劉億鑫，朱小林,2+

(1.上海海事大學(xué) 物流科學(xué)與工程研究院，上海 201306； 2.上海海事大學(xué) 文理學(xué)院，上海 201306)

0 引言

隨著國(guó)家化工、物流行業(yè)的不斷發(fā)展，對(duì)危險(xiǎn)品運(yùn)輸?shù)男枨罅坎粩嘣黾?，在危險(xiǎn)品運(yùn)輸過(guò)程中如果發(fā)生事故，將造成巨大的傷亡，為社會(huì)公共安全帶來(lái)嚴(yán)重威脅，如何保證危險(xiǎn)品運(yùn)輸車輛的交通安全,成為安全監(jiān)管工作的重中之重。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)危險(xiǎn)品運(yùn)輸優(yōu)化問(wèn)題已經(jīng)有一定的研究，針對(duì)危險(xiǎn)品運(yùn)輸路線問(wèn)題大多從最短路問(wèn)題及車輛路徑問(wèn)題(Vehicle Routing Problem, VRP)兩個(gè)方面進(jìn)行優(yōu)化。Xie等[1]考慮多式聯(lián)運(yùn)網(wǎng)絡(luò)中危險(xiǎn)品的運(yùn)輸，提出一種同時(shí)優(yōu)化調(diào)車選址和運(yùn)輸路線的多模式危險(xiǎn)品模型。柴獲等[2]針對(duì)危險(xiǎn)品車輛路徑優(yōu)化問(wèn)題構(gòu)建了多目標(biāo)優(yōu)化模型，并提出一種基于概率模型的進(jìn)化算法進(jìn)行求解。袁文燕等[3]針對(duì)危險(xiǎn)品VRP構(gòu)建了新的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，風(fēng)險(xiǎn)因素考慮了危險(xiǎn)品載貨量所造成的影響范圍，并采用蟻群算法進(jìn)行求解。楊立娟等[4]建立了有關(guān)靜態(tài)單點(diǎn)多目標(biāo)約束條件下危險(xiǎn)品道路運(yùn)輸優(yōu)化模型，運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)分析法選出與“絕對(duì)最優(yōu)路線”關(guān)聯(lián)度最大的次優(yōu)路線。楊信豐[5]等考慮影響路段屬性的不同因素，構(gòu)建了時(shí)間依賴網(wǎng)絡(luò)的城市危險(xiǎn)品路徑優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)了標(biāo)號(hào)求解算法進(jìn)行求解。Bronfman等[6]將人口中心數(shù)量與到運(yùn)輸路徑最近距離的關(guān)系作為安全系數(shù)，構(gòu)建了雙目標(biāo)優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)啟發(fā)式算法對(duì)模型進(jìn)行求解。劉海博等[7]提出一種基于小生境粒子群算法的公差多目標(biāo)優(yōu)化方法來(lái)解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。Pradhananga等[8]構(gòu)建了帶時(shí)間窗的VRP雙目標(biāo)優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)了元啟發(fā)式算法求解。Bula等[9]考慮將風(fēng)險(xiǎn)最低作為目標(biāo)，采用變鄰域搜索法對(duì)危險(xiǎn)品VRP進(jìn)行求解。Toumazis[10]等考慮事故概率和事故后果的時(shí)間依賴性的情況下，將風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(value-at-risk, CVaR)的方法應(yīng)用于危險(xiǎn)品運(yùn)輸。上述研究主要是針對(duì)確定性網(wǎng)絡(luò)的雙目標(biāo)優(yōu)化，且針對(duì)多目標(biāo)問(wèn)題的解決方式大多為線性加權(quán)和法，而該方法通常采用主觀權(quán)重，客觀性較差，本文則在此基礎(chǔ)上結(jié)合Pareto理論采用混合多目標(biāo)粒子群算法對(duì)多目標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行求解。

