潘天宇,樓佩煌+,朱立群,錢曉明,武 星

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,江蘇 南京 210016； 2.南京航空航天大學(xué) 江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點實驗室，江蘇 南京 210016)

0 引言

自動導(dǎo)航車(Automated Guided Vehicles, AGV),又名無人搬運車，是一種自動化的無人駕駛的智能化搬運設(shè)備，屬于移動式機(jī)器人系統(tǒng)[1]，能夠沿預(yù)先設(shè)定的路徑行駛，是現(xiàn)代工業(yè)自動化物流系統(tǒng)、計算機(jī)集成制造系統(tǒng)(Computer Integrated Manufacturing System, CIMS)和柔性制造系統(tǒng)(Flexible Manufacturing System, FMS)中的關(guān)鍵設(shè)備。

AGV進(jìn)行自主移動的關(guān)鍵是精準(zhǔn)的軌跡跟蹤。針對軌跡跟蹤問題，文獻(xiàn)[2]提出了適用于自動導(dǎo)引車跟蹤控制的最優(yōu)策略，通過狀態(tài)反饋控制方法，得到合適的控制律使連續(xù)系統(tǒng)的性能指標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，該方法無法避免加權(quán)矩陣Q、R選取難的問題，同時Riccati矩陣代數(shù)方程求解也比較復(fù)雜，隨著差速驅(qū)動輪的中心速度的改變其魯棒性也隨之變化；文獻(xiàn)[3]針對多輸入輸出的系統(tǒng)即在AGV路徑跟蹤時以位姿狀態(tài)的距離偏差和角度偏差作為系統(tǒng)的輸入以速度差做作為系統(tǒng)的控制輸出，設(shè)計了AGV路徑跟蹤的PID控制器；為了改變單PID控制的自適應(yīng)性能和動態(tài)性能，文獻(xiàn)[4-6]在PID算法中融合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法以及改進(jìn)的模糊PID等控制算法等，實現(xiàn)PID參數(shù)的在線自適應(yīng)整定和提高系統(tǒng)的動態(tài)性能；文獻(xiàn)[7]通過基于位姿狀態(tài)和有限步數(shù)的路徑跟蹤優(yōu)化方法更有利于嵌入式系統(tǒng)的滾動控制實現(xiàn)。

反演(Backstepping)控制方法最早是由美國學(xué)者Ioannis Kanellakopoulos[8]等針對具有反饋結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)提出的一種控制方法：通過引入虛擬控制，對系統(tǒng)進(jìn)行降階處理，將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成多個更簡單和階數(shù)更低的系統(tǒng)，然后選擇適當(dāng)?shù)腖yapunov(李雅普諾夫)函數(shù)來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并逐步導(dǎo)出最終的控制率及參數(shù)自適應(yīng)律，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)的有效控制和全局調(diào)節(jié)。文獻(xiàn)[9]將自適應(yīng)魯棒控制與反演控制結(jié)合起來,設(shè)計了跟蹤控制器,解決了控制輸入受限和模型不確定性問題。文獻(xiàn)[10-11]引入指令濾波器和自適應(yīng)模糊逼近器構(gòu)造誤差滑模面，通過在線自適應(yīng)調(diào)整控制率實現(xiàn)了系統(tǒng)具有較強的抗干擾性?；？刂朴址Q為變結(jié)構(gòu)控制，根據(jù)系統(tǒng)的期望運動特征設(shè)計滑模切換面，并通過滑?？刂破鲗⑾到y(tǒng)從初始狀態(tài)不斷向滑模面收束。如何設(shè)計滑模面和使系統(tǒng)更好的達(dá)到滑模面成為了這些年學(xué)者的研究熱點。文獻(xiàn)[12]設(shè)計了基于干擾器的邊界層自適應(yīng)滑?？刂破?，以消除傳統(tǒng)滑?？刂频摹岸墩瘛爆F(xiàn)象。文獻(xiàn)[13]在滑模面引入擾動觀測器和反饋電流，用于不確定性和外部干擾的觀測以及速度和電流的雙重控制，從而提高了直線電機(jī)動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。滑?？刂芠14]可以在滑動模態(tài)下對于外界干擾仍然保持完全魯棒性，但它要求不確定性滿足匹配條件，而反演設(shè)計方法能夠很好地解決非匹配條件的不確定問題。因此，針對非匹配不確定非線性問題時，經(jīng)常將滑?？刂坪头囱菰O(shè)計方法的優(yōu)點結(jié)合使用[15-16]。

