劉帥軍，胡月梅，范春石，凌騰，劉立祥

（1.中國科學(xué)院軟件研究所，北京 100190；2.北京中科宇航探索技術(shù)有限公司，北京 101100；3.航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京 100094）

1 引言

低軌（LEO,low earth orbit）衛(wèi)星星座以星地鏈路時(shí)延低、傳播損耗小等優(yōu)點(diǎn)，在服務(wù)全球多媒體及物聯(lián)網(wǎng)等業(yè)務(wù)上發(fā)揮著重要的作用?？紤]到衛(wèi)星鏈路可用帶寬較小，星載發(fā)射機(jī)通常采用多波束天線配置以提供空分增益，提升系統(tǒng)傳輸效率。同時(shí)，為實(shí)現(xiàn)全球范圍的連續(xù)無縫覆蓋，需要LEO 星座的各波束間可以無縫地覆蓋全球。然而，這種全球覆蓋需求造成了LEO 波束間存在較大的重疊覆蓋，且?guī)砹舜罅繜o用波束的資源開銷，該問題在近極軌道星座下的高緯度區(qū)域覆蓋中尤其突出[1-2]。例如，近極軌道LEO 星座——銥星（Iridium）系統(tǒng)，為避免相鄰衛(wèi)星多波束間在高緯度區(qū)域產(chǎn)生嚴(yán)重重疊，該系統(tǒng)采用動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉策略，降低系統(tǒng)運(yùn)行過程中的相互干擾，并節(jié)省星上功率等資源開銷。相關(guān)文獻(xiàn)指出，銥星系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過程中僅需2 150 個(gè)波束（關(guān)閉1 018 個(gè)波束）即可滿足覆蓋全球的通信業(yè)務(wù)[3]。

低軌星座網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉策略是在多波束低軌衛(wèi)星星座場(chǎng)景下確定衛(wèi)星多個(gè)波束如何關(guān)閉的策略，需在既定目標(biāo)和約束下從給定波束集合中選擇一組波束進(jìn)行關(guān)閉。針對(duì)該問題，國內(nèi)外航天機(jī)構(gòu)開展了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[4]提出了一種全球低軌星座系統(tǒng)中的動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉方法，主要考慮了在星載太陽能帆板充放電約束下的波束開關(guān)策略，通過地基控制中心集中調(diào)度以最大化衛(wèi)星功率利用率。文獻(xiàn)[5]提出了一種干擾抑制技術(shù)，綜合考慮了低軌星座內(nèi)波束重疊、負(fù)載輕重等因素，通過確定第一衛(wèi)星第一波束覆蓋帶而關(guān)閉剩余波束，同時(shí)由第二衛(wèi)星第二波束子集進(jìn)行補(bǔ)充覆蓋，在滿足全球連續(xù)覆蓋下可降低星座內(nèi)的干擾并優(yōu)化負(fù)載均衡。與文獻(xiàn)[5]類似，文獻(xiàn)[6-7]提出了通過動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉實(shí)現(xiàn)低軌星座頻率規(guī)避的方法，重點(diǎn)考慮了與地球同步軌道（GSO,geosynchronous orbit）衛(wèi)星的干擾規(guī)避問題。

現(xiàn)有研究以頂層策略為主，即僅定義或約束一些波束關(guān)閉的原則，尚未進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)模型建立及動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉算法的深入研究。在此基礎(chǔ)上，本文建立低軌星座網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉的系統(tǒng)場(chǎng)景及數(shù)學(xué)模型，并在給定目標(biāo)函數(shù)和約束條件下建立、求解優(yōu)化問題。本文首先對(duì)低軌星座網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉的系統(tǒng)場(chǎng)景和數(shù)學(xué)模型進(jìn)行建模，在保證全球連續(xù)無縫覆蓋和有業(yè)務(wù)傳輸?shù)牟ㄊ魂P(guān)閉這2 項(xiàng)約束條件下，建立了旨在最小化低軌星座激活波束個(gè)數(shù)的最優(yōu)化問題，從而最小化由波束間重疊所造成的干擾與資源閑置。然后，通過將待求解的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為集合覆蓋問題（SCP,set cover problem），闡明了該問題的NP 完全屬性；結(jié)合低軌星座網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)運(yùn)行特點(diǎn)，急切需要一種快速收斂且高效的探索式算法?；诖耍疚奶岢鲆环N門限控制截?cái)嗟奶剿魇剿惴ǎ浠舅枷胧窃诮o定時(shí)間域內(nèi)進(jìn)行探索，以保證高動(dòng)態(tài)低軌星座網(wǎng)絡(luò)下的快速收斂特性。最后，仿真結(jié)果以實(shí)際低軌星座網(wǎng)絡(luò)——銥星系統(tǒng)為仿真場(chǎng)景，驗(yàn)證了所提算法在降低波束重疊方面的效果。

