吳 擎，徐惟罡，張春江

(1.華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，湖北 武漢 430070； 2.華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 農(nóng)業(yè)部長江中下游農(nóng)業(yè)裝備重點實驗室，湖北 武漢 430070； 3.華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點實驗室,湖北 武漢 430074)

0 引言

很多實際的優(yōu)化問題都需要滿足一定的約束條件，因而約束優(yōu)化問題具有非常廣泛的工程應(yīng)用背景，即很多工程應(yīng)用問題可歸納為約束優(yōu)化問題。這類問題通常有幾大特點：非凸、不可微、存在多個局部極值等。傳統(tǒng)的優(yōu)化方法在解決這類問題時往往會失效，或者花費較長的計算時間。而近年發(fā)展起來的元啟發(fā)式算法，如粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法[1]、布谷鳥算法(Cuckoo Search, CS)[2]、蜻蜓算法(Dragonfly Algorithm, DA)[3]等，不要求解的絕對精確性，在合理的計算時間內(nèi)，能夠有效求得問題的最優(yōu)解或近優(yōu)解，同時算法還具有良好的普適性等優(yōu)點，因此元啟發(fā)式算法得到了廣泛關(guān)注與研究。

類電磁機制(Electromagnetism-like Mechanism, EM)算法是由Birbil等[4]于2003年提出的一種元啟發(fā)式算法，算法通過模擬電磁場中粒子的吸引排斥實現(xiàn)尋優(yōu)功能。EM算法具有原理簡單、全局搜索能力強等優(yōu)點，并應(yīng)用在各類工程優(yōu)化問題中[5-9]。隨著EM算法的廣泛應(yīng)用，其性能上的不足也展現(xiàn)出來。為提高EM算法的性能，姜建國等[10]利用佳點集理論改進(jìn)了算法的初始化過程；Rocha等[11]結(jié)合Hooke-Jeeves的模式搜索方法，對算法的移動公式進(jìn)行了改進(jìn)；韓麗霞等[12]在粒子移動的過程中引入擾動項，在一定程度上解決了算法早熟收斂問題；Lee等[13]采用PSO算法取代EM算法中的隨機局部搜索，提高了算法的局部搜索能力；Feng等[14]利用一種改進(jìn)的Davidon-Fletcher-Powell算法對EM算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行二次優(yōu)化，改進(jìn)了算法的整體搜索結(jié)果。上述這些改進(jìn)雖然在一定程度上可以提升EM算法的性能，但在求解一些復(fù)雜度較高的問題時，算法的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性仍有待提高，同時如何更好地將算法用于解決實際的工程約束優(yōu)化問題還有待更深入的研究。

因此，本文提出一種求解約束優(yōu)化問題的基于師生交流機制的改進(jìn)類電磁機制(Teaching-Learning based Electromagnetism-like Mechanism, TLEM)算法。該算法將教學(xué)優(yōu)化算法和一種改進(jìn)的類電磁機制算法相結(jié)合，不僅保留了EM算法優(yōu)良的全局尋優(yōu)能力，還提高了算法的局部尋優(yōu)精度。為了驗證改進(jìn)算法的性能，本文采用13個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)對TLEM算法進(jìn)行測試，并與若干其他約束優(yōu)化算法進(jìn)行對比，結(jié)果表明改進(jìn)的新算法具有更好的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性。最后，將TLEM算法應(yīng)用到壓力容器、壓縮彈簧及焊接梁設(shè)計優(yōu)化問題的求解中，均取得了較好的優(yōu)化效果。

1 基于師生交流機制的改進(jìn)類電磁機制算法

1.1 改進(jìn)的EM算法(IEM)

1.1.1 EM算法簡介

EM算法將種群中的粒子類比為電磁場中的帶電粒子，粒子間會產(chǎn)生相互作用力，在力的作用下粒子產(chǎn)生移動，最終移動至較優(yōu)區(qū)域。算法主要包括初始化、局部尋優(yōu)、計算合力以及移動粒子4個步驟，具體如下[4]：

步驟1初始化種群。在搜索空間內(nèi)隨機生成m個粒子作為初始種群，計算每個粒子的適應(yīng)度值f(Xi)，找到并標(biāo)記適應(yīng)度值最優(yōu)的粒子為Xbest。

