 650214)

當(dāng)今先進(jìn)的計(jì)算機(jī)軟件為設(shè)計(jì)師們提供了極大的工作便利，但另一方面也削弱了他們對(duì)設(shè)計(jì)方法的理解和計(jì)算結(jié)果的判斷能力。在計(jì)算理論發(fā)達(dá)的德國(guó)、日本等國(guó)家，在應(yīng)用軟件的同時(shí)還非常注重設(shè)計(jì)師的手算復(fù)核能力的培養(yǎng)。

混凝土結(jié)構(gòu)仍是應(yīng)用最廣泛的結(jié)構(gòu)，隨著高度增加和高強(qiáng)度材料的應(yīng)用，基于變形后結(jié)構(gòu)的二階分析與設(shè)計(jì)更為重要[1]。二階效應(yīng)會(huì)增大結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的變形和內(nèi)力，相當(dāng)于降低了結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的剛度和承載力，如果在設(shè)計(jì)中忽略二階效應(yīng)，相當(dāng)于降低了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的安全度[2]。至今對(duì)簡(jiǎn)化二階效應(yīng)計(jì)算方法已開展了大量有益研究[3]，我國(guó)混凝土設(shè)計(jì)規(guī)范[4]在結(jié)構(gòu)分析上區(qū)分有、無側(cè)移，在截面配筋設(shè)計(jì)上區(qū)分軸壓、小偏壓和大偏壓給出了不同的計(jì)算公式，使用不簡(jiǎn)捷。本文對(duì)二階效應(yīng)計(jì)算的μ諾模圖法[5]進(jìn)行了推導(dǎo)，對(duì)其背后的理論進(jìn)行了分析和解釋，期望對(duì)我國(guó)混凝土結(jié)構(gòu)實(shí)用計(jì)算方法理論發(fā)展起到積極作用。

1 模型柱分析

任何結(jié)構(gòu)中的柱都可簡(jiǎn)化成模型柱，簡(jiǎn)化的假設(shè)是：模型柱上的二階位移與該柱在原結(jié)構(gòu)中的二階位移相等。通過確定該柱在原結(jié)構(gòu)中計(jì)算長(zhǎng)度l0，將l0代入模型柱中，這樣就建立起了模型柱與原結(jié)構(gòu)中該柱的聯(lián)系。換言之，模型柱法是將構(gòu)件從整體結(jié)構(gòu)中剝離出來，以l0來考慮結(jié)構(gòu)與構(gòu)件之間的各種聯(lián)系，如端部約束、側(cè)向約束(有側(cè)移還是無側(cè)移)。按照彈性穩(wěn)定理論，由結(jié)構(gòu)屈曲圖形獲知計(jì)算長(zhǎng)度l0。如圖1(圖中：N為軸力；Δ為側(cè)移；δ為撓曲變形；l為柱的實(shí)際長(zhǎng)度)，視橫梁剛度的不同，在無側(cè)移時(shí)框架柱的l0為實(shí)際長(zhǎng)度l的0.7～1倍，在有側(cè)移時(shí)為2～∞倍。ACI 318《美國(guó)混凝土結(jié)構(gòu)規(guī)范》給出了l0的計(jì)算諾模圖，JTG 3362-2018《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》[6]給出了l0的解析式。有側(cè)移結(jié)構(gòu)柱的l0比實(shí)際長(zhǎng)度大很多，長(zhǎng)細(xì)比大，由于二階效應(yīng)與長(zhǎng)細(xì)比的平方成比例，故有側(cè)移結(jié)構(gòu)的二階效應(yīng)顯著，如活動(dòng)支座高墩。有側(cè)移結(jié)構(gòu)只需考慮P-Δ效應(yīng)(側(cè)移二階效應(yīng))，因?yàn)橛袀?cè)移結(jié)構(gòu)的P-δ效應(yīng)(撓曲二階效應(yīng))與P-Δ效應(yīng)相比相對(duì)很小(見圖1b)，常忽略不計(jì)。因此，GB 50010-2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[4]區(qū)分P-δ效應(yīng)和P-Δ效應(yīng)給出了不同計(jì)算方法，在有側(cè)移的P-Δ效應(yīng)計(jì)算上要區(qū)分荷載能否引起側(cè)移，在截面配筋設(shè)計(jì)上要區(qū)分是軸心受壓、小偏心受壓還是大偏心受壓而用不同的公式。