在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中危險(xiǎn)品物流系統(tǒng)所得的信息往往是不確定的。危險(xiǎn)品需求量、人口數(shù)量、影響范圍等數(shù)據(jù)會(huì)受時(shí)間，路況等影響產(chǎn)生動(dòng)態(tài)變化，而由于危險(xiǎn)品運(yùn)輸?shù)奶厥庑裕\(yùn)輸路線的制定需嚴(yán)格遵守監(jiān)管部門的規(guī)定，一般不會(huì)輕易更改。因此，研究不確定性條件下的危險(xiǎn)品路徑優(yōu)化，并考慮路線的穩(wěn)定性更符合實(shí)際需求。麻存瑞等[11]采用Bertsimas魯棒離散優(yōu)化理論，建立了危險(xiǎn)品運(yùn)輸路徑魯棒優(yōu)化模型，并采用改進(jìn)遺傳算法進(jìn)行求解。費(fèi)翔等[12]考慮不確定性需求下危險(xiǎn)品運(yùn)輸路徑優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)建了隨機(jī)優(yōu)化模型，并采用粒子群算法進(jìn)行求解。Mohammadi等[13]構(gòu)建不確定下多式聯(lián)運(yùn)及軸幅式網(wǎng)絡(luò)模型，采用元啟發(fā)式算法進(jìn)行求解。Mahmoudabadi[14-15]將危險(xiǎn)品運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)定義為一個(gè)混亂的因素，使用動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)改變所選擇的路線和優(yōu)化的位置以構(gòu)建配送中心。Garrido等[16]將資產(chǎn)概念納入到風(fēng)險(xiǎn)的空間分布中，開(kāi)發(fā)新的具有公平約束的多產(chǎn)品危險(xiǎn)品運(yùn)輸優(yōu)化模型。Mahmoudsoltani等[17]將模型中的風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境定義為模糊環(huán)境，并采用多種多目標(biāo)進(jìn)化算法進(jìn)行測(cè)試。Hu[18]等研究了需求和旅行時(shí)間雙重不確定條件下具有硬時(shí)間窗的魯棒車輛路徑問(wèn)題。Jiang等[19]根據(jù)研究一種同時(shí)優(yōu)化調(diào)車場(chǎng)和運(yùn)輸路線位置的多模式危險(xiǎn)品優(yōu)化模型，構(gòu)建了模糊不確定性模型。上述文獻(xiàn)主要通過(guò)構(gòu)建魯邦優(yōu)化模型和模糊數(shù)學(xué)模型來(lái)解決危險(xiǎn)品運(yùn)輸?shù)牟淮_定性問(wèn)題，并且大多為單一不確定性條件下的危險(xiǎn)品運(yùn)輸路徑優(yōu)化。

綜上所述，目前研究對(duì)于不確定條件下的危險(xiǎn)品路徑優(yōu)化較少，且集中于模糊數(shù)學(xué)模型。本文則以風(fēng)險(xiǎn)最低和成本最低為目標(biāo)，構(gòu)建終端需求量和人口中心雙重不確定條件下的隨機(jī)優(yōu)化模型；設(shè)計(jì)改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群算法(Improved Muti-Objective Particle Swarm Optimization，IMOPSO)對(duì)模型進(jìn)行求解，搜尋Pareto解集，為危險(xiǎn)品運(yùn)輸問(wèn)題提供可行的運(yùn)輸路徑方案；最后，設(shè)計(jì)了算例對(duì)模型和算法的合理性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證,并進(jìn)一步進(jìn)行了不同樣本規(guī)模下的穩(wěn)定性分析以及對(duì)不確定性條件進(jìn)行了靈敏度分析。

1 危險(xiǎn)品運(yùn)輸隨機(jī)優(yōu)化模型建立

危險(xiǎn)品物流系統(tǒng)的不確定性主要表現(xiàn)在運(yùn)輸過(guò)程中危險(xiǎn)化學(xué)品本身的危險(xiǎn)性、對(duì)環(huán)境的影響、運(yùn)輸事故及其擴(kuò)散等，還表現(xiàn)在由于需求的不確定性和信息的不確定性引發(fā)的危險(xiǎn)化學(xué)品物流的不確定性，危險(xiǎn)品運(yùn)輸過(guò)程則需要在不確定條件下考慮降低事故的發(fā)生概率以及由于危險(xiǎn)品爆炸或泄露造成的人員影響范圍。因此，筆者設(shè)計(jì)以人口中心與危險(xiǎn)品需求量為隨機(jī)變量，以運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)及運(yùn)輸成本最低為目標(biāo)的隨機(jī)優(yōu)化模型。

危險(xiǎn)品車輛根據(jù)終端隨機(jī)需求量從起點(diǎn)運(yùn)輸至終點(diǎn)。設(shè)無(wú)向帶權(quán)圖G(N,P)為一個(gè)運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)；I表示運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的集合；P表示車輛從起點(diǎn)(O∈N)到終點(diǎn)(D∈N)所有可行路徑的集合；(i,j)表示節(jié)點(diǎn)間路段,則i,j∈N，(i,j)∈P，p∈P表示路徑集合P中一條可運(yùn)輸路線；Q為一定樣本規(guī)模下的終端需求量，q為從樣本規(guī)模中取出的終端需求量；W表示一定樣本規(guī)模的人口中心，w為從樣本規(guī)模中取出的人口中心；λij為路段(i,j)的事故概率；λijt為疲勞駕駛造成的事故概率；λijp為車輛泄漏造成的事故概率；tp為所選路徑p總運(yùn)輸時(shí)間；tij為路段(i,j)的運(yùn)輸時(shí)間；θ1和θ2為加權(quán)因子；R為所有集中人口中心的集合，則r為一個(gè)人口中心，r∈R；zijr為暴露的人口中心造成的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)；zijb為需求量造成的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)；dijr為人口中心r到附近路段(i,j)的最短距離；B為根據(jù)樣本規(guī)模下終端需求量Q所對(duì)應(yīng)的車輛的載貨量，b為從樣本規(guī)模中取出的載貨量；bmax為滿載量，?為車輛產(chǎn)生的固定成本；cijb為危險(xiǎn)品運(yùn)輸過(guò)程中產(chǎn)生的成本；η為滿載量下危險(xiǎn)品運(yùn)輸所需成本；δ為標(biāo)準(zhǔn)安全距離；M為危險(xiǎn)品種類集合，m為一個(gè)危險(xiǎn)品種類，m∈M；γm為滿載量下危險(xiǎn)品m運(yùn)輸產(chǎn)生事故的影響范圍；Xij(W,Q)為0-1變量，即在樣本規(guī)模條件下所選擇經(jīng)過(guò)的路段(i,j)。

