王海榮，董健，王玉輝

（1.南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210003；2.中通服咨詢?cè)O(shè)計(jì)研究院有限公司，江蘇 南京 210019；3.南京船舶雷達(dá)研究所，江蘇 南京 211100）

1 引言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化及互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)與移動(dòng)通信技術(shù)之間的不斷融合發(fā)展，未來將會(huì)是移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的時(shí)代。在接下來的10 年中，數(shù)據(jù)傳輸速率將達(dá)到10 Gbit/s，無線數(shù)據(jù)流量將面臨1 000 倍的增長(zhǎng)[1]，在此驅(qū)動(dòng)下，第五代移動(dòng)通信技術(shù)（5G）得到了充分的發(fā)展。但如果5G 技術(shù)僅僅是當(dāng)前4G 技術(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單演進(jìn)，可能無法滿足這1 000 倍的無線速率的增長(zhǎng)，顯然，需要具有突破性的技術(shù)。massive MIMO[2-4]（又稱為“l(fā)arge-scale MIMO”或者“大規(guī)模天線系統(tǒng)（LSAS,large-scale array system）”）將是5G 中提升頻譜效率的關(guān)鍵技術(shù)之一。massive MIMO 技術(shù)以其相對(duì)直觀地提高系統(tǒng)容量的方式成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)[5-7]。massive MIMO 是指在基站端配置超過100 根且少于1 000 根天線，即每個(gè)基站都有一個(gè)大規(guī)模的天線陣列，可以同時(shí)服務(wù)大量的用戶。大規(guī)模的天線可以帶來以下優(yōu)勢(shì)：簡(jiǎn)化了多用戶的處理，隨著天線數(shù)的大量增加，采用諸如最大比合并發(fā)射和迫零預(yù)編碼等線性處理方法就足以獲得非常接近復(fù)雜編碼如臟紙編碼算法的最優(yōu)性能；顯著降低上下行鏈路的發(fā)射功率，符合未來以降低能源消耗和保護(hù)人類生存環(huán)境為目標(biāo)的“綠色通信”的要求[8-10]；同時(shí)可以很好地消除熱噪聲和快衰落效應(yīng)。

雖然采用massive MIMO 技術(shù)能獲得巨大性能增益，但還是依賴于實(shí)際收發(fā)機(jī)的設(shè)計(jì)。要實(shí)現(xiàn)下行鏈路的多用戶預(yù)編碼和上行鏈路的多用戶檢測(cè)，基站都必須獲知全部或者部分的信道狀態(tài)信息（CSI,channel state information）。但是，基站處天線數(shù)目的大量增加，會(huì)導(dǎo)致無法沿用傳統(tǒng)的信道狀態(tài)信息反饋模式，這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的CSI 反饋量是會(huì)隨著天線數(shù)目線性增長(zhǎng)的，當(dāng)天線數(shù)量巨大時(shí)，反饋所需的時(shí)間將會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于信道相干時(shí)間。所以，當(dāng)前的massive MIMO 技術(shù)多應(yīng)用于時(shí)分雙工（TDD,time division duplex）系統(tǒng)中，利用信道互易性來獲得信道狀態(tài)信息[2-4]。由于在TDD 系統(tǒng)中信道狀態(tài)信息是依靠上行導(dǎo)頻信號(hào)估計(jì)的，而導(dǎo)頻信號(hào)空間的維數(shù)總是有限的，因此在未來的稠密多小區(qū)多用戶TDD 系統(tǒng)中，不可避免地總是存在多個(gè)小區(qū)的用戶采用相同導(dǎo)頻同時(shí)發(fā)射，從而導(dǎo)致基站無法區(qū)分本小區(qū)用戶的導(dǎo)頻來獲得足夠精確的信道狀態(tài)信息，形成所謂的“導(dǎo)頻污染”（pilot contamination）[2,4,11]，這已成為massive MIMO 技術(shù)新的性能瓶頸。