本文主要工作歸納如下。

1)建立了低軌星座網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉的數(shù)學(xué)模型?；诘蛙壭亲l(wèi)星動(dòng)力學(xué)方程、星上波束配置、星座覆蓋要求等約束，以最小化星座激活波束個(gè)數(shù)為目標(biāo)，建立了低軌星座網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉的最優(yōu)化模型。

2)提出一種基于門限控制截?cái)嗟奶剿魇剿惴ā?duì)動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉優(yōu)化問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化與分析，證明了該問題是NP 完全問題；結(jié)合低軌星座對(duì)地覆蓋的高動(dòng)態(tài)特性，提出了具有時(shí)效性的基于門限控制截?cái)嗵剿魇剿惴ā?/p>

2 系統(tǒng)模型與問題建模

2.1 LEO 衛(wèi)星星座場(chǎng)景描述

本文以低軌多波束衛(wèi)星星座為研究對(duì)象，該星座網(wǎng)絡(luò)內(nèi)各星采用星載多波束天線。記該低軌星座的衛(wèi)星個(gè)數(shù)為NS，星座內(nèi)衛(wèi)星為si,i=1,2,…,NS。對(duì)于每顆衛(wèi)星而言，采用半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)幅角和近地點(diǎn)時(shí)刻這6 個(gè)參數(shù)即可實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星位置與運(yùn)行規(guī)律的表征。為了更清晰地表征星座網(wǎng)絡(luò)的空間關(guān)系，定義衛(wèi)星本體坐標(biāo)系[8-9]：以衛(wèi)星平臺(tái)質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以原點(diǎn)指向地心為正Z軸，以原點(diǎn)指向衛(wèi)星切線運(yùn)行方向?yàn)檎齒軸，根據(jù)右手法則得到Y(jié)軸。衛(wèi)星本體坐標(biāo)系如圖1 所示。

圖1 衛(wèi)星本體坐標(biāo)系

記每顆衛(wèi)星的波束個(gè)數(shù)為NB，bi,j表示衛(wèi)星si的第j個(gè)波束，i=1,2,…,NS,j=1,2,…,NB，則系統(tǒng)總波束個(gè)數(shù)為NB,tot=NSNB。記星座網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)覆蓋區(qū)域?yàn)镚，對(duì)于任意終端gk={Latgk,Longk}而言，若該終端位于服務(wù)區(qū)域內(nèi)，則表示為gk∈G；否則表示為gk?G。

衛(wèi)星多波束通過星載多波束天線生成，即多波束空間指向與衛(wèi)星平臺(tái)自身密切相關(guān)，基于此，衛(wèi)星多波束空間指向的定義需以衛(wèi)星本體坐標(biāo)系為參考。對(duì)于波束bi,j而言，其在衛(wèi)星si本體坐標(biāo)系下，定義其空間指向，其中，Azi,j為方位角，Eli,j為仰角。方位角定義為以正X軸順時(shí)針方向到波束指向在XOY平面投影的角度，仰角定義為波束指向與XOZ平面的夾角。同樣，可求得在衛(wèi)星si本體坐標(biāo)系下衛(wèi)星si指向終端gk的方向?yàn)?。進(jìn)一步，通過式(1)可獲得空間向量對(duì)應(yīng)的OXYZ表示，即。