為簡(jiǎn)化隨機(jī)優(yōu)化模型，對(duì)運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)提出如下假設(shè)條件：①根據(jù)危險(xiǎn)品終端需求，每次危險(xiǎn)品載貨量與需求量相等，需求量小于滿載量，滿足供需平衡；②危險(xiǎn)品運(yùn)輸時(shí)車輛速度僅考慮為勻速直線，不考慮在經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)時(shí)的減速影響或是堵車等情況下對(duì)運(yùn)輸速度的影響以及發(fā)生事故的概率；③考慮多種不同種類的危險(xiǎn)品，但由于其特殊性同時(shí)運(yùn)輸可能進(jìn)一步造成危害，每次只運(yùn)輸一種危險(xiǎn)品；④危險(xiǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)與其運(yùn)輸時(shí)間成正比例的關(guān)系，即危險(xiǎn)品運(yùn)輸過(guò)程中不會(huì)隨時(shí)間的增長(zhǎng)導(dǎo)致呈爆炸性增長(zhǎng)；⑤只考慮人口集中數(shù)量的變化，其區(qū)域位置固定，不會(huì)因人口流動(dòng)而改變。

1.1 運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)分析

危險(xiǎn)品運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)存在多種計(jì)算方式，一般考慮為發(fā)生事故與影響人數(shù)的乘積作為風(fēng)險(xiǎn)值，在此基礎(chǔ)上，本文危險(xiǎn)品運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)影響因素主要考慮為運(yùn)輸事故率、人口風(fēng)險(xiǎn)和終端需求量3個(gè)方面，并以此對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)。

(1)運(yùn)輸事故率

運(yùn)輸事故率及運(yùn)輸過(guò)程中發(fā)生事故的概率,一般來(lái)說(shuō)與路況、季節(jié)、駕駛經(jīng)驗(yàn)、危險(xiǎn)品車輛泄露、運(yùn)輸時(shí)間等因素相關(guān)。目前，國(guó)內(nèi)80%左右的交通事故與駕駛員有關(guān)，在長(zhǎng)途運(yùn)輸過(guò)程中駕駛員的精神不集中將導(dǎo)致交通事故的發(fā)生，根據(jù)《道路交通安全法實(shí)施條例》，當(dāng)行駛超過(guò)4小時(shí)為疲勞駕駛。則本文中考慮危險(xiǎn)品車輛泄露、運(yùn)輸時(shí)間作為影響因素，構(gòu)建如下表達(dá)式：

(1)

(2)人口風(fēng)險(xiǎn)

在危險(xiǎn)品運(yùn)輸過(guò)程中，人員傷亡是危險(xiǎn)品運(yùn)輸過(guò)程中尤為重要的評(píng)定因素，運(yùn)輸過(guò)程中應(yīng)盡可能避開(kāi)商場(chǎng)、居民區(qū)、學(xué)校、辦公區(qū)等人口密集區(qū)域，這些密集區(qū)域的人口數(shù)量可能因?yàn)闀r(shí)間、季節(jié)、活動(dòng)產(chǎn)生變化，本文設(shè)定密集區(qū)域固定不變，將人口數(shù)量作為不確定因素，引用Bronfman等[20]提出的風(fēng)險(xiǎn)定義，將道路經(jīng)過(guò)流動(dòng)的人口簡(jiǎn)化為人口集中區(qū)域，以該密集區(qū)域人口數(shù)量與到附近路段的最短距離之比作為該路段人口的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，當(dāng)?shù)礁浇范蔚淖疃叹嚯x大于標(biāo)準(zhǔn)安全距離δ時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為0；R表示所有集中人口中心的集合，r為一個(gè)人口中心，r∈R；W表示一定樣本規(guī)模的人口中心，設(shè)定集中人口服從正態(tài)分布W～N(μ,σ2),w表示從樣本規(guī)模中取出的集中人口數(shù)量。則針對(duì)每條路段的人口風(fēng)險(xiǎn)因素的表達(dá)式如下：

(2)

式中：zijr為暴露的人口中心造成的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，dijr為人口中心r到附近路段(i,j)的最短距離。