本文提出了基于Backstepping的改進(jìn)等速趨近律離散滑模軌跡跟蹤控制方法，并用于AGV的軌跡追蹤與誤差糾偏。在全局坐標(biāo)下建立系統(tǒng)的運動學(xué)方程，利用滑?？刂茖崿F(xiàn)AGV的軌跡跟蹤。差速驅(qū)動的AGV的運動學(xué)方程是強耦合、非線性的，針對MIMO(multiple-input multiple-output)的非線性系統(tǒng)，本文利用Backstepping方法設(shè)計了滑?？刂魄袚Q函數(shù)，并在等速趨近律中將連續(xù)函數(shù)取代符號函數(shù)以降低系統(tǒng)的抖動。

1 全局坐標(biāo)下AGV運動學(xué)模型

如圖1所示為差速驅(qū)動AGV在笛卡爾坐標(biāo)系中的運動狀態(tài)。圖中YoX為笛卡爾坐標(biāo)系，x1oy1的原點中心和AGV幾何中心重合，且隨AGV一起運動的參考坐標(biāo)系。假設(shè)AGV在當(dāng)前的狀態(tài)為K時的狀態(tài)為p=(x,y,θ)，即AGV在坐標(biāo)系中位姿坐標(biāo)，其中x為在YoX中的橫坐標(biāo)，y為在YoX中的縱坐標(biāo)，θ為AGV的朝向和X軸夾角，規(guī)定當(dāng)AGV順時針時針轉(zhuǎn)向X軸時θ>0，反之，θ<0。下面分析AGV在當(dāng)前狀態(tài)k時到下一個目標(biāo)點pr=(xr,yr,θr)時的運動學(xué)方程，其中：xr為目標(biāo)點在YoX坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)，yr為目標(biāo)點在YoX坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)，θr為AGV的期望朝向和X軸的夾角。

顯然，對于如圖1所示的差速驅(qū)動AGV，其狀態(tài)是由其幾何中心點o1在坐標(biāo)系YoX的位置以及AGV的位姿角θ來決定的。假設(shè)AGV在坐標(biāo)系中的位置為p，AGV的控制輸入為q=(v,ω)T，其中：v為AGV中心的速度，ω為AGV繞其幾何中心轉(zhuǎn)動的角速度。在差速動的AGV中通過兩輪的速度差來保證AGV中心速度v和角速度ω。假設(shè)某一狀態(tài)k時AGV的速度為v，角速度為ω，則不難得出其運動學(xué)方程為：

vX=vcosθ,

vY=vsinθ,

ω=ω。

(1)

將式(1)改寫為位置矩陣方程為：

(2)

AGV在軌跡跟蹤或路徑跟蹤的過程中，只有系統(tǒng)的運動學(xué)方程一般是難以建立系統(tǒng)的控制律的。當(dāng)在軌跡跟蹤時，一般對AGV的位姿有一定要求，即有期望的運動軌跡，在實際運行的過程中，需實時計算AGV當(dāng)前的位姿狀態(tài)并和當(dāng)前的期望位置狀態(tài)做比較，計算實際偏差并糾偏，下面討論AGV在具有期望位姿或參考位姿pr=(xr,yr,θr)T和參考速度指令qr=(vr,ωr)T下的位姿誤差方程。

在圖1中，AGV從位姿p=(x,y,θ)T運動到期望位姿pr=(xr,yr,θr)T，在參考坐標(biāo)系y1ox1中的坐標(biāo)為：

pe=(xe,ye,θe)T。

(3)