此時(shí)，波束指向與衛(wèi)星終端指向的空間夾角θi,j,k如式(2)所示。

其中，θi,j,k可根據(jù)空間角度關(guān)系計(jì)算得到。衛(wèi)星多波束指向示意如圖2 所示。

圖2 衛(wèi)星多波束指向示意

衛(wèi)星各波束采用圓波束模型，對(duì)應(yīng)的波束角（BW,beam width）記為。對(duì)于采用具有其他非圓波束的星座網(wǎng)絡(luò)而言，也可通過求解終端與星間相對(duì)空間角度判斷覆蓋與否。對(duì)于波束bi,j、終端gk而言，當(dāng)衛(wèi)星終端指向與波束指向之間空間夾角小于該波束半波寬時(shí)，認(rèn)為終端被該波束覆蓋，否則認(rèn)為該終端不在波束覆蓋范圍內(nèi)。為此，定義終端-波束相關(guān)的覆蓋因子ci,j,k，表征終端gk是否被波束bi,j覆蓋。覆蓋因子ci,j,k的計(jì)算式為

同時(shí)，定義波束激活與否因子ai,j，以表征波束處于激活或關(guān)閉的狀態(tài)。ai,j計(jì)算式為

2.2 問題建模

本文研究目標(biāo)是最小化星座網(wǎng)絡(luò)工作的波束數(shù)，如式(5)所示。

當(dāng)星座網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部分波束關(guān)閉時(shí)，應(yīng)滿足如下2個(gè)約束條件。

約束1保證服務(wù)區(qū)域的覆蓋，即在若干波束關(guān)閉的情況下，對(duì)于服務(wù)區(qū)域內(nèi)任意終端而言，至少存在一個(gè)激活的波束可覆蓋該終端。該約束為

約束2若有正在進(jìn)行業(yè)務(wù)傳輸?shù)牟ㄊ豢申P(guān)閉，不妨將此波束集合記為 Bserving，Bserving?B。該約束為

綜上，本文研究的動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉最優(yōu)化問題為

3 門限控制截?cái)嗟膭?dòng)態(tài)波束關(guān)閉算法

本節(jié)描述了所提門限控制截?cái)嗟膭?dòng)態(tài)波束關(guān)閉算法。首先對(duì)式(8)中的優(yōu)化問題進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化，進(jìn)而設(shè)計(jì)所提算法。

3.1 問題分析與轉(zhuǎn)化

考慮到式(8)所建立的最優(yōu)化問題屬于二重求和問題，目標(biāo)是最小化激活波束的個(gè)數(shù)，而約束需保證連續(xù)覆蓋與有業(yè)務(wù)傳輸波束不關(guān)閉。由此，可將此二重求和重寫為以波束為基的一重求和問題。

構(gòu)造波束與終端相關(guān)的一個(gè)矩陣D，該矩陣的行表示一個(gè)波束，列表示終端，如式(9)所示。

記dn為矩陣D的行向量，任意若干組行向量組成子矩陣，則最優(yōu)化問題(8)可轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)最小SCP，如式(10)所示。

以下將闡明2 個(gè)引理，以證明本文所求解動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉問題（即式(8)）是一個(gè)NP 完全問題。

引理1式(8)的優(yōu)化問題P 等價(jià)于式(10)的優(yōu)化問題Q。

證明由式(9)可知，矩陣D是由覆蓋因子ci,j,k組成的二維矩陣，而最優(yōu)化問題Q 目標(biāo)是最小化子矩陣D'的行向量個(gè)數(shù)，即最小化波束個(gè)數(shù)；優(yōu)化問題Q 的約束1 保證了子矩陣中至少存在一個(gè)行向量（即波束），可滿足對(duì)覆蓋區(qū)域G 內(nèi)任意終端的覆蓋；進(jìn)一步結(jié)合由式(9)對(duì)矩陣D的定義可知，優(yōu)化問題Q 的約束2 保證了正在進(jìn)行業(yè)務(wù)傳輸?shù)牟ㄊ幱诩せ顮顟B(tài)。綜上，優(yōu)化問題Q 在目標(biāo)函數(shù)與2 個(gè)約束條件上與優(yōu)化問題P 是一致的，即式(8)的優(yōu)化問題P 等價(jià)于式(10)的優(yōu)化問題Q。

