李彩峰，徐 鋒，張玉梅，劉娟娟，范雪峰

（北方自動控制技術(shù)研究所，太原 030006）

0 引言

火箭炮射擊的面目標(biāo)是指正面和縱深超過一發(fā)火箭彈覆蓋范圍的目標(biāo)。要實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的全覆蓋就需要多發(fā)火箭彈進(jìn)行射擊，此時就涉及到如何確定彈著點(diǎn)在目標(biāo)上的相對位置。由于火箭炮的射擊存在誤差，對目標(biāo)位置的觀測也存在誤差，因而在實(shí)際計(jì)算過程中需要考慮的問題是：在一定誤差條件下，如何確定若干發(fā)火箭彈的預(yù)定打擊位置，使得對目標(biāo)造成最好的毀傷效果。

在實(shí)際應(yīng)用中，一般將火箭彈的分火點(diǎn)均勻分配到面目標(biāo)上，這種分配方式雖然考慮到了目標(biāo)“面”的特性，但是卻忽略了火箭彈射擊誤差和目標(biāo)觀測誤差，導(dǎo)致在誤差較大的情況下分火點(diǎn)的位置本來應(yīng)該遠(yuǎn)離目標(biāo)觀測中心，但卻和誤差較小的情況下一致；在參考文獻(xiàn)［4］中指出可以考慮火箭彈的射擊誤差，構(gòu)建火箭彈對目標(biāo)的有效毀傷面積模型，從而使用最優(yōu)化的方法將分火點(diǎn)較優(yōu)地分配到目標(biāo)面上，但是它并沒有考慮目標(biāo)觀測誤差的影響，同時未提及使用何種最優(yōu)化方法。針對以上缺陷，本文綜合考慮火箭彈的射擊誤差和目標(biāo)的觀測誤差，使用概率方法構(gòu)建火箭彈分火點(diǎn)和火箭彈對目標(biāo)有效毀傷面積的函數(shù)關(guān)系。由于構(gòu)建出的函數(shù)較復(fù)雜，在對面目標(biāo)進(jìn)行微元計(jì)算時計(jì)算量巨大，無法使用傳統(tǒng)的精確求解方法，考慮到遺傳算法是一種求解近似最優(yōu)解的良好算法，并且相比于傳統(tǒng)優(yōu)化算法從單個初始值迭代求最優(yōu)解容易誤入局部最優(yōu)解的缺點(diǎn)，遺傳算法從串集開始搜索，覆蓋面大，利于全局擇優(yōu)，故本文采用遺傳算法對該模型進(jìn)行求解。下面首先提出火箭彈射擊誤差和目標(biāo)觀測誤差的描述方法。

火箭彈的射擊誤差一般使用射彈散布概率偏差表示。射彈散布概率偏差是指在射彈散布面上，與散布軸對稱，彈著點(diǎn)出現(xiàn)概率為50%的區(qū)間概率的一半，具有高低、方向和距離射彈散布概率偏差之分，使用字母E 表示，單位為m。在二維平面中，以散布中心為原點(diǎn)，以射彈正面為X 軸，縱深為Y軸建立直角坐標(biāo)系，射彈落點(diǎn)相對于其散布中心的坐標(biāo)是一個二維隨機(jī)變量，且其密度函數(shù)如下：

其中，ρ 是一常數(shù)，ρ=0.477，Ex表示射彈的距離概率偏差，Ey表示射彈的方向概率偏差。進(jìn)行如下的隨機(jī)變量替換：

可知二維隨機(jī)變量（T，D）服從如下的二維正態(tài)分布：

即隨機(jī)變量T、D 相互獨(dú)立且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

目標(biāo)的觀測誤差也使用散布概率偏差衡量，假設(shè)目標(biāo)正面、縱深與射彈的正面、縱深一致，則以目標(biāo)中心、射彈正面、射彈縱深建立直角坐標(biāo)系，也可以得出目標(biāo)中心與其正面散布偏差和縱深散布偏差關(guān)系類似上面的結(jié)果。