步驟2局部尋優(yōu)。對種群中的當(dāng)前最優(yōu)粒子Xbest進(jìn)行局部搜索。

步驟3計算合力。粒子所受力的大小以及性質(zhì)(吸引力或排斥力)均取決于粒子的電量。粒子i的電量qi及合力Fi計算公式如下：

(1)

(2)

步驟4移動粒子。計算合力之后對粒子進(jìn)行移動，形成新一代種群。移動的方向和步長按式(3)計算:

(3)

式中：λ為0～1的隨機數(shù)，RNG為上下界內(nèi)可移動的范圍。

1.1.2 IEM算法

在原始EM算法中，一個粒子的合力由M-1個粒子計算得出，即在每一次迭代中需要進(jìn)行(M-1)2次計算，這會耗費大量的計算時間。尤其當(dāng)M越大時，計算時間會劇烈增加。因此計算合力時，隨機從M-1個粒子中挑選出3個粒子計算合力。這樣不僅可以減少計算時間，還可以避免過多合力一起計算時相互抵消。除此以外，Gao等[15]發(fā)現(xiàn)移除合力計算公式中的歐式距離可以讓粒子的移動步長變大，避免粒子陷入局部極值。綜上所述，合力計算公式改進(jìn)為：

(4)

式中R1，R2，R3表示除粒子i外隨機從剩下的M-1個粒子中挑選出的3個粒子。

Rao等[16]通過引入移動概率MP對移動公式進(jìn)行修正。具體方式為：如果在某一維度，隨機數(shù)小于MP，則使用改進(jìn)后的移動公式，否則使用原始的移動公式；若使用改進(jìn)后的移動公式使粒子超出邊界，則仍使用原移動公式；若移動后粒子的適應(yīng)度大于原始位置，保留原始位置，否則接受新的位置。綜上，移動公式更改為：

(5)

(6)

其中參數(shù)λ和Rand為0～1的隨機數(shù)。

1.2 教學(xué)優(yōu)化算法

教學(xué)優(yōu)化算法(Teaching-Learning-Based Optimization, TLBO)將種群類比為一群學(xué)生，決策變量類比為學(xué)習(xí)科目，適應(yīng)度值代表學(xué)生的成績，種群中的最優(yōu)解則被看作教師。算法包括“教師階段”(teacher phase)和“學(xué)生階段”(learner phase)兩個部分[16]。

在教師階段，通過讓學(xué)生整體水平平均值(M)向教師水平靠攏的方式跟隨教師進(jìn)行學(xué)習(xí)，具體形式如下：

Difference_Meani=ri(Mnew-TFMi)，

(7)

Xnew,i=Xold,i+Difference_Meani。

(8)

其中：Mnew為第i代教師的變量值，Mi為第i代學(xué)生的平均變量值，TF為1或2的隨機數(shù)，ri為0～1的隨機數(shù)。

在學(xué)生階段，學(xué)生通過隨機選擇另一名學(xué)生交流的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，具體形式如下：

i≠j。

(9)

其中Xi、Xj分別代表第i代的兩名不同學(xué)生。若新解Xnew比舊解Xold好，則接受新解，否則維持舊解。

1.3 約束處理規(guī)則

對于無約束優(yōu)化問題，粒子的適應(yīng)度值越小，則粒子越優(yōu)。但對于約束優(yōu)化問題，粒子的好壞不僅和適應(yīng)度值相關(guān)，還與約束違反量有關(guān)。約束違反量φ(X)定義如下：

(10)

式中：gi(X)代表不等式約束，hj(X)代表等式約束。從式(10)可以總結(jié)出：當(dāng)粒子是可行解時，φ(X)的值永遠(yuǎn)為0；當(dāng)粒子為非可行解時，φ(X)>0；違反的約束越多，φ(X)的值越大。

本文利用Deb[17]提出的可行域與支配規(guī)則來處理約束，具體規(guī)則為：若兩個解都違反約束條件，則具有較小約束違反量的解優(yōu)于另一個解；若一個解滿足約束條件，另一個違反約束條件，則滿足約束條件的解較優(yōu)；如果兩個解都滿足約束條件，則具有較小適應(yīng)度值的解更優(yōu)。

同時，對于約束優(yōu)化問題，粒子的電量也應(yīng)與其約束違反量相關(guān)。因此電量計算公式修正為：

(11)