證畢。

引理2式(10)的優(yōu)化問題Q 是一個(gè)最小SCP。

證明SCP=(X,Y,W)描述為給定一個(gè)全集X及該全集的若干子集Y，有∪?y∈Y=X，記子集Y內(nèi)每個(gè)元素的權(quán)重為w(y)，則目標(biāo)是找出一個(gè)集合F?Y，在滿足全集X所有元素下，∪?y∈F=X，使該集合權(quán)重和最小，即。結(jié)合優(yōu)化問題Q，可將其建模為一個(gè)SCP 實(shí)例，具體如下。令X={k|k=1,2,…,K}，Y={yn|n=1,2,…,NB,tot}，且有yn={k|dn,k=1}，由星座內(nèi)所有波束可對(duì)區(qū)域G 內(nèi)終端全覆蓋可知，∪?y∈Y=X，且w(y)=1。綜上，優(yōu)化問題Q 是一個(gè)最小SCP。

證畢。

結(jié)合上述2 個(gè)引理，可給出如下定理及證明。

定理1式(8)的優(yōu)化問題P 是NP 完全問題。

證明由引理1 可知，式(8)優(yōu)化問題P 等價(jià)于式(10)優(yōu)化問題Q；由引理2 可知，式(10)優(yōu)化問題Q 是一個(gè)最小SCP；同時(shí)，SCP 是已知的NP 完全問題[10-12]。綜上可知，本文待求解的動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉優(yōu)化問題P 是NP 完全問題。

證畢。

3.2 門限控制截?cái)嗵剿魇剿惴?/h3>

由3.1 節(jié)可知，本文待求解的問題是一個(gè)最小SCP。針對(duì)此問題的求解方法可分為精確求解方法和啟發(fā)式求解方法。考慮到SCP 的NP 完全屬性，使用精確求解方法雖然可以保證得到最優(yōu)解，但隨著求解問題規(guī)模的不斷擴(kuò)大，精確求解方法的求解時(shí)間呈指數(shù)上升，此時(shí)無法保證在可接受的時(shí)間內(nèi)返回一個(gè)候選解。相比而言，啟發(fā)式方法在合理的求解時(shí)間內(nèi)能夠獲得一個(gè)盡可能好的候選解，但是不能保證這個(gè)候選解是最優(yōu)解?？紤]到本文所求問題的規(guī)模較大，例如，對(duì)于銥星系統(tǒng)的3 168 個(gè)波束，終端全球分布取1 經(jīng)度×1 緯度情況下，則需求解矩陣為3 168×64 800 的規(guī)模；對(duì)于OneWeb 系統(tǒng)，則需求解矩陣為11 520×64 800 的規(guī)模，精準(zhǔn)求解方法求解時(shí)間開銷難以接受。

基于此，本文給出一種門限控制截?cái)嗟奶剿魇剿惴?，基本思想是在保證全覆蓋與某些波束不關(guān)閉的約束下，逐次嘗試關(guān)閉波束；為保證算法的時(shí)效性，采用了門限控制的方式以截?cái)鄨?zhí)行時(shí)間窗。在每次執(zhí)行過程中選擇哪個(gè)波束進(jìn)行關(guān)閉則是本文算法的難點(diǎn)。首先，給出本文算法執(zhí)行的總體流程設(shè)計(jì)；然后，詳述算法過程中關(guān)閉波束選擇的設(shè)計(jì)。

1)門限控制截?cái)嗵剿魇剿惴傮w流程設(shè)計(jì)