1 計(jì)算目標(biāo)的有效毀傷面積

在未對目標(biāo)進(jìn)行射擊時，需要預(yù)先估計(jì)火箭彈的毀傷面積，此處提出有效毀傷面積的概念。假設(shè)火箭彈在其毀傷區(qū)域內(nèi)的毀傷均勻，由于目標(biāo)的觀測存在誤差，設(shè)平面中任意一點(diǎn)在目標(biāo)范圍內(nèi)的概率為Pm（x，y），同時火箭彈存在散布誤差，設(shè)該點(diǎn)被火箭彈覆蓋的概率為P1（x，y），則可知該點(diǎn)同時在目標(biāo)范圍內(nèi)和火箭彈覆蓋范圍內(nèi)為射擊有效，即有效面積為：

由此可知有效面積由上述的兩個概率決定，下面對Pm（x，y）和P1（x，y）進(jìn)行求解。

1.1 平面中任意一點(diǎn)在目標(biāo)范圍內(nèi)的概率

假設(shè)目標(biāo)為一矩形，其正面長度為D，縱深長度為F，以目標(biāo)觀測中心為原點(diǎn)，目標(biāo)正面方向?yàn)閄軸，縱深方向?yàn)閅 軸。由式（1）可得目標(biāo)實(shí)際中心偏離觀測中心的概率密度函數(shù)，在該坐標(biāo)系中任取一點(diǎn)P（x，y），以該點(diǎn)為中心，兩邊分別平行于X 軸、Y軸，長度分別為D、F 的矩形，記該矩形區(qū)域?yàn)棣?，則當(dāng)目標(biāo)觀測中心實(shí)際位置落到區(qū)域Ω 中時，點(diǎn)P 處于目標(biāo)內(nèi)。即點(diǎn)P 在目標(biāo)范圍內(nèi)的概率為：

將式（2）、式（3）帶入式（5）可得：

1.2 平面中任意一點(diǎn)被火箭彈覆蓋的概率

假設(shè)火箭彈的毀傷區(qū)域?yàn)椋↙x×Ly）的矩形，多發(fā)火箭彈類型一致且射擊相互獨(dú)立，同時目標(biāo)正面、縱深和射彈正面、縱深一致，因而可以在1.1 節(jié)中構(gòu)建的坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行處理。設(shè)第i 發(fā)火箭彈計(jì)劃的彈著點(diǎn)位置，即散布中心，為Qi（xi，yi），任取點(diǎn)P（x，y），則該點(diǎn)相對于散布中心的坐標(biāo)為（x-xi，y-yi），根據(jù)式（6）可得點(diǎn)P 被第i 發(fā)火箭彈覆蓋的概率為：

從而可得點(diǎn)P 被火箭彈覆蓋的概率為1，減去其不被任意一發(fā)彈覆蓋的概率，即：

式（8）中，n 表示發(fā)射的火箭彈總數(shù)。

2 使用遺傳算法計(jì)算近似最優(yōu)值

根據(jù)引言中所述對火箭彈射擊目標(biāo)的描述，結(jié)合第1 節(jié)的描述，可以抽象出如下問題：如何確定n發(fā)火箭彈的位置（Q1，Q2，…，Qn），使得火箭彈對目標(biāo)的有效毀傷面積S1最大。即：

在該最優(yōu)化模型中，目標(biāo)函數(shù)的自變量數(shù)目較多，目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜，很難通過解析的方法求得最優(yōu)解，遺傳算法可以較好地解決這類問題。同時，火箭彈的數(shù)量未確定，需要計(jì)算同一目標(biāo)不同數(shù)量火箭彈的毀傷面積，以獲得更優(yōu)的結(jié)論。