針對(duì)導(dǎo)頻污染問題，現(xiàn)有文獻(xiàn)已經(jīng)給出了大量理論研究和減輕導(dǎo)頻污染的方法[12-17]。比較值得注意的是Müller等[18]所提出的盲導(dǎo)頻去污染，他們指出導(dǎo)頻污染并不是massive MIMO 技術(shù)所固有的問題，而是因采用線性信道估計(jì)方法所導(dǎo)致的，通過適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)系統(tǒng)參數(shù)，利用發(fā)射功率控制及切換，以及接收信號(hào)協(xié)方差矩陣漸近譜中有用信號(hào)、干擾信號(hào)及噪聲信號(hào)彼此可分離的特性，可以構(gòu)造一個(gè)完全沒有導(dǎo)頻污染的massive MIMO 多小區(qū)系統(tǒng)。但要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，目前來看還是很復(fù)雜的，比如各個(gè)參數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足怎樣的條件，以及參數(shù)之間有著怎樣的關(guān)系都還沒有非常清晰的表述。另一方面，大維隨機(jī)矩陣譜分析理論也在不斷發(fā)展，Bai等[19]早在1998年就證明了沒有特征值位于大維樣本協(xié)方差矩陣的極限譜分布支撐集之外，這是譜分離理論的基礎(chǔ)。進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[20]在1999 年證明了大維樣本協(xié)方差矩陣的特征值是可以精確分離的。近年來，Mestre[21]給出了不同采樣維度下大維樣本協(xié)方差矩陣特征值的漸近密度，隨著采樣維度的增加，該密度會(huì)集中到特定的幾個(gè)特征值周圍。Couillet等[22]在感知無線網(wǎng)絡(luò)中利用大維隨機(jī)矩陣?yán)碚撝械淖V分離和特征推斷來估計(jì)多個(gè)信源的發(fā)射功率。Paul 等[23]進(jìn)一步證明了沒有特征值位于可分離協(xié)方差矩陣的極限經(jīng)驗(yàn)譜分布支撐集之外。Couillet等[24]和Wen等[25]則利用大維隨機(jī)矩陣譜分析的相關(guān)理論分別給出了高斯和非高斯相關(guān)MIMO 多接入信道的確定等價(jià)式。

本文考慮采用massive MIMO的多小區(qū)TDD系統(tǒng)。利用大維樣本協(xié)方差矩陣特征值分布函數(shù)的幾乎確定收斂性，得到了當(dāng)噪聲方差σ2一定時(shí)，基站接收信號(hào)的樣本協(xié)方差矩陣漸近譜中有用信號(hào)、干擾信號(hào)以及噪聲信號(hào)可分離條件首先取決于f0和P（用戶上行發(fā)射功率），之后才與f相關(guān)。其次，在f0和P的取值能保證實(shí)現(xiàn)譜精確分離的前提下，給出了當(dāng)f＜ 1時(shí)，系統(tǒng)參數(shù)的一個(gè)設(shè)計(jì)方法，使盲導(dǎo)頻去污染更趨實(shí)用。

本文使用的符號(hào)及其含義如下。(A)T表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，(A)*表示矩陣的共軛，(A)?表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置；tr{A}表示矩陣的跡，det(A)表示矩陣的行列式，表示矩陣的Frobenius范數(shù)，E{·}和var{·}分別表示期望和方差，IN表示N階單位矩陣，CN(0,1)表示均值為0、方差為1的高斯分布，z∈C+表示{z∈C,?[z]＞0}，mF(z)表示分布F的Stieltjes 變換。

2 系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)由L個(gè)小區(qū)組成的massive MIMO 多小區(qū)多用戶TDD 系統(tǒng)，假設(shè)各小區(qū)之間時(shí)間同步全頻譜復(fù)用，每個(gè)小區(qū)基站配置M根天線，同一基站的M根天線所組成的天線陣列足夠緊湊，對(duì)特定的發(fā)射天線有著相同的大尺度衰落。第j小區(qū)的單天線用戶數(shù)為nj(nj≤M)，且有。小區(qū)內(nèi)的導(dǎo)頻正交，小區(qū)間的導(dǎo)頻則完全復(fù)用。那么目標(biāo)小區(qū)基站接收到的上行信號(hào)為

其中，Hj是M×nj的矩陣，表示第j小區(qū)的nj個(gè)發(fā)射天線到目標(biāo)小區(qū)基站天線陣列的小尺度衰落因子，其所有元素是獨(dú)立同分布的（IID,independently and identically distributed）且滿足CN(0,1)；Dβj是nj×nj對(duì)角矩陣，對(duì)角元素為βj=[βj1,；pr表示每根天線的平均發(fā)射功率；為第j小區(qū)nj根發(fā)射天線所用的導(dǎo)頻向量，τ為用戶發(fā)送的導(dǎo)頻訓(xùn)練序列長(zhǎng)度，而且Ψj中元素獨(dú)立且也滿足均值為0、方差為1。W表示M×τ的加性噪聲滿足CN(0,1)，σ表示噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。進(jìn)一步地，令，為了后續(xù)推導(dǎo)方便，設(shè)同一小區(qū)內(nèi)Pj的nj個(gè)對(duì)角元素相同，都為Pj。那么式(1)可以表示為