(3)終端需求量

危險(xiǎn)品運(yùn)輸事故影響范圍與危險(xiǎn)品運(yùn)輸載貨量存在著密不可分的關(guān)系，需求的不確定性和信息的不確定性引發(fā)了危險(xiǎn)化學(xué)品物流的不確定性。結(jié)合以上考慮，將危險(xiǎn)品終端需求量作為不確定因素，B為根據(jù)樣本規(guī)模下終端需求量Q所對(duì)應(yīng)的車輛的載貨量，b為從樣本規(guī)模中取出的載貨量，b∈B。則每條路段終端需求量風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)的表達(dá)式如下：

(3)

1.2 運(yùn)輸成本分析

運(yùn)輸成本考慮因素包括車輛維護(hù)、人員工資等固定成本，還包括車輛油耗、車輛載重量等不確定性成本。綜合以上考慮，設(shè)運(yùn)輸過(guò)程中固定成本為?，設(shè)車輛載貨量與成本系數(shù)的表達(dá)式如下：

(4)

式中：cijb為危險(xiǎn)品運(yùn)輸過(guò)程中產(chǎn)生的成本，ηm為滿載量下危險(xiǎn)品m所需的運(yùn)輸成本。

1.3 危險(xiǎn)品運(yùn)輸隨機(jī)優(yōu)化模型

根據(jù)上述風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)表達(dá)式及運(yùn)輸成本表達(dá)式，構(gòu)建有容量約束下的危險(xiǎn)品運(yùn)輸隨機(jī)優(yōu)化模型如下：

minE(Zp(W,Q))；

(5)

minE(Cp(W,Q))；

(6)

(7)

(8)

s.t.

(9)

(10)

(11)

i∈N(〗O,D}；

(12)

(13)

Xij(W,Q)∈{0,1}；

(14)

?(i,j)∈P,?r∈R,?p∈P。

(15)

式(5)～式(8)為目標(biāo)函數(shù)，其中：式(5)和式(6)表示運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)和運(yùn)輸成本在樣本規(guī)模下的最小期望；式(7)和式(8)表示在雙重隨機(jī)條件下的目標(biāo)函數(shù)。式(9)～式(15)為約束條件，其中：式(9)表示運(yùn)輸路線的供需平衡；式(10)表示最大載貨量約束；式(11)～式(13)代表路徑平衡，其中：式(14)表示決策變量Xij(W,Q)為0,1約束，即在隨機(jī)條件下輸路徑選擇該路段為1，不選擇為0，式(15)表示為決策變量的取值范圍。

2 改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法作為一種進(jìn)化算法，具有實(shí)現(xiàn)容易、精度高、收斂快等特點(diǎn)。在解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中，粒子群算法也具有很高的計(jì)算效率和執(zhí)行速度，且粒子群算法不依賴問(wèn)題的函數(shù)特征和解的形式。因此，本文采用混合多目標(biāo)粒子群算法來(lái)對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，通過(guò)高效的群集來(lái)并行地對(duì)非劣解進(jìn)行搜索，以構(gòu)建非劣解集。

雖然粒子群算法具有上述優(yōu)點(diǎn)，但其仍然存在容易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題[21]。為改進(jìn)算法，本文采用自適應(yīng)慣性權(quán)重，融入混合遺傳算法中的交叉變異操作以及基于動(dòng)態(tài)擁擠距離的精英解集更新對(duì)算法進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)，以盡可能解決陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題。

2.1 編碼及解碼設(shè)計(jì)

本文采用基于優(yōu)先級(jí)的編碼及解碼方式。由于研究對(duì)象為無(wú)向運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，則賦予粒子每個(gè)維度(即每個(gè)節(jié)點(diǎn))一個(gè)隨機(jī)權(quán)重來(lái)進(jìn)行解碼。具體路徑編碼及解碼步驟如下：

步驟1賦予隨機(jī)權(quán)重。在粒子的每個(gè)維度上得到一個(gè)隨機(jī)實(shí)數(shù)作為其權(quán)重，組成一個(gè)搜索路徑的粒子。

步驟2判定路徑優(yōu)先級(jí)。根據(jù)鄰接矩陣確定每個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系,根據(jù)鄰接矩陣連接為1，不連接為0，對(duì)于連接的點(diǎn)，由起點(diǎn)開(kāi)始選擇節(jié)點(diǎn)權(quán)值中最大的節(jié)點(diǎn)放入路徑，并依次選擇其他節(jié)點(diǎn)，組成路徑。在選擇過(guò)程中，為了進(jìn)一步增加效率，提高成功率，將已經(jīng)過(guò)的節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為1，并確定最大退步次數(shù)為St，即路段(i,j)中j-i<-St，則不再經(jīng)過(guò)這些節(jié)點(diǎn)。