2.1 確定變量的取值范圍

2.2 對變量進(jìn)行編碼和解碼

將0 到nx+1 范圍內(nèi)的整數(shù)一一映射到固定長度的二進(jìn)制數(shù)中，以其中數(shù)值位數(shù)最長的二進(jìn)制數(shù)值的長度作為二進(jìn)制碼的長度，不足位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)值前面補(bǔ)足0，這使得變量從取值范圍的左界到有界每經(jīng)過一個精度就對應(yīng)一個二進(jìn)制數(shù)，如此就構(gòu)建了一一對應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了坐標(biāo)點(diǎn)X 坐標(biāo)的編碼gx，Y坐標(biāo)的編碼gy確定原理同上。這個一一對應(yīng)關(guān)系就確定了編碼和解碼規(guī)則。將具有固定位數(shù)的二進(jìn)制數(shù)視為基因序列，二進(jìn)制數(shù)的每一位值即為一個基因。

2.3 基因串的適應(yīng)度評估

將二進(jìn)制數(shù)值作為基因串之后，要確定種群的規(guī)模，即表征同一個變量的基因個數(shù)，該過程由隨機(jī)函數(shù)生成，本文選定種群規(guī)模為50，每個基因串都具備適應(yīng)度fi。適應(yīng)度是一種評估基因串是否適應(yīng)環(huán)境的一個表征值，在最優(yōu)化問題中，適應(yīng)度即將基因串解碼成數(shù)值后，帶入最優(yōu)化函數(shù)的數(shù)值，即：

適應(yīng)度越大，就表示該基因串更有可能遺傳下去。

2.4 基因的突變

基因突變是克服迭代算法過早收斂的一個重要途徑。遺傳算法中的基因突變首先要確定基因突變的概率p，設(shè)每個基因串的長度為n，則每次要突變的基因的個數(shù)為50×n×p，將所有的基因串排成一整串，隨機(jī)選取上述數(shù)目的位置，將該位置的基因的數(shù)值進(jìn)行如下變換：

2.5 基因的遺傳

每個基因串都具有其適應(yīng)度，適應(yīng)度越大的基因越容易遺傳給下一代，通過歸一化方法求解出每個基因遺傳給下一代的概率：

當(dāng)確定了基因串被遺傳的概率后，通過隨機(jī)方法將基因串復(fù)制到下一代，保證遺傳概率高的基因串被復(fù)制的概率也高，如此進(jìn)行若干代之后，適應(yīng)度低的基因串就會被逐漸淘汰，適應(yīng)度高的基因串就會在種群中擴(kuò)散［5-7］。

在進(jìn)行若干代迭代后，種群中基因串的適應(yīng)度趨向于穩(wěn)定，通過設(shè)定遺傳的最大代數(shù)和最優(yōu)值浮動的幅度大小可以控制算法的結(jié)束。

3 模型的仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在實(shí)際情況下，彈著點(diǎn)的位置受目標(biāo)大小和誤差大小影響，而同一種火箭彈的誤差一般為定值，同時在精確制導(dǎo)的條件下，其誤差相對較小。在本文的仿真實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)火箭彈的毀傷區(qū)域?yàn)椋?00 m×200 m），其距離概率偏差Ex和方向概率偏差Ey分別為15 m 和15 m，在此條件下，彈著點(diǎn)分配就隨著目標(biāo)觀測誤差的變化而變化，因而本文著重考慮以下情況下彈著點(diǎn)的分配問題：

1）目標(biāo)1：面目標(biāo)，其區(qū)域范圍為（400 m×400 m），其正面散布偏差和縱深散布偏差較小，分別為10 m和10 m。

2）目標(biāo)2：點(diǎn)目標(biāo)，其區(qū)域范圍為（50 m×50 m），其正面散布偏差和縱深散布偏差較大，分別為100 m和100 m。

3）目標(biāo)3：線目標(biāo)，其區(qū)域范圍為（500 m×50 m），其正面散布偏差較小，縱深散布偏差較大，分別為10 m 和100 m。

上述3 種目標(biāo)的選取基于如下依據(jù)：觀測誤差相對于目標(biāo)而言較大時，目標(biāo)中心散布區(qū)域較大，使得目標(biāo)有概率出現(xiàn)在遠(yuǎn)大于目標(biāo)觀測區(qū)域的位置。而對點(diǎn)目標(biāo)而言，如果觀測誤差較小，僅需要考慮彈著點(diǎn)位置在目標(biāo)中心即可；對線目標(biāo)而言，如果其觀測誤差較小，則彈著點(diǎn)位置在目標(biāo)中軸線上呈均勻分布。而當(dāng)這兩種目標(biāo)的觀測誤差較大時，它們就具備了面目標(biāo)的特性，可以使用本文構(gòu)建的模型求解彈著點(diǎn)位置。

