蔡妍 蘇波 李雯玥 宗洋 王福合

摘? 要：為研究駐波的物理特性，采取了單管駐波模式，通過加入微小顆粒使波形具像化，驗證了駐波能量不流動的物理特性，并且運用此特點測量了聲速。然后再以單一波形管模型為基礎進行延伸，研究歸納了垂直雙管模式下兩列波疊加的波形規(guī)律，借助Mathematica軟件對圖像進行分析和處理，得到了理論與實驗完全一致的結果。

關鍵詞：駐波;單管;十字雙管

Abstract： In order to study the physical characteristics of standing wave， a single tube standing wave mode was adopted. The wave was immobilized by adding tiny particles， which verified the physical characteristics of standing wave energy immobility and measured the speed of sound. Then， on the basis of the single waveform tube model， the superposition of two waves in the vertical double-tube mode is studied and summarized， and the image is analyzed and processed by Mathematica software， and the theoretical and experimental results are completely consistent.

1 概述

駐波是頻率相同、傳輸方向相反的兩列波，沿傳輸線形成的一種分布狀態(tài)，其中的一個波通常是另一個波的反射波[1]。研究駐波的形式有很多[2-6]，為了研究更多的物理特性，實驗首先采取了單管駐波的模式，通過加入微小顆粒使波形具像化，以便研究者觀察[7，8]。在實驗初期將波形管橫向或直立放置，并進行對比實驗，通過不斷調(diào)整頻率觀察管內(nèi)波形的具體變化，運用波動方程對實驗現(xiàn)象進行解釋說明[9，10]，驗證了駐波能量不流動的物理特性。同時運用單管模型完成對于聲速的測量。以單一波形管模型為基礎進行延伸，采取最為特殊的十字模型來研究兩列駐波的疊加問題，進行數(shù)據(jù)處理，合理推論，發(fā)現(xiàn)了十字模型情況下兩列波疊加的波形規(guī)律，借助Mathematica軟件對圖像進行分析和處理，得到了理論與實際完全一致的結論。

2 單管駐波波形可視化以及聲速測量

2.1 實驗原理

本實驗儀器如圖1所示，一個橫向放置的有機玻璃管，一端連接一個可調(diào)頻率的發(fā)聲喇叭，另一端是一個位置可調(diào)節(jié)的封閉面，在管內(nèi)放置了大量的小顆粒泡沫。實驗時，不斷地調(diào)節(jié)喇叭的激勵頻率，當管的長度為駐波半波長的整數(shù)倍時，管內(nèi)將產(chǎn)生聲駐波，與此同時小顆粒泡沫會移動到駐波的波腹，從而呈現(xiàn)出一個清晰的可視化的駐波波形[11]。

在本實驗中，聲強的波動方程為：

由于是要研究圓柱管內(nèi)的駐波場，所以利用柱坐標系求解波動方程滿足此邊界條件下的駐波解。經(jīng)過一系列地求解，此管內(nèi)聲強為（1）式本征振動解的線性疊加：

可根據(jù)聲學的疊加原理求解本征振動解和其相應的陣速。實驗時，有機玻璃管中的小顆粒泡沫會集中在陣速最大的地方，其會被從聲壓高的地方推向聲壓低的地方，即由駐波的波節(jié)處移動到駐波的波腹處，故可以借由小顆粒泡沫組成一個可視化的駐波波形。本實驗不僅使駐波可視化，同時也研究了駐波能量不流動性的特性，并且可運用此特點測量聲速[12]。

2.2 實驗現(xiàn)象

小顆粒泡沫清晰呈現(xiàn)了駐波的波形，每兩個小顆粒泡沫堆峰值間的距離y滿足：

進一步觀察，泡沫小球在駐波波節(jié)之間出現(xiàn)如圖2所示垂直于z軸的片狀精細結構。通過上述求解，可以觀察到除了主波之外，還有最低一級的高次波模式存在。仔細觀察在單管中的片狀精細結構，發(fā)現(xiàn)各質(zhì)點都沿豎直方向作上下振動，在這之中越靠近中心處其振速越大。

產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是，由于在單管中除了有主波模式還有高階聲駐波的存在。當發(fā)生喇叭開啟后，單管中的聲駐波趨于穩(wěn)定，泡沫小球會根據(jù)振速分布集中在駐波結點之間，形成一個可視化的駐波波形。由于除了主波模式，還有高階波模式的存在，所以單管中主波模式將疊加在高階波模式上，形成了如圖2所示的周期性環(huán)狀同步振動。因此泡沫小球會按照圖2所示集中在振動速度最高的區(qū)域中，但小泡沫還受到重力的影響，所以圓管內(nèi)就出現(xiàn)了如圖1所示，泡沫小球集中在駐波結點之間，并且在垂直于z軸的方向上輕微顫動，呈現(xiàn)出位置固定的片狀精細結構。

2.3 聲速測量數(shù)據(jù)及分析

表1為聲速的測量數(shù)據(jù)，在本實驗中，標準駐波的波速為345.0m/s，而實驗所測數(shù)據(jù)的平均值為341.1m/s，與標準值的相對誤差為1.1%，在誤差允許范圍內(nèi)，證明了其可視化測聲速的可行性。