圖1 計(jì)算長(zhǎng)度

剝離出來的懸臂模型柱，可以考慮水平等各種荷載，不用區(qū)分P-Δ效應(yīng)和P-δ效應(yīng)，不用區(qū)分是否有側(cè)移。將混凝土構(gòu)件出現(xiàn)的混凝土開裂、鋼筋屈服等材料非線性，反映在曲率圖里面，再將彎矩圖與曲率圖相圖乘，則懸臂模型柱就考慮了混凝土結(jié)構(gòu)中的雙重非線性(幾何非線性和材料非線性)，見圖2(圖中：H為水平力；M為彎矩；M1N為軸力產(chǎn)生的一階彎矩；M1H為水平力產(chǎn)生的一階彎矩；e1為一階偏心距；e2為二階偏心距)?；谀Ｐ椭?，配套相應(yīng)的μ諾模圖，便可以方便地實(shí)現(xiàn)二階效應(yīng)的實(shí)用計(jì)算。

圖2 懸臂模型柱

對(duì)混凝土結(jié)構(gòu)按照小變形理論可知，曲率等于撓度的二階導(dǎo)數(shù)，變形協(xié)調(diào)方程為二階微分方程，所以考慮幾何非線性是一個(gè)二階問題。因此在模型柱中，按照二階理論，計(jì)算二階偏心(附加變形)，再計(jì)算二階彎矩(附加彎矩)。

在模型柱中，材料非線性通過非線性的彎矩-軸力-曲率相關(guān)關(guān)系[7]來考慮，而不從材料的剛度變化來考慮。因?yàn)榻o定混凝土截面尺寸，還不能確定最終的截面，混凝土很容易開裂，一旦開裂，就有部分混凝土退出工作，鋼筋的面積還是待求的未知量。通過計(jì)算曲率φ可以避開這些問題，也就是說可以不用知曉開裂的情況和鋼筋面積，只要知道截面兩邊的應(yīng)變(受壓邊緣應(yīng)變?chǔ)與和受拉鋼筋應(yīng)變?chǔ)舠)，就可確定曲率。而εc和εs又可分別取很多不同的值和組合，要精確計(jì)算又要借助數(shù)值方法。為此簡(jiǎn)化處理，直接取它們的極限值，即受拉和受壓鋼筋的屈服應(yīng)變，進(jìn)而得到相應(yīng)的屈服曲率。換言之，模型柱法是直接由曲率計(jì)算二階效應(yīng)的一種直接設(shè)計(jì)法，避免了估計(jì)非線性剛度[8,9]的難題。

2 二階靜力平衡方程

2.1 二階偏心距計(jì)算

研究表明，不同曲率分布對(duì)二階偏心距的結(jié)果影響并不大(見圖3)。當(dāng)細(xì)長(zhǎng)柱的曲率為拋物線分布，拋物線曲率分布的二階偏心距e2為：

(1)

圖3 曲率分布的影響

由此可見，通常拋物線曲率分布的結(jié)果介于兩種極端荷載情況的中間，即便出現(xiàn)極端情況偏差也僅約為20%。所以最終的曲率分布假設(shè)為拋物線分布。

2.2 彎矩計(jì)算

假設(shè)圖2a所示的力和彎矩為正方向，則柱底截面彎矩為：

M=M1H+M1N+M2=0.5Hl0+N(e0+ea+e2)

(2)

式中：初始偏心e0=M/N；ea為考慮構(gòu)件幾何缺陷的附加偏心距。

將式(1)代入式(2)得：

(3)

這時(shí)的軸力相當(dāng)于歐拉屈曲荷載，即EI為常量，也就是說歐拉屈曲荷載是以整個(gè)桿件的EI為常量出發(fā)的。而對(duì)于鋼筋混凝土構(gòu)件，尤其是混凝土開裂和鋼筋屈服后，實(shí)際情況EI沿桿長(zhǎng)是變化的，EI為常量?jī)H是一特例。

2.3 曲率計(jì)算

圖4 曲率分布的影響

研究表明，在大軸壓比的小偏心受壓區(qū)，曲率與軸壓比和強(qiáng)度配筋率的關(guān)系如圖5[11]所示。

圖5 軸力-曲率關(guān)系

因此，曲率φ的計(jì)算模型為：

(4)

式中：Ncu為截面軸心受壓極限軸力，由截面承載力確定；極限曲率φu的計(jì)算式為：

φu=2εy/(h-2as)

(5)

式中：εy為鋼筋屈服強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；as為受拉鋼筋合力至截面近邊緣的距離。

2.4 靜力平衡方程

細(xì)長(zhǎng)柱的破壞屬于材料強(qiáng)度破壞，構(gòu)件極限承載力等于截面極限承載力Mu，則有：

(6)

將式(6)改寫為無量綱形式：

(7)