(12)

從式(11)和式(12)可以看出，可行解的電量大于不可行解的電量，約束違反量小的解，其電量大于約束違反量大的解。

1.4 TLEM算法

結(jié)合TLBO算法快速收斂特性和IEM算法良好的全局搜索性能，本文提出TLEM算法。算法主要分為兩部分：①使用TLBO算法提高種群的收斂速度；②使用IEM算法進(jìn)行種群尋優(yōu)。TLEM算法的基本流程圖如圖1所示。

根據(jù)流程圖，TLEM算法的主要步驟如下：

步驟1初始化種群P，計算所有解的適應(yīng)度，保留當(dāng)前種群最優(yōu)解Xbest。

步驟2結(jié)合解的適應(yīng)度值及約束處理規(guī)則，對P中所有解排序，然后平均分為兩個解集—較優(yōu)解P1和較劣解P2，并在P2中添加一個最優(yōu)解Xbest。

步驟3判斷隨機數(shù)random是否小于p，若是，

則對P1執(zhí)行TLBO算法，對P2執(zhí)行IEM算法，否則對P1執(zhí)行IEM算法，對P2執(zhí)行TLBO算法。

步驟4重新對P中所有解排序。

步驟5隨機淘汰P中一個除最優(yōu)解以外的解，迭代次數(shù)加一。

步驟6判斷算法是否滿足終止條件，若滿足則輸出最優(yōu)解，否則返回步驟2。

2 數(shù)值仿真及分析

2.1 仿真實驗設(shè)計

為檢驗算法的有效性，將TLEM算法與4個版本的EM算法(CEM、PEM、FADEM、SAPEM)[18-21]分別對13個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)(G01,G02,…,G13)進(jìn)行測試，測試結(jié)果以平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最優(yōu)值和最差值作為評價標(biāo)準(zhǔn)。13個測試函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)如表1所示[22]，其中G02、G03、G08以及G12為求最大值問題，其余均為求最小值問題。

算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：種群大小為100，移動概率MP=0.9，交換概率p=0.9，函數(shù)評價次數(shù)為350 000次。等式約束條件h(X)=0轉(zhuǎn)化為不等式約束|h(X)|-ε≤0(ε=10-4)；求最大值問題轉(zhuǎn)化為求最小值問題。

表1 13個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)

2.2 仿真結(jié)果及分析

TLEM算法對標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果統(tǒng)計如表2所示。從表2可以看出，TLEM算法幾乎在所有的測試函數(shù)上都搜索到了最優(yōu)解，同時除了G11和G13以外，其平均值和最差值都非常接近最優(yōu)值，13個測試函數(shù)中有7個函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于0，這說明TLEM算法不但對約束優(yōu)化問題具有較強的全局搜索能力，而且還具有很強的穩(wěn)定性。

TLEM算法與其他EM算法在最優(yōu)值、平均值和最差值上的比較結(jié)果分別如表3～表5所示。從表3可以看出，除了函數(shù)G03是FADEM算法取得最優(yōu)，G05、G11是PEM算法取得最優(yōu)，TLEM算法在其他10個函數(shù)上的優(yōu)化結(jié)果均優(yōu)于其他算法，這表明TLEM算法在搜索性能上較其他版本EM算法有很大的提高，同時也從側(cè)面證明，算法中引入TLBO算法提高了算法的局部搜索精度。從表4可以和表5可以看出，在平均值上，除了G02、G03、G11、G13分別為SAPEM、CEM、PEM和CEM算法取得最好值之外，TLEM算法在其余9個函數(shù)上都取得了最好值；在最差值上，除了G03、G11、G13為CEM算法取得最好值之外，TLEM算法在其余10個函數(shù)上都取得了最好值。也就是說TLEM算法在求解平均值以及最差值時，絕大部分函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果均優(yōu)于其他版本的EM算法，這表明TLEM算法在全局搜索能力和算法穩(wěn)定性上皆優(yōu)于其他版本EM算法。綜上所述，TLEM算法的綜合性能優(yōu)于其他4個版本的EM算法，說明對于EM算法的改進(jìn)是有效的。