式中θe=θr-θ。

由理論力學(xué)知識和圖1可知，動系y1o1x1和定系YoX之間存在如下坐標(biāo)變換關(guān)系：

(4)

由式(4)不難得到AGV運動的位姿誤差方程為：

(5)

下面推導(dǎo)位姿誤差微分方程，由圖1和式(2)可得：

(6)

則由式(6)可得：

(7)

而由式(5)可得：

xe=(xr-x)cosθ+(yr-y)sinθ,

ye=(xr-x)sinθ+(yr-y)cosθ。

(8)

對式(8)求導(dǎo)可得:

=yeω-v+vrcosθe。

(9)

同理，可得

=vrsinθe-xeω；

(10)

同理，可得

(11)

由式(9)～式(11)可得到位姿誤差微分方程的矩陣形式為：

(12)

式(12)是后續(xù)控制律設(shè)計的基礎(chǔ)，在該位姿誤差微分方程的基礎(chǔ)上通過設(shè)計合適的控制律，從而使AGV在軌跡跟蹤過程中按照預(yù)定的軌跡運行，或者在路徑跟蹤的過程中當(dāng)誤差出現(xiàn)時快速的消除偏差，使AGV始終向無偏差狀態(tài)轉(zhuǎn)換，這也是控制律設(shè)計時必須遵守的準(zhǔn)則。

2 基于Backstepping改進(jìn)等速趨近律AGV滑模軌跡跟蹤控制

Backstepping方法運用于本文AGV的非線性運動系統(tǒng)中的思路為：根據(jù)AGV系統(tǒng)的運動學(xué)特征，應(yīng)用李雅普諾夫函數(shù)[17-18]設(shè)計AGV滑模切換面，得到系統(tǒng)收斂的約束條件；為了更好的實現(xiàn)AGV由任意初始狀態(tài)切換至滑模面，通過連續(xù)函數(shù)替換原有的符號函數(shù)，最終得到改進(jìn)等速趨近律AGV系統(tǒng)的離散滑?？刂破鳎沟肁GV系統(tǒng)在軌跡跟蹤過程中盡快達(dá)到滑模面同時減少高速狀態(tài)下切換時所造成的系統(tǒng)抖動問題。

2.1 基于Backstepping的AGV滑?？刂频那袚Q函數(shù)的設(shè)計

如前所示，建立了AGV系統(tǒng)的運動學(xué)模型式(2)，而AGV進(jìn)行路徑跟蹤或軌跡跟蹤的實質(zhì)是在有偏差產(chǎn)生時尋求合適的控制輸入q=(v,ω)T，使對于給定的偏差或存在的偏差，系統(tǒng)位姿誤差微分方程(12)在此控制輸入的作用下，位姿誤差方程(5)有界并且收斂。前面建立的AGV運動學(xué)模型(12)是一個MIMO的非線性系統(tǒng)，針對MIMO的非線性系統(tǒng)的滑?？刂?，切換函數(shù)的設(shè)計是核心、關(guān)鍵同時也是難點，本節(jié)利用Backstepping方法的進(jìn)行切換函數(shù)的設(shè)計。

文獻(xiàn)[19]中提出一個引理：對于任意的x∈R且x有界，有φ(x)=xsin(arctanx)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0式等號成立。根據(jù)此引理，基于Backstepping，設(shè)計AGV進(jìn)行軌跡跟蹤式的滑模切換函數(shù)。

當(dāng)xe=0時，即AGV軌跡跟蹤過程中x軸方向的偏差值為0，分析李雅普諾夫函數(shù)：

(13)

假設(shè)θe=-arctan(vrye)，則有

(14)

(15)

式(15)即為AGV軌跡跟蹤過程中非線性系統(tǒng)的滑模控制的切換函數(shù)，對于AGV軌跡跟蹤的滑?？刂破髟O(shè)計是基于此切換函數(shù)的，下文通過設(shè)計適當(dāng)?shù)腁GV滑?？刂破魇箂1→0,s2→0，這樣就實現(xiàn)了xe收斂到0且θe收斂到-arctan(vrye)，從而實現(xiàn)ye→0，θe→0，即使AGV在軌跡跟蹤過程中距離偏差(包括X軸方向和Y軸方向)和角度偏差均收斂。