考慮散布誤差的情況下，一發(fā)火箭彈在平面上的毀傷概率圖如下頁圖1 所示，該圖使用等高線的形式表示毀傷概率圖，其中每條等高線上的數(shù)值表示該線上的點(diǎn)被該發(fā)火箭彈覆蓋的概率?？梢钥闯?，點(diǎn)被火箭彈覆蓋的概率隨著其距離散布中心的距離增大而逐漸降低，且在正面或縱深方向超出散布中心130 m之后的區(qū)域上的點(diǎn)被火箭彈覆蓋的概率不足0.1。

圖1 一發(fā)火箭彈的毀傷概率圖

下面的幾個表格列出了本文仿真結(jié)果，給出了若干發(fā)火箭彈在目標(biāo)上的彈著點(diǎn)分配坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)為目標(biāo)觀測中心，X 軸方向與目標(biāo)正面平行，Y 軸方向與目標(biāo)縱深方向平行，同時給出了有效毀傷面積以及有效毀傷面積占目標(biāo)總面積的比值，本文將該比值稱為有效毀傷效率。

除了上述3 個目標(biāo)的仿真結(jié)果，本文還對觀測誤差較小的點(diǎn)目標(biāo)和線目標(biāo)進(jìn)行了仿真，均能計(jì)算出彈著點(diǎn)位置，并且對點(diǎn)目標(biāo)而言，彈著點(diǎn)位置總是位于目標(biāo)觀測中心；對線目標(biāo)而言，彈著點(diǎn)總是在目標(biāo)中軸線上均勻分布，這種分法與實(shí)際情況相符，故而本文不將其列出。

由對目標(biāo)1 的仿真結(jié)果可知，在彈數(shù)為1、2、4發(fā)時，本文所用模型計(jì)算出的彈著點(diǎn)位置符合均勻分布的特點(diǎn)，當(dāng)彈數(shù)為3 發(fā)時，均勻分布和仿真結(jié)果所生成的彈著點(diǎn)位置如圖2 所示。

圖2 均勻分布（左）和仿真結(jié)果（右）的彈著點(diǎn)位置圖示

表1 目標(biāo)1 的仿真結(jié)果

表2 目標(biāo)2 的部分仿真結(jié)果

表3 目標(biāo)3 的部分仿真結(jié)果

同時，比較兩者的有效毀傷面積可知仿真結(jié)果所得的彈著點(diǎn)造成的有效毀傷面積更大。

分析目標(biāo)2 和目標(biāo)3 的仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)目標(biāo)觀測誤差較大時，彈著點(diǎn)位置會分布到目標(biāo)觀測范圍之外，符合實(shí)際情況。

4 結(jié)論

本文在假設(shè)火箭彈的毀傷幅員是矩形區(qū)域，火箭彈在該區(qū)域內(nèi)的毀傷程度均勻，目標(biāo)在其區(qū)域內(nèi)分布均勻的情況下，通過分析火箭彈射擊存在散布誤差和目標(biāo)存在觀測誤差，利用概率方法建立了火箭彈對目標(biāo)射擊有效毀傷面積和火箭彈彈著點(diǎn)之間關(guān)系的模型，并通過遺傳算法在給定單數(shù)的情況下求解出最優(yōu)的彈著點(diǎn)位置。經(jīng)過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，本文構(gòu)建的模型對點(diǎn)目標(biāo)和線目標(biāo)同樣適用，在目標(biāo)觀測誤差較大的情況下，也可以得出符合實(shí)際情況的結(jié)果。