門限控制截?cái)嗟奶剿魇剿惴ɑ玖鞒倘缦隆?/p>

步驟1令波束-終端相關(guān)的覆蓋矩陣D'=D，且在D'中選擇一個(gè)行向量dn，將此行向量從矩陣D'中去除（即等價(jià)于關(guān)閉行向量dn所代表的波束）；令Niter=0。

步驟2若D'仍滿足式(10)中的約束條件，則更新D=D'，返回步驟1 繼續(xù)執(zhí)行；否則，迭代搜索次數(shù)Niter加1，跳至步驟3。

步驟3判斷迭代搜索次數(shù)是否超過門限，即Niter＞NTh，若滿足，跳至步驟4；否則，返回步驟1。

步驟4算法結(jié)束，輸出波束關(guān)閉算法的解D。

2)關(guān)閉波束選擇的設(shè)計(jì)

關(guān)于步驟1 中“在D'中選擇一個(gè)行向量dn”，選擇dn的依據(jù)如下。

原則1有正在進(jìn)行業(yè)務(wù)傳輸?shù)牟ㄊ魂P(guān)閉。

原則2重疊覆蓋最嚴(yán)重的波束應(yīng)優(yōu)先選擇關(guān)閉。對(duì)該波束所覆蓋的終端而言，其波束平均覆蓋重?cái)?shù)（同時(shí)被波束覆蓋的次數(shù)）最大的將被優(yōu)先選擇以關(guān)閉。因此行向量dn的選擇方法如式(11)所示。

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 仿真配置

以銥星星座網(wǎng)絡(luò)為仿真場(chǎng)景，銥星星座空間段為66 顆星，每顆星具備48 個(gè)點(diǎn)波束，則銥星星座網(wǎng)絡(luò)波束個(gè)數(shù)總計(jì)為66×48=3 168。銥星星座的仿真參數(shù)配置[13-14]如表1 所示。

表1 仿真參數(shù)配置

銥星采用星載三幅相控陣天線，每副天線生成16 個(gè)點(diǎn)波束?？紤]到衛(wèi)星實(shí)際48 波束的波束寬度及指向等并未公布，基于銥星星座終端最小工作仰角8.2°等參數(shù)，本文仿真場(chǎng)景采用表2 中的點(diǎn)波束配置。

表2 銥星單幅相控陣天線16 波束仿真配置

其余兩幅相控陣生成的32 副天線，只需在上述天線基準(zhǔn)上分別順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°即可。通過仿真可以得到48 波束配置下的單星覆蓋區(qū)域仰角及多波束分布特性，如圖3 所示。其中，緯度的正值表示北緯，負(fù)值表示南緯；經(jīng)度的正值表示東經(jīng)，負(fù)值表示西經(jīng)。圖3(a)為終端對(duì)衛(wèi)星的仰角分布。從圖3(a)可以看出，處于衛(wèi)星星下點(diǎn)區(qū)域的終端仰角較大，星下點(diǎn)處終端對(duì)衛(wèi)星的仰角為90°；隨著終端位置遠(yuǎn)離星下點(diǎn)，仰角越來越小，衛(wèi)星對(duì)單顆終端的覆蓋可實(shí)現(xiàn)最小工作仰角8.2°，與銥星網(wǎng)絡(luò)工作參數(shù)一致。圖3(b)為星載48 波束對(duì)地覆蓋，不同顏色表示48 個(gè)波束的對(duì)地覆蓋區(qū)域。由于本文假設(shè)同一波束寬度的圓波束配置，因此，星下點(diǎn)附近的波束覆蓋范圍較小，遠(yuǎn)離星下點(diǎn)區(qū)域的波束覆蓋范圍較大。

4.2 結(jié)果與分析

通過仿真可知，銥星星座網(wǎng)絡(luò)可關(guān)閉1 255 個(gè)波束，僅1 913 個(gè)波束同時(shí)工作即可滿足全球覆蓋要求，即本文所提方案可節(jié)省39.61%的波束資源。銥星星座網(wǎng)絡(luò)波束全部激活情況下對(duì)地覆蓋分布如圖4 所示。采用本文波束關(guān)閉策略后，銥星星座網(wǎng)絡(luò)對(duì)地覆蓋分布如圖5 所示。