步驟3計(jì)算粒子適應(yīng)度值。根據(jù)已經(jīng)得到的路徑，計(jì)算其所在路徑的適應(yīng)度值。若所得路徑為起點(diǎn)O—終點(diǎn)D，則計(jì)算所選路段的兩個(gè)適應(yīng)度值，即風(fēng)險(xiǎn)與成本；所得路徑不為起點(diǎn)O—終點(diǎn)D，則賦予該路徑的適應(yīng)度值為無(wú)窮大。

步驟4更新迭代。根據(jù)所提出的算法進(jìn)行運(yùn)算，更新粒子在每個(gè)維度上的權(quán)重，計(jì)算新的適應(yīng)度值。

假設(shè)存在10個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的無(wú)向網(wǎng)絡(luò)圖如圖1所示，則編碼解碼流程如圖2所示，可以看出節(jié)點(diǎn)1與2,3,4相連，其中權(quán)重最大的點(diǎn)為2，則選擇路徑1—2，以此類推，所選節(jié)點(diǎn)在圖2中加粗表示，則得到路徑1—2—5—7—10。

2.2 粒子群算法的改進(jìn)

(1)自適應(yīng)慣性權(quán)重

粒子群算法的參數(shù)改進(jìn)中，慣性權(quán)重尤為重要，它影響著粒子的移動(dòng)速度，通過(guò)改進(jìn)慣性權(quán)重可以優(yōu)化粒子群算法搜索最優(yōu)解的能力，提高了算法的性能。本文采用典型線性遞減策略[22]，慣性權(quán)重ω=ωmax-Iter×(ωmax-ωmin)/Itermax,ωmax,ωmin為粒子慣性權(quán)重的最大值及最小值，Iter為當(dāng)前迭代次數(shù)，Itermax為最大迭代次數(shù)。

(2)混合遺傳算法的交叉變異操作

粒子群算法雖然具有效率高、收斂快速、操作簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，但是存在著早熟的問(wèn)題，容易陷入局部解。為改進(jìn)算法，本文將遺傳算法中的選擇交叉變異操作[23]引入粒子群算法中，以解決早熟的問(wèn)題。在粒子群算法進(jìn)行速度和位置更新后計(jì)算Pareto解集，選擇Paerto解集中擁擠距離較小的點(diǎn)作為指導(dǎo)粒子，以每個(gè)粒子與指導(dǎo)粒子的位置向量的差值作為交叉變異的依據(jù)，選擇差值較小的前20%粒子產(chǎn)生后代粒子取代雙親粒子，并進(jìn)一步采用變異操作。最后，由于在每個(gè)維度上發(fā)生交叉變異操作后所得的粒子可能會(huì)產(chǎn)生不可行解，對(duì)每個(gè)維度上的數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，假設(shè)存在負(fù)數(shù)，則將結(jié)果修正為隨機(jī)的正實(shí)數(shù)。理論上通過(guò)引入交叉操作能擴(kuò)大算法的搜索范圍，改善局部搜索能力，同時(shí)防止陷入局部最優(yōu)解，同時(shí)在解決多目標(biāo)問(wèn)題中，如果存在兩個(gè)解同時(shí)陷入兩個(gè)不同區(qū)域的Pareto解集或局部最優(yōu)解，則通過(guò)該操作擴(kuò)大搜索范圍。其中交叉操作計(jì)算公式如下：

child(x)=?×parent1(x)+(1-?)parent2(x)，

(16)

(17)

式中：child(x)為子代粒子；parent1(x)，parent2(x)為父代粒子；?為0～1之間的隨機(jī)數(shù)。

(3)基于動(dòng)態(tài)擁擠距離的精英解集更新

在構(gòu)建非劣解集的過(guò)程中，保持非劣解集種群的多樣性具有非常重要的意義，它可以為決策者提供更多合理的解決方案，本文則采用基于動(dòng)態(tài)擁擠距離的精英解集更新[24]。

擁擠距離是指粒子與其周邊粒子之間的擁擠程度，主要用來(lái)分析所得Pareto解集的均勻性，在解決多目標(biāo)問(wèn)題的過(guò)程中，若其含有n個(gè)目標(biāo)函數(shù)，分別為f1,f2…fn，則粒子的密集距離U(xi)為：

(18)

式中：xj和xk為在Pareto解集中距離xi最近的兩個(gè)粒子；fn(xj)為粒子xj在第n個(gè)目標(biāo)函數(shù)的值；fnmax為在第n個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最大值。

通過(guò)上述計(jì)算，所得的結(jié)果便是這個(gè)解的擁擠距離(邊界解的擁擠距離為無(wú)窮大)。擁擠距離越小，則說(shuō)明所得的解越擁擠，其多樣性越小，反之則說(shuō)明所得的解越分散，其多樣性越大。