3 漸近譜分析

由于H滿足其元素是獨(dú)立且有有限四階矩，根據(jù)文獻(xiàn)[26]中的定理3.1 可知，若M，n1,…,nK→∞且，那么HPH?的經(jīng)驗(yàn)譜分布（ESD,e mpirical spectral distribution）弱且?guī)缀醮_定收斂到一個(gè)極限分布G。對(duì)于z∈C+，分布G的Stieltjes變換mG(z)是關(guān)于mG的方程具有正虛部的唯一解，如式(5)所示。

因此，HPH?中ESD 的幾乎確定收斂性保證的幾乎確定收斂性，同時(shí)可以得到的ESD 幾乎確定收斂到一個(gè)分布H，對(duì)于z∈C+，其Stieltjes 變換mH(z)滿足式(6)所示條件。

因此得到了與文獻(xiàn)[18]不一樣的結(jié)論。文獻(xiàn)[18]中給出的可分離條件認(rèn)為當(dāng)功率矩陣P、噪聲方差σ2確定后，分布的可分離特性是由確定的，即f、f0對(duì)最終可分離特性的影響是同等的，可以互相補(bǔ)償來實(shí)現(xiàn)譜的精確分離。但是由前文的推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，f、f0對(duì)極限譜分布最終可分離特性的影響不同的，即具有不同的優(yōu)先等級(jí)。分布F的可分離特性首先是由分布H的可分離特性來保證的，而分布H的分離特性是由極限分布G的分離特性確定的。也就是說，當(dāng)f0的取值無法保證分布G的分離特性時(shí)，無論如何調(diào)節(jié)f，都是無法獲得分布的分離特性的；而當(dāng)分布G是分離時(shí)，f的大小才對(duì)分布的分離特性有影響。歸納起來，可以描述如下。

4 實(shí)現(xiàn)導(dǎo)頻去污染的分層參數(shù)設(shè)計(jì)方法

由第3 節(jié)的分析可知，實(shí)現(xiàn)massive MIMO 系統(tǒng)中導(dǎo)頻去污染的可分離條件應(yīng)當(dāng)是分層實(shí)現(xiàn)的：首先考慮分布G的分離特性和f0的關(guān)系，然后考慮f對(duì)分布的分離特性的影響。

4.1 分布G的分離特性和f0

形如HPH?的樣本協(xié)方差矩陣的極限分布G的譜分離特性是通過對(duì)分布G支撐集的劃分來構(gòu)建的。文獻(xiàn)[26-28]對(duì)此有較為詳盡的分析，本文引用文獻(xiàn)[28]中的定理，如定理1 所示。

定理1令集合，其中是分布G的支撐集SG的補(bǔ)集，并且xG是定義在B上的函數(shù)，滿足

對(duì)x∈R*，能確定mG(z)的極限m0(x)，在z→x時(shí)，遵循以下規(guī)則。

規(guī)則1如果x∈SG，那么m0(x)是關(guān)于虛擬變量m的方程x=xG(m)在B上唯一有正虛部的解。

規(guī)則 2如果，那么m0(x)是使的關(guān)于虛擬變量m的方程x=xG(m)在B上唯一的實(shí)數(shù)解。反之，對(duì)m∈B，如果，那么。

由規(guī)則2 可以很容易地確定分布G的支撐集，即

考慮本文的分布G和式(9)，則有

考慮以下情況：當(dāng)L=3，(P1,P2,P3)分別為(5,3,1)和(8,3,1)，f0=10，f1=f2=f3時(shí)，那么函數(shù)xG(mG)和分布G的支撐集分別如圖1(a)和圖2(a)所示。由這 2 個(gè)圖可知，當(dāng)函數(shù)xG(mG)遞增時(shí)，xG(mG)不在分布G的支撐集之內(nèi)。對(duì)于不同的(P1,P2,P3)取值，分布G的支撐集會(huì)被劃分為L(zhǎng)G≤L塊，當(dāng)LG=L時(shí)，(P1,P2,P3)對(duì)應(yīng)的每一個(gè)特征值都是精確分離的；當(dāng)LG＜L時(shí)，有對(duì)應(yīng)的特征值混疊在一起。結(jié)合前文的漸近譜分析，可以分別得到對(duì)應(yīng)于圖1(a)和圖2(a)的經(jīng)驗(yàn)譜和漸近譜的分布，如圖1(b)和圖2(b)所示。從這2 個(gè)圖可以看到的譜分離性與分布G的支撐集的分離性是完全對(duì)應(yīng)的。