表2 TLEM算法在13個測試問題上的結(jié)果

表3 TLEM算法與其他EM算法在最優(yōu)值上的比較

為了進(jìn)一步檢驗算法的有效性，將TLEM算法與若干個新型約束優(yōu)化算法(PSO+、RGenIII、Gen.V、Rgen.V、eABC、FA)[1]進(jìn)行對比，算法測試結(jié)果以最優(yōu)值、最差值和平均值作為評價標(biāo)準(zhǔn)，比較結(jié)果如表6所示。從表6可以看出，TLEM算法在絕大多數(shù)測試函數(shù)的各項指標(biāo)上，較之其他幾個算法都要更優(yōu)。具體地，在函數(shù)G01、G03～G12上，TLEM算法在最優(yōu)值、最差值和平均值上都取得了最好結(jié)果，尤其是在函數(shù)G05、G07和G10上，其他幾個算法的最優(yōu)值和最差值相差較大，而TLEM在求解這3個函數(shù)時最優(yōu)值和最差值相差不大，說明TLEM算法具有更好的穩(wěn)定性。在函數(shù)G02和G13上，TLEM能夠取得最好的最優(yōu)值，在最差值和平均值這兩個指標(biāo)上稍差一點。綜上所述，TLEM算法是一種很有競爭力的約束優(yōu)化方法。

表4 TLEM與其他EM算法在平均值上的比較

表5 TLEM與其他EM算法在最差值上的比較

表6 TLEM與其他約束算法結(jié)果比較

續(xù)表6

續(xù)表6

3 TLEM算法應(yīng)用研究

3.1 壓力容器設(shè)計

壓力容器設(shè)計的目標(biāo)是在滿足生產(chǎn)需要的同時使其總費用f(x)最少，其4個設(shè)計變量分別為：外殼厚度Ts(x3)、封頭厚度Th(x4)、內(nèi)半徑R(x1)以及容器長度L(x2，不包含頭部)，其中Ts和Th為0.062 5的整數(shù)倍，R和L為連續(xù)變量。圖2為壓力容器模型設(shè)計圖，具體數(shù)學(xué)模型如式(13)和式(14)所示。

目標(biāo)函數(shù)：

minf(x)=0.622 4x1x3x4+1.778 1x2x2x3+

g1(x)=-x1+0.019 3x3≤0,

g2(x)=-x2+0.009 54x3≤0,

(13)

約束條件：

g4(x)=x4-240≤0。

(14)

邊界約束：

0≤x1≤99,0≤x2≤99,

10≤x3≤200,10≤x4≤200。

利用TLEM算法對壓力容器設(shè)計問題進(jìn)行求解，算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：種群大小為50，移動概率MP=0.9，交換概率p=0.9，最大迭代次數(shù)為200。TLEM算法獨立運行30次后得到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值、平均值和函數(shù)評價次數(shù)，并且與文獻(xiàn)[23-28]中各個學(xué)者的研究結(jié)果進(jìn)行比較，統(tǒng)計結(jié)果如表7所示。

表7 壓力容器設(shè)計問題統(tǒng)計結(jié)果

從表7可以看出，TLEM算法在30次獨立運行中，不論是搜索到的最優(yōu)值還是平均值均優(yōu)于其他算法，同時所需要函數(shù)評價次數(shù)也是最少的，這表明TLEM算法不但具有很強的搜索能力，而且搜索效率也很高，能夠在壓力容器制造過程中更好地降低材料消耗成本。

3.2 壓縮彈簧設(shè)計

壓縮彈簧設(shè)計的目標(biāo)是在滿足一定約束條件下最小化其質(zhì)量f(x)，其中包含最小撓度、剪切應(yīng)力、振蕩頻率以及外徑限制4個不等式約束，彈簧圈平均直徑D(x2)、彈簧金屬絲直徑d(x1)以及彈簧有效圈數(shù)N(x3)3個設(shè)計變量，如圖3所示。其具體數(shù)學(xué)模型如式(15)和式(16)所示。

目標(biāo)函數(shù)：

minf(x)=(N+2)Dd2。

約束條件：

(16)

邊界約束：

0.05≤x1≤2,0.25≤x2≤1.3,2≤x3≤15。

利用TLEM算法對壓力容器設(shè)計問題進(jìn)行求解，算法相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：種群大小為50，最大迭代次數(shù)為200，移動概率為0.9，交換概率為0.9。TLEM算法獨立運行30次后得到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值、平均值和函數(shù)評價次數(shù)，并且與文獻(xiàn)[23-28]中各個學(xué)者的研究結(jié)果進(jìn)行比較，統(tǒng)計結(jié)果如表8所示。