在算法的迭代過(guò)程中，進(jìn)行擁擠距離的計(jì)算后當(dāng)所得的精英解集的數(shù)量T未超過(guò)最大容量Tmax時(shí)，則繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算；當(dāng)所得的精英解集的數(shù)量T超過(guò)最大容量Tmax時(shí)，便將所有解的擁擠距離按降序進(jìn)行排序，刪除靠后的Tmax-T個(gè)精英解，則剩余精英解集的個(gè)數(shù)為Tmax。

2.3 算法流程

算法流程如圖3所示，具體步驟如下：

步驟1粒子群算法參數(shù)初始化。設(shè)定樣本規(guī)模K，粒子搜索空間維數(shù)D，粒子群規(guī)模N，學(xué)習(xí)因子C1、C2，最大迭代次數(shù)Itermax，當(dāng)前迭代次數(shù)Iter，最大慣性權(quán)重ωmax,最小慣性權(quán)重ωmin，慣性權(quán)重ω=ωmax-Iter×(ωmax-ωmin)/Itermax，交叉概率Pc，變異概率Pe，交叉池的大小比例Sp。

步驟2路徑解碼。運(yùn)用混合多目標(biāo)粒子群算法求解鄰接矩陣得到路徑p，計(jì)算每個(gè)粒子在樣本規(guī)模下K下的兩個(gè)適應(yīng)度值期望Pbest,Qbest，即所選路段的安全系數(shù)Zp和成本Cp的期望。對(duì)所得適應(yīng)度值進(jìn)行評(píng)估，當(dāng)一個(gè)粒子不受其他粒子支配(即不存在其他粒子的適應(yīng)度值Pbest,Qbest期望同時(shí)優(yōu)于該粒子),將粒子存入非劣解集中，得到Pareto解集后進(jìn)行基于動(dòng)態(tài)擁擠距離的精英解集更新，轉(zhuǎn)步驟3。

步驟3路徑更新。根據(jù)步驟2所得的Pareto解集，將每個(gè)粒子通過(guò)根據(jù)隨機(jī)選取一個(gè)所構(gòu)建的Pareto解集中的個(gè)體最優(yōu)粒子位置與自身歷史最優(yōu)位置來(lái)更新粒子速度與位置，再進(jìn)行交叉變異操作，根據(jù)交叉概率與交叉池大小比例選取指定數(shù)量的粒子放入交叉池之中，池中的粒子隨機(jī)兩兩交叉產(chǎn)生相同數(shù)目的子代粒子，再根據(jù)變異概率進(jìn)行變異操作，得到新的粒子，轉(zhuǎn)步驟2。

步驟4終止條件。重復(fù)步驟2和步驟3，直至迭代次數(shù)Itermax。

3 算例分析

3.1 算例

如圖4所示為本文構(gòu)建的無(wú)向帶權(quán)網(wǎng)絡(luò)圖，存在30個(gè)節(jié)點(diǎn)，90條邊和20個(gè)人口中心，危險(xiǎn)品運(yùn)輸車輛需將危險(xiǎn)品m從節(jié)點(diǎn)1運(yùn)輸至節(jié)點(diǎn)30。算例中路段運(yùn)輸時(shí)間、人口中心與周邊路段距離、人口

中心數(shù)量、終端需求量及種類為隨機(jī)生成，前兩者只生成一次后構(gòu)建運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，圖中邊上的數(shù)字為路段運(yùn)輸時(shí)間t∈(2,8)，人口中心與周邊路段距離如表1所示，由于研究人口中心數(shù)量和終端需求量的不確定性，后兩者采用樣本平均近似法根據(jù)樣本規(guī)模不斷生成，人口中心數(shù)量W服從正態(tài)分布W～N(1500,300)，終點(diǎn)需求量Q服從正態(tài)分布Q～N(50,10)，需求危險(xiǎn)品m種類則服從均勻分布隨機(jī)

整數(shù)m∈{1,2,3}。固定參數(shù)引用文獻(xiàn)[25]對(duì)模型的構(gòu)建，標(biāo)準(zhǔn)安全距離δ=800，即當(dāng)人口中心到路段的距離大于800時(shí)，不考慮危險(xiǎn)品運(yùn)輸對(duì)人口中心的風(fēng)險(xiǎn)影響，加權(quán)因子θ1=0.8，θ2=0.2，最大載貨量bmax=80，最小載貨量bmin=10,精英解集最大容量Tmax=10。滿載量下危險(xiǎn)品m在運(yùn)輸產(chǎn)生事故的影響范圍γm以及所需成本ηm引用文獻(xiàn)[26]如表2所示。

表1 人口中心

表2 危險(xiǎn)品信息

3.2 算法參數(shù)設(shè)置

混合粒子群算法中涉及的參數(shù)設(shè)置如下：粒子群規(guī)模N=1 000，搜索空間維數(shù)D=30，最大迭代次數(shù)Itermax=400，學(xué)習(xí)因子C1=C2=2，最大慣性權(quán)重ωmax=0.9，最小慣性權(quán)重ωmin=0.4，最大退步次數(shù)M=4，交叉概率Pc=0.9，變異概率Pe=0.05，交叉池的大小比例Sp=0.2，采用MATLAB軟件編碼實(shí)現(xiàn)上述算法，運(yùn)行平臺(tái)為Intel(R)Core(TM)i5-5200U2.20 GHz CPU，4.0 G內(nèi)存的計(jì)算機(jī)。