式中：長(zhǎng)細(xì)比λ=l0/h。

此至，式(7)給出了基于模型柱的混凝土壓彎構(gòu)件二階計(jì)算的一種簡(jiǎn)化方法。該方程左邊的截面承載力mu與截面材料、形狀和配筋有關(guān)，右邊與柱的受力、長(zhǎng)細(xì)比和截面有關(guān)，雖然借助于計(jì)算機(jī)不難得到解析解，但運(yùn)用諾模圖技術(shù)可獲得一種更為直觀和直接的解答方式。

3 μ諾模圖

諾模圖是將方程組所有的可能解用圖形方式表達(dá)，通過查圖的方式實(shí)現(xiàn)非線性方程組的求解，在工程中有大量的應(yīng)用。二階效應(yīng)計(jì)算的μ諾模圖與計(jì)算公式法比較，雖然從表面上看，查圖表在操作上復(fù)雜一點(diǎn)，但從前面的推導(dǎo)過程可見，諾模圖法計(jì)算原理清晰、方法精細(xì)。諾模圖法也補(bǔ)充了一種快速設(shè)計(jì)和估算的手算方式，能夠方便地用于手算和有限元結(jié)果的驗(yàn)證。

3.1 圖形的繪制

采用平行坐標(biāo)系，分別以無量綱彎矩和長(zhǎng)細(xì)比為左右坐標(biāo)，見圖6。

圖6 μ諾模圖

假設(shè)截面為矩形、對(duì)稱配筋，受拉鋼筋合力至截面近邊緣的距離as=0.1h，鋼筋屈服強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fy=435 N/mm2，拉壓強(qiáng)度相等。選擇強(qiáng)度配筋率ω由0到1之間等間隔變化的21個(gè)值，得到21條ω不變的橫向設(shè)計(jì)曲線；選擇軸壓比n由0～1.5之間等間隔變化的15個(gè)值，得到15條n不變的縱向設(shè)計(jì)曲線，這就是μ諾模圖(圖6)。μ諾模圖將軸壓比、一階彎矩、彎矩設(shè)計(jì)值、配筋和長(zhǎng)細(xì)比五個(gè)變量，表示在一張圖里面，構(gòu)思精巧。另外，采用無量綱圖表，圖表數(shù)量大為減少，使用更為方便。

從圖6可以看到，當(dāng)軸壓比小于0.4時(shí)，在ω=0～1.0 范圍內(nèi)都有解。而隨著軸壓比的增加，可求解的區(qū)域(能得到強(qiáng)度配筋率的范圍)在逐漸減小。

3.2 算 例

連接m1=0.16與λ=32得到第①條線，由內(nèi)插法找到n=0.84的第②條線，由①和②的交點(diǎn)，得到第③條線，ω=0.72，鋼筋面積As為：

連接①和②交點(diǎn)與長(zhǎng)細(xì)比0點(diǎn)得第④條線，總彎矩mtot=0.56，柱底彎矩設(shè)計(jì)值Md=mtotbh2fc=0.56×5003×14.3×10-6=1001 kN·m。

在算例中，由軸壓比、一階無量綱彎矩和長(zhǎng)細(xì)比三個(gè)已知量，作出圖6所示的輔助線①②③④，在圖中定位一個(gè)點(diǎn)，便可直接得截面配筋和彎矩設(shè)計(jì)值。反之，按照④③②①的順序，則可進(jìn)行截面配筋校核。

4 結(jié) 論

基于懸臂模型柱，給出了混凝土柱二階效應(yīng)計(jì)算的μ諾模圖。該圖同時(shí)考慮的二階幾何非線性和材料非線性，可以方便地實(shí)現(xiàn)二階效應(yīng)的實(shí)用計(jì)算，為快速設(shè)計(jì)和估算提供了一種方法，為有限元計(jì)算提供了一種驗(yàn)證手段。與我國(guó)混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中的方法比較，不用區(qū)分是否有側(cè)移或無側(cè)移，不用在有側(cè)移時(shí)對(duì)荷載區(qū)分是否引起側(cè)移，僅用一張圖便可直接查詢涵蓋軸壓、小偏壓和大偏壓的鋼筋面積。

模型柱法與對(duì)模量E折減考慮材料非線性的剛度法有本質(zhì)的不同，它是直接由承載力極限狀態(tài)的極限曲率來計(jì)算二階效應(yīng)的一種直接設(shè)計(jì)方法。μ諾模圖構(gòu)思精巧，一張圖表示了軸壓比、一階無量綱彎矩、彎矩設(shè)計(jì)值、配筋和長(zhǎng)細(xì)比五個(gè)變量之間的邏輯關(guān)系，能夠直接用于短柱和細(xì)長(zhǎng)柱的配筋設(shè)計(jì)和配筋校核。