從表8可以看出，在30次獨立運行中，PSO-DE算法、ABC算法以及TLEM算法都取得了最好的最優(yōu)值0.012 665，PSO-DE算法同時還取得了平均值上的最優(yōu)，TLEM算法較之略差，但TLEM算法仍然是所需函數(shù)評價次數(shù)最少的算法，綜上表明TLEM算法是一種有效的壓縮彈簧設(shè)計優(yōu)化方法。

表8 壓縮彈簧設(shè)計問題統(tǒng)計結(jié)果

3.3 焊接梁設(shè)計

焊接梁設(shè)計的目標(biāo)是在滿足一定約束條件下最小化其成本f(x)，其中包含7個不等式約束分別為：剪切應(yīng)力(τ)、梁的彎曲應(yīng)力(σ)、桿件屈曲載荷(Pc)、梁端撓度(δ)等，4個設(shè)計變量分別為：h(x1)、l(x2)、t(x3)以及b(x4)，如圖4所示。其具體數(shù)學(xué)模型如式(17)和式(18)所示。

目標(biāo)函數(shù)：

x3x4(14.0+x2)。

(17)

s.t.

g1(x)=τ(x)-τmax≤0,

g2(x)=σ(x)-σmax≤0,

g3(x)=x1-x4≤0,

x3x4(14.0+x2)-5.0≤0,

g5(x)=0.125-x1≤0,

g6(x)=δ(x)-δmax≤0,

g7(x)=P-Pc(x)≤0。

(18)

邊界約束及相關(guān)參數(shù)值：

P=6 000lb,L=14in,E=30e6psi,

G=12e6psi,τmax=13 600psi,σmax=30 000psi,

δmax=0.25in,

0.1≤x1≤2.0,0.1≤x2≤10.0,

0.1≤x3≤10.0,0.1≤x4≤2.0。

利用TLEM算法對焊接梁設(shè)計問題進(jìn)行求解，算法相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：種群大小為50，最大迭代次數(shù)為200，移動概率為0.9，交換概率為0.9。TLEM算法獨立運行30次后得到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值、平均值和函數(shù)評價次數(shù)，并且與文獻(xiàn)[23-28]中各個學(xué)者的研究結(jié)果進(jìn)行比較，統(tǒng)計結(jié)果如表9所示。

從表9可以看出，TLEM算法在30次獨立運行中，不論是搜索到的最優(yōu)值還是平均值均取得了最優(yōu)，而且所需要函數(shù)評價次數(shù)也是最少的。其中(μ+λ)-ES算法和ABC算法在最優(yōu)值上取得了和TLEM算法一樣的結(jié)果，但這兩種算法的平均值要比TLEM算法的差，而且它們的函數(shù)評價次數(shù)是TLEM算法的3倍。這表明TLEM算法無論是在搜索性能還是在搜索效率上都是這幾種算法中最好的。

表9 焊接梁設(shè)計問題統(tǒng)計結(jié)果

4 結(jié)束語

本文針對EM算法的不足，提出一種基于師生交流機制的改進(jìn)類電磁機制算法(TLEM)。該算法將教學(xué)優(yōu)化算法和一種改進(jìn)的類電磁機制算法相結(jié)合，用于解決約束優(yōu)化問題。算法結(jié)合了TLBO算法和EM算法各自的優(yōu)點，既具有較強的全局搜索能力，又具有較高的局部搜索精度。通過與其他版本的EM算法以及若干最新約束優(yōu)化算法進(jìn)行的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測試實驗，驗證了TLEM算法具有穩(wěn)定優(yōu)良的尋優(yōu)能力，是一種新型有效的約束優(yōu)化方法。最后將TLEM算法應(yīng)用到3個工程設(shè)計優(yōu)化問題中，并與其他算法相比較，實驗結(jié)果表明了TLEM算法在該類問題上的可行性和優(yōu)越性。未來，仍需進(jìn)一步提高算法的計算效率，還需考慮到有些實際工程應(yīng)用問題為多目標(biāo)問題，以及如何利用TLEM算法解決這類多目標(biāo)問題。