3.3 結(jié)果分析

表3為當(dāng)樣本規(guī)模為500時(shí)，算法得到以最小風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)期望和最低成本期望為目標(biāo)的Pareto解集，得出8種路徑方案，并計(jì)算得出每個(gè)方案的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)和成本的期望值。其中可以看出方案1的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)期望最低，成本期望最高；方案8的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)期望最高，成本期望最低。

圖5為3種不同算法下對(duì)模型求解所得到的Pareto前沿，通過(guò)將IMOPSO、帶精英策略的非支配排序的遺傳算法(fast elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA-Ⅱ)和基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(Multi-objective Evolutionary Algorithm Based on Decomposition, MOEA/D)[27]對(duì)模型進(jìn)行求解，對(duì)比可知IMOPSO所得的Pareto解集更優(yōu)，且明顯看出更為均勻。

表3 Pareto最優(yōu)解

圖6和圖7為算法迭代性能的對(duì)比，外部解[28]是指每次迭代過(guò)程之中Pareto解集中某一目標(biāo)適應(yīng)度值最優(yōu)時(shí)的解，通過(guò)測(cè)試兩個(gè)目標(biāo)的適應(yīng)度值在迭代過(guò)程中的變化過(guò)程，即離線性能和在線性能，可以看出算法在迭代過(guò)程中的收斂性?？梢钥闯觯琁MOPSO具有更好的收斂性,能夠快速地找到外部解，具有更好的效率。

在危險(xiǎn)品運(yùn)輸路徑規(guī)劃中，由于其特殊性在規(guī)劃后不會(huì)輕易改變，應(yīng)進(jìn)一步考慮危險(xiǎn)品運(yùn)輸?shù)姆€(wěn)定性，人口和需求量的不確定性則會(huì)對(duì)路段的穩(wěn)定性造成影響，進(jìn)而擴(kuò)大危險(xiǎn)品運(yùn)輸事故的造成的影響。圖8表示在樣本規(guī)模從100～1 000時(shí)對(duì)于Pareto解集中成本和風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)目標(biāo)的期望曲線圖，當(dāng)樣本規(guī)模超過(guò)300后所得的Pareto解集中的方案期望均逐漸趨于穩(wěn)定，說(shuō)明算法所得的優(yōu)化方案具有一定的穩(wěn)定性和可靠性；由表4可知，從成本和風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)目標(biāo)期望值在樣本規(guī)模下所得的方差可以看出，成本期望越高，或是風(fēng)險(xiǎn)期望越高，相對(duì)應(yīng)的所得的方差也越高，受人口數(shù)量和需求不確定性影響

越大，則該路段穩(wěn)定性較差。比如方案1和方案2的成本方差較高，而風(fēng)險(xiǎn)方差較低，則說(shuō)明方案1和方案2的路徑中人口數(shù)量和需求不確定性對(duì)成本影響較大，而對(duì)風(fēng)險(xiǎn)影響較低。

表4 樣本規(guī)模方差

3.4 靈敏度分析

為進(jìn)一步研究人口中心數(shù)量和終端需求量對(duì)所選路徑的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)和成本的影響，在保持樣本規(guī)模為500，其他條件不變的前提下，分別對(duì)集中人口數(shù)量和終端需求量進(jìn)行靈敏度分析。

圖9為在人口中心期望變化下所得的Pareto解集，集中人口中心期望服從正態(tài)分布，方差σ2為400，其期望值μ以1 100為起點(diǎn)，以200的步長(zhǎng)，變化至1 900。由圖8可知，Pareto曲線隨著人口中心期望的變化均勻上升。同時(shí)，人口中心期望主要對(duì)風(fēng)險(xiǎn)期望產(chǎn)生影響，當(dāng)Pareto解集中所選方案的風(fēng)險(xiǎn)期望越高，隨著人口中心期望的增加變化率也越高，則說(shuō)明所選方案受人口中心的影響越大。可以看出，方案1～方案4受人口中心期望數(shù)量影響明顯，這些路線靠近運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中人口中心區(qū)域。

圖10為在終端需求量變化下所得的Pareto解集，終端需求量服從正態(tài)分布，方差σ2為10，其期望值μ以30為起點(diǎn)，以10為步長(zhǎng)，變化至70。經(jīng)重新計(jì)算可以看出終端需求量在40～60時(shí)，存在明顯的Pareto改進(jìn)，當(dāng)終端需求量低于40或超過(guò)60時(shí)，變化趨勢(shì)將不再明顯，并將趨向于一定的值?？梢钥闯鼋K端需求量對(duì)風(fēng)險(xiǎn)期望和成本期望均有一定影響，且在Pareto曲線中，Pareto解集中的單目標(biāo)的值越大，產(chǎn)生的變化越大。