2.2 改進(jìn)等速趨近律AGV系統(tǒng)的離散滑?？刂破髟O(shè)計

AGV系統(tǒng)的趨近運動是指AGV在軌跡跟蹤的過程中對隨意給定的初始狀態(tài)到滑模切換面的運動，而滑?？刂频目蛇_(dá)條件式[20]只是保證了AGV系統(tǒng)從初始的偏差狀態(tài)能夠到達(dá)滑模面，但是在AGV運動過程中即從初始偏差狀態(tài)到達(dá)滑模面的過程中對運動軌跡即偏差狀態(tài)的變化規(guī)律卻未做任何限制，為了提高運動的性能，高為炳教授[21]提出了趨近律的概念，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(16)

當(dāng)f(s)=0時，式(16)為

(17)

式中ε>0。

式(17)即為等速趨近律，顯然對趨近運動加了趨近律的運動比未添加任何約束的運動的動態(tài)性能有顯著改善。當(dāng)AGV系統(tǒng)進(jìn)行軌跡跟蹤時的滑?？刂撇捎檬?17)的等速趨近，式中常數(shù)ε的物理意義表示趨近s=0的速率，ε越小，則趨近的速度越慢，即AGV系統(tǒng)在軌跡跟蹤過程中偏差向0變化的速度越慢糾偏能力稍差，反之，ε越大，趨近速度越快即偏差狀態(tài)向零變化越快，同時運動點到達(dá)切換面時也將具有較大的速度，引起的AGV系統(tǒng)的抖動也比較大。為了使趨近運動盡快到達(dá)趨近面，同時減小AGV系統(tǒng)穩(wěn)定運行時的偏差抖動，本文采用了改進(jìn)的等速趨近律，即將式(17)中的符號函數(shù)代替為連續(xù)的函數(shù)：

(18)

式中：δi為正小數(shù)，εi為趨近系數(shù)。

令α=arctan(vrye)，結(jié)合式(12)和式(15)可得：

=vrsinθe-xeω。

(19)

結(jié)合上述各式，可得系統(tǒng)的控制律為：

(20)

式(15)為采用Backstepping方法得到AGV軌跡跟蹤的滑?？刂频那袚Q函數(shù)，在切換函數(shù)的基礎(chǔ)上利用改進(jìn)的等速趨近律得到AGV軌跡跟蹤的滑模控制律即式(20)，此處的改進(jìn)是指在傳統(tǒng)的等速趨近律的基礎(chǔ)上將連續(xù)的函數(shù)取代原趨近律中的符號函數(shù)，目的是為了加速使AGV系統(tǒng)在軌跡跟蹤過程中偏差狀態(tài)盡快趨于穩(wěn)定同時減小因以較大速度達(dá)到滑模面時造成的AGV系統(tǒng)的抖動。

3 仿真與實驗

為了驗證第2章提出的采用Backstepping的改進(jìn)等速趨近律的AGV軌跡跟蹤的離散滑?？刂扑惴ǖ目尚行院陀行?，本章對上文中提出的算法進(jìn)行圓弧路徑下的計算機(jī)數(shù)值仿真以及不同轉(zhuǎn)彎路徑、不同速度下的實驗。設(shè)被控對象為上文所建立的AGV運動學(xué)模型的位姿誤差方程為式(12)，采用圓弧路徑進(jìn)行數(shù)字仿真和不同路徑下的AGV軌跡跟蹤實驗。

3.1 圓弧路徑的AGV軌跡跟蹤仿真

xr=rcos(ωrt)=cost,

yr=rsin(ωrt)=sint,

θr=ωrt=t。

(21)