具體來看，圖1(a)中的圓圈表示局部極值點(diǎn)，是成對(duì)出現(xiàn)的，表示為；方塊表示拐點(diǎn)，表示為mG,j，其中j=1,…,LG，LG≤L；粗實(shí)線表示的是分布G的支撐集。圖1(b)中是對(duì)應(yīng)的的漸近譜和經(jīng)驗(yàn)譜密度，其中，虛線表示漸近譜，柱狀圖表示經(jīng)驗(yàn)譜（經(jīng)驗(yàn)譜實(shí)驗(yàn)中取N=120），為了考察f0對(duì)分布G可分離性的影響，本文實(shí)驗(yàn)取f=100，圖2 標(biāo)識(shí)同圖1。

圖1 分布G的支撐集分離特性與的譜分離性對(duì)應(yīng)關(guān)系（不完全分離）

圖2 分布G的支撐集分離特性與的譜分離性對(duì)應(yīng)關(guān)系（完全分離）

此外，由圖1 和圖2 中局部極值點(diǎn)和拐點(diǎn)與分布G的支撐集的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，成對(duì)出現(xiàn)的極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)右側(cè)一段支撐集，如圖1 和圖2 中的所示（其他極值點(diǎn)省略未標(biāo)出）；而在每對(duì)局部極值點(diǎn)之間總有一個(gè)拐點(diǎn)，如圖1 和圖2 中的之間有拐點(diǎn)mG,1所示（其中，在圖中未標(biāo)出），因此根據(jù)式(10)～式(13)，可以得到一個(gè)判定相鄰特征值是否精確分離的條件，如命題 1所示。

命題1當(dāng)滿足

本文給出一個(gè)直觀的判定條件，并不進(jìn)行證明，相關(guān)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)參見文獻(xiàn)[26-27]。根據(jù)命題1，可以得到如圖3 所示的對(duì)應(yīng)于f0和的可分離區(qū)域。由圖3 可以得出對(duì)應(yīng)于圖1和圖2 的2 個(gè)點(diǎn)分別是。很明顯位于可分離區(qū)域外而位于可分離區(qū)域內(nèi)，這與圖1 和圖2 所示的結(jié)果是相符的。

圖3 對(duì)應(yīng)于 f0和的可分離區(qū)域

由圖3 也可以看到，當(dāng)期望信號(hào)與干擾的功率差異越大時(shí)，f0的設(shè)計(jì)越簡(jiǎn)單，而兩者功率很接近時(shí)，區(qū)分彼此則是很困難的。然后，與特征推斷中需要把每一個(gè)對(duì)應(yīng)的特征值都精確分離不同，當(dāng)實(shí)現(xiàn)盲導(dǎo)頻去污染時(shí)，只需將期望信號(hào)與左右相鄰最近的干擾信號(hào)精確分離出來即可，其他離得更遠(yuǎn)的干擾源的多少并不會(huì)影響最終分離的結(jié)果。最后還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)對(duì)應(yīng)特征值的分離性存在時(shí)，期望信號(hào)的功率并不一定要大于干擾信號(hào)功率，以圖2 為例，一般考慮功率值為8 時(shí)對(duì)應(yīng)期望信號(hào)功率，而為1 和3 時(shí)是干擾信號(hào)功率。但當(dāng)假設(shè)期望信號(hào)功率為3，干擾信號(hào)功率為1 和8 時(shí)，往功率值為3 的對(duì)應(yīng)子空間投影和往功率值為8 時(shí)的子空間投影幾乎是沒有什么區(qū)別的。

4.2 分布的分離特性和f

F的支撐集是無法實(shí)現(xiàn)的。至今，關(guān)于這個(gè)問題僅有一個(gè)充分條件在文獻(xiàn)[22]中被提出，該充分條件假設(shè)了f≥ 1。這對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)而言，無疑是不可行的，因?yàn)閒≥ 1意味著在大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中所采用的導(dǎo)頻長(zhǎng)度要大于或者等于基站的接收天線數(shù)。