圖3 衛(wèi)星覆蓋區(qū)域仰角及多波束分布

由圖4 可以看出，銥星星座對(duì)地覆蓋在赤道與中低緯度區(qū)域較稀疏，而在極地區(qū)域及高緯度區(qū)域較密集。對(duì)于任意終端而言，至少有一個(gè)波束的覆蓋保證了網(wǎng)絡(luò)的全球覆蓋，而極地區(qū)域存在多達(dá)15 個(gè)波束重疊覆蓋。相比而言，當(dāng)采用波束關(guān)閉策略后，極地區(qū)域可在保證全球連續(xù)覆蓋的情況下，降低至最多7 個(gè)波束重疊覆蓋。圖4 和圖5 的覆蓋分布可進(jìn)一步通過波束覆蓋重?cái)?shù)的累計(jì)分布函數(shù)（CDF,cumulative distribution function）來表征，如圖6所示。

圖4 銥星星座網(wǎng)絡(luò)波束全部激活情況下對(duì)地覆蓋分布

圖5 銥星星座網(wǎng)絡(luò)采用波束關(guān)閉策略后對(duì)地覆蓋分布

圖6 銥星星座網(wǎng)絡(luò)波束覆蓋重?cái)?shù)CDF

由圖6 可知，波束關(guān)閉前，有超過80%的終端具備至少2 個(gè)波束重疊覆蓋；采取波束關(guān)閉策略后，該比率下降到60%。波束關(guān)閉前，39%的終端超過了3 個(gè)波束重疊覆蓋；采取波束關(guān)閉策略后，該比例下降到3%。由此可看出，波束間重疊覆蓋的問題得到顯著改善。進(jìn)一步地，探究衛(wèi)星工作波束個(gè)數(shù)與衛(wèi)星工作緯度的關(guān)系，如圖7 所示。其中，緯度的正值表示北緯，負(fù)值表示南緯。

圖7 波束關(guān)閉策略后激活波束個(gè)數(shù)與星下點(diǎn)緯度的關(guān)系

由圖7 可知，對(duì)于運(yùn)行在中低緯度上空的衛(wèi)星而言，波束工作的個(gè)數(shù)較多，如緯度低于40°區(qū)域內(nèi)，衛(wèi)星工作波束個(gè)數(shù)在40 個(gè)以上，即僅關(guān)閉了不到8 個(gè)波束；對(duì)于運(yùn)行在高緯度上空的衛(wèi)星而言，波束工作的個(gè)數(shù)較少，如緯度高于75°區(qū)域內(nèi)，衛(wèi)星工作波束個(gè)數(shù)大多在10 個(gè)以下，即關(guān)閉了38 個(gè)波束。

綜上，針對(duì)星座網(wǎng)絡(luò)在高緯度區(qū)域重疊覆蓋嚴(yán)重的問題，本文采取的波束關(guān)閉策略可顯著降低高緯度區(qū)域重疊波束覆蓋，在保證全球覆蓋的基礎(chǔ)上最小化星座系統(tǒng)的工作波束個(gè)數(shù)，在降低波束間干擾的同時(shí)降低了39.61%的波束資源開銷。

5 結(jié)束語

針對(duì)低軌多波束衛(wèi)星星座網(wǎng)絡(luò)存在的波束間嚴(yán)重的重疊覆蓋問題，本文建立了波束關(guān)閉優(yōu)化問題，在闡明該問題的NP 完全特征后，采用探索式方法進(jìn)行求解。以銥星星座網(wǎng)絡(luò)為仿真場(chǎng)景，對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)3 168 個(gè)波束僅需1 913 個(gè)波束同時(shí)工作即可滿足要求，降低了39.61%波束資源的開銷。下一步工作主要包括考慮非正圓波束形狀下的動(dòng)態(tài)關(guān)閉方法，如高橢圓波束及其他成形波束；考慮在對(duì)GSO 衛(wèi)星干擾規(guī)避下的動(dòng)態(tài)波束關(guān)閉方法。