控制律中的各個參數(shù)取值為δ1=δ2=0.02，等速趨近律中趨近常數(shù)ε取值為ε1=ε2=6.0。

位置的初始位姿即AGV在系統(tǒng)中開始的位姿狀態(tài)為[x(0),y(0),θ(0)]=[3,0,0]，采用式(20)控制律，進(jìn)行仿真，其仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

如圖2所示，AGV剛開始的位置即初始狀態(tài)和初始期望位置存在較大差距，故產(chǎn)生較大的控制量，導(dǎo)致AGV小車的速度和角速度的控制輸出曲線產(chǎn)生較大波動，后期逐漸趨于穩(wěn)定。可以看出，相較于之前的符號函數(shù)算法，改進(jìn)等速趨近律滑?？刂频南到y(tǒng)速度和角速度能夠在更短時間內(nèi)達(dá)到期望狀態(tài)，由仿真圖可知，系統(tǒng)控制量在5 s后基本保持不變，即控制輸出更加穩(wěn)定。

如圖3所示為AGV的角度位姿的偏差情況，圖3a為AGV實際的航向角和每個位置預(yù)期的航向角即理想航向角的偏差狀態(tài)，圖3b為AGV軌跡跟蹤過程中實際的航向角和實際航向角的對比，此圖為局部放大圖。圖4為AGV進(jìn)行圓弧軌跡跟蹤時的相對于絕對坐標(biāo)系的x軸方向的偏和y軸方向的偏差，其中圖4a為系統(tǒng)x軸方向的偏差，圖4b為y軸方向的偏差，由圖可知，改進(jìn)等速趨近律滑?？刂频南到y(tǒng)在初始偏差相同的前提下，角度和距離偏差均能在更短的時間內(nèi)收斂于0并保持穩(wěn)定，由此仿真結(jié)果證明了改進(jìn)后的滑?？刂扑惴軌蚴笰GV小車在軌跡跟蹤過程中更快地減小偏差并趨于穩(wěn)定。

如圖5所示為AGV進(jìn)行圓軌跡的位置跟蹤圖，由圖可以很明顯地看出，采用基于Backstepping的改進(jìn)等速趨近律離散滑模軌跡跟蹤控制取得了比較好的效果，路徑跟蹤過程系統(tǒng)穩(wěn)定，且誤差小，整個過程中沒有出現(xiàn)系統(tǒng)失穩(wěn)的現(xiàn)象。

3.2 AGV軌跡跟蹤實驗

為驗證本算法的有效性和可行性，在上述仿真的基礎(chǔ)上進(jìn)行如下實驗。在實驗中分別針對不同的路徑、不同的速度進(jìn)行跟蹤，通過不同路徑和不同的速度來驗證本文中提到的算法。圖6為低速小轉(zhuǎn)彎半徑跟蹤的路徑幾何尺寸圖和實際的跟蹤實驗過程。

如表1所示，AGV運動的初始狀態(tài)差速驅(qū)動單元的距離偏差為-20mm，角度偏差為30°，AGV的速度為400 mm/s。

表1 低速小轉(zhuǎn)彎半徑實驗參數(shù)表

AGV在路徑跟蹤的過程中通過通信任務(wù)不斷地將視覺傳感器采集到的偏差數(shù)據(jù)傳輸?shù)缴衔粰C(jī)，其路徑跟蹤過程中相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表1所示。AGV相對于導(dǎo)引標(biāo)線糾偏過程中的距離偏差和角度偏差的變化如圖7與圖8所示。

如圖9所示為高速大轉(zhuǎn)彎半徑下的路徑幾何尺寸圖和實際的跟蹤實驗過程。實驗中的具體參數(shù)如表2所示，其初始狀態(tài)時角度偏差為20°，距離偏差為30 mm，AGV的速度800 mm/s。

表2 高速大轉(zhuǎn)彎半徑實驗參數(shù)表

參數(shù)v/(mm/s)eθ(0)/(°)ed(0)/mml1/mml2/mmr/mmθ/(°)數(shù)值80020301 5001 5001 20090