3.5 算例結(jié)果分析

綜上所述，根據(jù)對(duì)算例結(jié)果的分析可以看出，方案1和方案2的運(yùn)輸成本較高，風(fēng)險(xiǎn)較低，所選路段運(yùn)輸時(shí)間較長(zhǎng)，盡可能避開(kāi)人口中心區(qū)域，通過(guò)樣本規(guī)模分析及靈敏度分析得出方案1和方案2的成本受不確定條件影響較大，其風(fēng)險(xiǎn)性受不確定條件影響較小，因此當(dāng)需求為危險(xiǎn)級(jí)別較高的危險(xiǎn)品時(shí)決策者可以選擇方案1和方案2。方案5～方案8的運(yùn)輸成本較低，風(fēng)險(xiǎn)較高，所選路段運(yùn)輸時(shí)間盡可能短，其經(jīng)過(guò)部分人口集中路段，通過(guò)樣本規(guī)模分析及靈敏度分析得出方案7和方案8的風(fēng)險(xiǎn)性受不確定條件影響較大，其成本受不確定條件影響較小，則當(dāng)需求為危險(xiǎn)級(jí)別較低的危險(xiǎn)品時(shí)決策者可以選擇方案7和方案8。方案3和方案4的成本和風(fēng)險(xiǎn)性相比結(jié)果中其他方案處于中等水平，所選路段運(yùn)輸時(shí)間其經(jīng)過(guò)較少的人口集中路段，兩者穩(wěn)定性均相對(duì)較好，因此當(dāng)需求存在多種危險(xiǎn)級(jí)別的危險(xiǎn)品或是危險(xiǎn)級(jí)別中等的危險(xiǎn)品時(shí)決策者可以選擇方案3和方案4。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以危險(xiǎn)品運(yùn)輸路徑優(yōu)化為研究對(duì)象，構(gòu)建了以最低運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)、最低運(yùn)輸成本為目標(biāo)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，并在此基礎(chǔ)上以危險(xiǎn)品需求量和集中人口數(shù)量為隨機(jī)變量，構(gòu)建了雙重不確定條件下的隨機(jī)優(yōu)化模型；結(jié)合Pareto理論和混合多目標(biāo)粒子群算法對(duì)提出的模型進(jìn)行求解，并對(duì)模型和算法進(jìn)行算例分析。

算例實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：①驗(yàn)證了所提出的隨機(jī)優(yōu)化模型和算法的有效性，混合多目標(biāo)粒子群算法可以有效求解多目標(biāo)隨機(jī)優(yōu)化模型，得出Pareto解集并計(jì)算運(yùn)輸路徑的穩(wěn)定性，為決策者根據(jù)實(shí)際情況，考慮路線的風(fēng)險(xiǎn)、成本、穩(wěn)定性等綜合因素所進(jìn)行的路徑?jīng)Q策提供支持。②通過(guò)算法的對(duì)比，測(cè)試不同算法得到的Pareto解集以及迭代過(guò)程中的適應(yīng)度值的變化，得出結(jié)合自適應(yīng)慣性權(quán)重和遺傳算法中交叉操作的混合多目標(biāo)粒子群算法具有更好的收斂性、挖掘性和活動(dòng)性，能快速尋找非劣解集并向其收斂的同時(shí)部分粒子仍在外部活動(dòng)，防止算法陷入局部最優(yōu)解。③通過(guò)對(duì)不同樣本規(guī)模的穩(wěn)定性分析得出所得方案穩(wěn)定性均相對(duì)較好，進(jìn)一步對(duì)兩個(gè)不確定條件進(jìn)行靈敏度分析，結(jié)果表明人口中心主要對(duì)危險(xiǎn)品風(fēng)險(xiǎn)期望具有影響，且風(fēng)險(xiǎn)期望越高，受到人口中心影響越大；終端需求量對(duì)危險(xiǎn)品運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)期望和成本期望均有影響，且接近一定范圍時(shí)變化趨勢(shì)變小，說(shuō)明根據(jù)客戶終端需求量可以對(duì)車輛的選擇進(jìn)行進(jìn)一步考慮，控制Pareto解集的范圍，控制運(yùn)輸路徑的成本和風(fēng)險(xiǎn)。

本文仍存在一些不足，如在模型建立的過(guò)程中，只考慮到起點(diǎn)到終點(diǎn)的危險(xiǎn)品運(yùn)輸路徑優(yōu)化，并未考慮時(shí)變條件對(duì)危險(xiǎn)品運(yùn)輸路徑優(yōu)化的影響。在今后的研究?jī)?nèi)中，將考慮如何將算法運(yùn)用于帶時(shí)間窗的危險(xiǎn)品運(yùn)輸軸幅式網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題。