命題 2為了求解式(15)中的支撐集，都可以通過mG來計(jì)算。

證明由式(8)可以看到對(duì)于每一個(gè)給定的值，還與mH相關(guān)，由式(6)可知，mH可以通過mG來計(jì)算，所以顯然是可以通過mG來計(jì)算的。對(duì)于則沒那么簡(jiǎn)單，首先對(duì)式(8)求導(dǎo)得到

其中，有

顯然，式(17)可以通過mG直接計(jì)算獲得。而式(18)則沒那么直接，需要知道的表達(dá)式，直接對(duì)式(5)求導(dǎo)來計(jì)算是困難的。但利用反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)這一結(jié)論，則很容易就能得到式(19)。

證畢。

算法1對(duì)給定的f(f≤1)，判斷是否位于分布的支撐集之外

2)求解關(guān)于mG的方程。

5 仿真結(jié)果

本節(jié)通過數(shù)值仿真來評(píng)估本文所提的分層參數(shù)設(shè)計(jì)方案來實(shí)現(xiàn)massive MIMO 系統(tǒng)中的導(dǎo)頻去污染。由于本文研究的是盲導(dǎo)頻去污染的分層參數(shù)設(shè)計(jì)方案，因此數(shù)值仿真關(guān)注的是所提方案的有效性，實(shí)現(xiàn)漸近譜可分離后，對(duì)通信系統(tǒng)性能（BER,bit error ratio）的對(duì)比與文獻(xiàn)[18]是類似的，因此本文不再贅述。不失一般性地，設(shè)L=3，σ2=0.1。依據(jù)分層參數(shù)設(shè)計(jì)首先要確定f0的值，假設(shè)(P1,P2,P3)=(8,3,1)，那么對(duì)于massive MIMO系統(tǒng)而言，f0=10是一個(gè)典型值。由圖3 可知，位于可分離域內(nèi)。接下來就需要尋找最小的參數(shù)f，使其能滿足的譜精確分離。由于要使得f∈(0,1)，很自然想到用二分法來搜索可能的f。對(duì)每一個(gè)可能的f值可采用4.2 節(jié)中的數(shù)值算法來驗(yàn)證其是否支持G和的支撐集分離性。對(duì)于上述的設(shè)定：σ2=0.1，(P1,P2,P3)=(8,3,1)，f0=10，f1=f2=f3，可以最終搜索得到最小的f值為0.5（搜索步長(zhǎng)為0.1），這是一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)可以接受的參數(shù)值，如圖4 所示。圖4中右側(cè)縱軸表示的支撐集，而下側(cè)橫軸表示的支撐集。對(duì)應(yīng)的的漸近譜和經(jīng)驗(yàn)譜密度分布如圖5 所示，其中虛線表示漸近譜，柱狀圖表示經(jīng)驗(yàn)譜（經(jīng)驗(yàn)譜實(shí)驗(yàn)中N=120）。可以看到其譜的分離性與圖4 中分析的支撐集分離性是相一致的。

圖4 分布支撐集的分離性（f=0.5）

圖5 的漸近譜和經(jīng)驗(yàn)譜分離性（f=0.5）

圖6 滿足可分離條件的最小f值

6 結(jié)束語

本文提出了一種適用于massive MIMO 系統(tǒng)的，采用系統(tǒng)參數(shù)分層設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了基站接收導(dǎo)頻信號(hào)的樣本協(xié)方差矩陣的譜能精確分離，從而消除導(dǎo)頻污染的方法，解決了現(xiàn)有的盲導(dǎo)頻去污染方法的不足。通過進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)期望導(dǎo)頻信號(hào)與干擾信號(hào)之間的功率差異是實(shí)現(xiàn)譜分離的重要參數(shù)，而非期望導(dǎo)頻信號(hào)功率越大越好。當(dāng)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)接收信號(hào)譜的精確分離后，干擾源的多少并不會(huì)影響最終的結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，首次給出了數(shù)值方法，當(dāng)f＜ 1，即所采用的導(dǎo)頻序列長(zhǎng)度小于基站接收天線數(shù)時(shí)，仍然能實(shí)現(xiàn)譜分離，完全消除了上行信號(hào)的導(dǎo)頻污染。