在高速大轉(zhuǎn)彎半徑的運行過程中，AGV相對于導(dǎo)引標(biāo)線的距離偏差和角度偏差的變化如圖10與圖11所示。

由前述的兩組對比實驗，即低速小轉(zhuǎn)彎半徑、高速大轉(zhuǎn)彎半徑下，采用本文的控制算法與改進(jìn)前的算法實驗結(jié)果如圖7、圖9所示。在實驗剛開始的階段，由于初始狀態(tài)與滑模理想位置存在較大偏差，AGV的角度偏差和距離偏差存在一定程度的超調(diào)，但很快偏差均趨于穩(wěn)定。

在直線路徑切換至圓弧路徑和圓弧路徑切換至直線路徑時，改進(jìn)后的滑?？刂扑惴軌蚋斓卣{(diào)整AGV小車達(dá)到滑模面，沒有產(chǎn)生明顯的數(shù)值波動，因而減小了因較大速度達(dá)到滑模面所產(chǎn)生系統(tǒng)抖動問題，這與仿真結(jié)果基本一致；同時對比小車在同種路徑下的運行結(jié)果，改進(jìn)后的算法能夠?qū)⒕嚯x偏差和角度偏差控制在較小的范圍內(nèi)，穩(wěn)定運行時角度偏差eθ<5°，距離偏差ed<10 mm，從而提高了系統(tǒng)運動的魯棒性。比較圖7和圖9，AGV小車在較大的轉(zhuǎn)彎半徑與較高速度的運行狀態(tài)下，改進(jìn)后的算法對于路徑糾偏效果更加明顯，這也體現(xiàn)了本文改進(jìn)等速趨近律AGV滑模軌跡跟蹤控制方法的優(yōu)越性。

4 結(jié)束語

針對全局坐標(biāo)下的軌跡軌跡跟蹤問題，本文提出了基于Backstepping的改進(jìn)等速趨近律離散滑模AGV軌跡跟蹤控制。首先建立了AGV在全局坐標(biāo)下的位姿誤差方程式和位姿誤差微分方程，為下面進(jìn)行控制律設(shè)計奠定運動學(xué)基礎(chǔ)?；诜囱莘ㄔO(shè)計出的AGV軌跡跟蹤的滑?？刂魄袚Q函數(shù)S，可以得出只要適當(dāng)?shù)脑O(shè)計滑?？刂破魇箂1→0,s2→0即可實現(xiàn)AGV軌跡跟蹤過程中X軸方向的距離偏差xe收斂于零，且AGV航向角偏差θe收斂于-arctan(vrye)，從而實現(xiàn)ye→0，θe→0。針對等速趨近律中ε常數(shù)對趨近過程的影響，將符號函數(shù)代替為連續(xù)函數(shù)即改進(jìn)的等速趨近律，基于改進(jìn)的等速趨近律設(shè)計了AGV滑?？刂频那袚Q函數(shù)式和AGV軌跡跟蹤的控制律式,可以實現(xiàn)AGV更好地從任意初始的偏差狀態(tài)達(dá)到滑模切換面，即偏差狀態(tài)盡快趨于穩(wěn)定同時減小因以較大速度達(dá)到滑模面時造成的AGV系統(tǒng)的抖動問題。最后，針對本節(jié)設(shè)計的基于Backstepping的改進(jìn)等速趨近律AGV滑模軌跡跟蹤控律分別進(jìn)行了計算機(jī)仿真與軌跡跟蹤實驗。通過圖2～圖9可知，本文設(shè)計的控制律軌跡跟蹤效果較好，在初始位置偏差較大時能很快實現(xiàn)系統(tǒng)的誤差糾偏(5 s內(nèi))并最終使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的軌跡跟蹤，實驗結(jié)果表明了本算法的可行性、穩(wěn)定性和快速性。本文討論了單AGV小車滑模運動的改進(jìn)方式，隨著物流運輸?shù)陌l(fā)展，雙AGV小車或多AGV小車系統(tǒng)協(xié)同搬運的重要性逐漸顯現(xiàn)，該算法也為協(xié)同過程可能出現(xiàn)的MIMO控制問題提供了思路。