3 雙管駐波的疊加

在研究了單管的駐波特性后，又繼續(xù)探究了雙管駐波的疊加特性。比較常見的雙管為十字四通管，其示意圖如圖3所示。實驗器材為在中心垂直交叉的有機玻璃管，其中兩端封閉，另外兩端連接兩個可以調(diào)頻率的發(fā)聲喇叭。在四通管的中心處固定了一個壓電陶瓷傳感器，并與示波器相連，在信號發(fā)生器的驅動下，兩個喇叭發(fā)出的聲波在管內(nèi)相干疊加，由壓電陶瓷傳感器進行信號采集，最后在示波器上對疊加形成的圖像進行顯示和測量，實驗裝置如圖4所示。

為了探尋雙管的駐波疊加是否有規(guī)律性變化，實驗固定一根管頻率（f1=578.73Hz）為形成駐波的頻率，然后不斷增加另一根管的頻率f2，記錄幅值電壓，數(shù)據(jù)如表2所示，然后進行繪圖，如圖5所示。觀察發(fā)現(xiàn)，當兩列波頻率相同或成倍數(shù)關系時，幅值往往出現(xiàn)高值點，對于此現(xiàn)象筆者展開了進一步研究。

3.1 實驗原理

根據(jù)波的疊加原理，當介質(zhì)中同時存在幾列波時，每列波都能保持各自的傳播規(guī)律而不相互干擾。在波的重疊區(qū)域里，各點振動的物理量等于各列波在該點引起的物理量的矢量和。

根據(jù)駐波方程可得到兩列頻率為k倍的駐波疊加所形成的波的振動方程：

由于2Acos為定值不會影響變化規(guī)律，故運用Mathematica軟件繪制k分別為1，2，3，4，5時（cos？棕t+cosk？棕t）的理論圖像，其結果如圖6所示。

3.2 實驗過程

在四通管中，把其中一根管稱為A管，把另一根管稱為B管。在現(xiàn)實的研究過程中，通過改變信號發(fā)生器頻率調(diào)整發(fā)生喇叭的頻率，使A管內(nèi)形成駐波。由于兩根管的管長相等且完全對稱，故當B管頻率為A管頻率的整數(shù)倍時，B管中也形成了駐波。調(diào)整信號發(fā)生器，使管內(nèi)形成兩列頻率為整數(shù)倍關系的駐波疊加，用壓電陶瓷片接收并通過示波器觀察。圖7為兩管頻率分別為1～5倍時，從示波器上觀察到的圖像。

3.3 實驗總結

通過把實驗結果和理論圖像進行對比，發(fā)現(xiàn)實驗值與理論圖像完全一致。當k不斷增加時，通過示波器觀察波形，發(fā)現(xiàn)k越大，波形越密?？梢圆孪耄攌取更大值的時候會出現(xiàn)與理論波形一樣有規(guī)律的變化現(xiàn)象。

實驗發(fā)現(xiàn)，當兩列頻率為整數(shù)倍的關系時，會表現(xiàn)出完全區(qū)別于行波疊加的特征，其表現(xiàn)為隨著兩列波的倍數(shù)k的增加，其疊加波有規(guī)律的變密。

4 結束語

該實驗通過自制的實驗系統(tǒng)，對駐波的物理特性進行了多方面的研究。運用單管駐波模型將駐波波形具像化，精確測量了聲速;合理解釋了圓柱管內(nèi)的駐波場對駐波波形的影響，完成對于駐波能量不流動的特性研究。借助現(xiàn)在應用廣泛的Mathematica軟件，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理，得到十字管內(nèi)兩列駐波疊加的波形模型，與實驗真實所測結果完全符合。

參考文獻：

[1]魏兆偉.物理學中駐波的探討[J].達縣師范高等?？茖W校學報（自然科學版），2004（05）：24-25.

[2]周珺.利用氣體火焰研究駐波[J].大學物理實驗，2016，29（02）：56-58.

[3]歐陽麗婷，楊旭東，劉敏薔，等.水面波駐波演示儀[J].物理實驗，2016，36（02）：26-28.

[4]焦曉陽，劉建芳，劉曉論，等.超聲駐波懸浮能力特性[J].吉林大學學報（工學版），2013，43（02）：340-345.

[5]劉閣，陳彬，張賢明.水擊駐波場中分散相顆粒的運動分析[J].應用力學學報，2012，29（02）：120-126+235.

[6]邱克強，劉正坤，徐向東，等.全息光刻中的駐波效應研究[J].物理學報，2012，61（01）：165-171.

[7]夏春華.一種使縱波產(chǎn)生駐波演示裝置的實現(xiàn)[J].山西電子技術，2014（06）：3-4.

[8]丁蕾.用昆特管演示聲音駐波[J].教學儀器與實驗，2009，25（07）：32.

[9]路峻嶺，秦聯(lián)華，傅敏學，等.昆特管實驗原理分析[J].大學物理，2015：23-27.

[10]王群，董平，劉淑娥，等.部分充滿液體昆特管的實驗原理探析[J].貴州教育學院學報，2009，20（12）：10-13.

[11]劉國高，陳秉巖，梁星慧，等.液體駐波演示儀的研制和應用[J].物理實驗，2008（09）：15-18+29.

[12]董曉菲.駐波法測聲速的原理研究[J].佳木斯大學學報（自然科學版），2016，34（04）：603-605.