潘乙山 李 晗

(博世華域轉(zhuǎn)向系統(tǒng)有限公司,上海 201801)

0 引言

雙十字軸式萬向節(jié)從首次被用在汽車上至今已有一百多年，由于其構(gòu)簡(jiǎn)單而被廣泛用于汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)。十字軸式萬向節(jié)的不等速特性由法國(guó)工程師Jean Victor Poncelet用球面三角公式首次證明，十字軸式萬向節(jié)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，節(jié)叉會(huì)同時(shí)受到扭矩和彎矩的作用[1-2]。汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)上的中間軸安裝在轉(zhuǎn)向機(jī)和轉(zhuǎn)向管柱之間，由于安裝轉(zhuǎn)向機(jī)的副車架和安裝轉(zhuǎn)向管柱的橫梁，兩者相對(duì)位置在汽車行駛過程中會(huì)產(chǎn)生微小變化，該變化導(dǎo)致中間軸產(chǎn)生伸縮運(yùn)動(dòng)，伸縮運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的軸向滑動(dòng)力也會(huì)影響到中間軸的受力。轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中的多種噪音與中間軸的受力情況相關(guān)，如粘-滑尖叫聲(Stick - Slip)、轉(zhuǎn)向管柱周期性咯噠聲等，所以在轉(zhuǎn)向系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)其進(jìn)行正確受力分析至關(guān)重要。本文將扭矩、彎矩及滑動(dòng)力三者同時(shí)在轉(zhuǎn)向管柱坐標(biāo)系中表示出來，以便于后續(xù)對(duì)轉(zhuǎn)向管柱支撐軸承的受力情況進(jìn)行分析。

1 中間軸受力分析

中間軸用于傳遞驅(qū)動(dòng)單元的輸出扭矩到機(jī)械轉(zhuǎn)向機(jī)上。不同結(jié)構(gòu)的中間軸所能承載的最大扭矩不同，如圖1給出了ZF公司不同結(jié)構(gòu)中間軸所能承受的最大扭矩范圍[3]。注塑滑動(dòng)結(jié)構(gòu)的中間軸能傳遞的扭矩較小，而球滑動(dòng)結(jié)構(gòu)的中間軸能傳遞的扭矩較大。直線安裝的中間軸僅能傳遞扭矩，無附加彎矩產(chǎn)生，帶角度安裝的中間軸在傳遞扭矩的同時(shí)會(huì)產(chǎn)生附加彎矩。為便于裝配以及提供潰縮功能，中間軸一般都有伸縮功能，伸縮過程中會(huì)產(chǎn)生軸向滑動(dòng)力。

圖1 不同結(jié)構(gòu)中間軸所能承受的最大扭矩(圖片來源：參考文獻(xiàn)3)

Fig.1 Transmission torque of each kind of intermediate shaft

1.1 中間軸的結(jié)構(gòu)及原理

如圖2所示，注塑滑動(dòng)結(jié)構(gòu)的中間軸由下擺動(dòng)節(jié)叉1、下固定節(jié)叉2、花鍵軸3、花鍵套管4、上固定節(jié)叉5、上擺動(dòng)節(jié)叉6等部分組成[4]。花鍵軸3與花鍵套管4之間由注塑滑動(dòng)結(jié)構(gòu)間隔開來，以降低滑動(dòng)力；下擺動(dòng)節(jié)叉1與下固定節(jié)叉2、上固定節(jié)叉5與上擺動(dòng)節(jié)叉6分別用十字軸鏈接，十字軸與節(jié)叉之間有滾針軸承，用來降低摩擦損失。下擺動(dòng)節(jié)叉的軸線與花鍵軸的軸線、上擺動(dòng)節(jié)叉的軸線與花鍵管的軸線之間可以布置成不同的夾角，以滿足轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的空間布及扭矩波動(dòng)的要求。

圖2 博世華域轉(zhuǎn)向系統(tǒng)有限公司中間軸(圖片來源：參考文獻(xiàn)4)

1.2 單十字軸萬向節(jié)受力分析

1.2.1 特殊位置單十字軸萬向節(jié)受力分析

如圖3所示，節(jié)叉寬度為2h，單十字軸萬向節(jié)帶折彎角度傳動(dòng)時(shí)，主動(dòng)節(jié)叉GI輸入扭矩為T1，從動(dòng)節(jié)叉GII輸出扭矩為T2。由于萬向節(jié)只能在其十字軸平面內(nèi)傳遞力，圖中表示為R，該力可分解成垂直于節(jié)叉軸線同時(shí)垂直于節(jié)叉平面的扭轉(zhuǎn)力P和平行于節(jié)叉軸線及在節(jié)叉平面內(nèi)的折彎力Z。輸入扭矩和輸出扭矩有以下關(guān)系[2]：

T1=2P1h

T2=2P2h

(1)

(a)

(b)

主動(dòng)節(jié)叉所受的彎矩M1和從動(dòng)節(jié)叉所受的彎矩M2分別為：

M1=2Z1h

M2=2Z2h

(2)

由于兩個(gè)節(jié)叉的自身對(duì)稱特性，結(jié)合圖3可知，主動(dòng)節(jié)叉GI和從動(dòng)節(jié)叉GII旋轉(zhuǎn)180°后又回到各自的初始狀態(tài)，故十字軸萬向節(jié)的扭轉(zhuǎn)力P和折彎力Z的周期均為180°。

當(dāng)主動(dòng)節(jié)叉轉(zhuǎn)動(dòng)角度為0°和90°時(shí)，節(jié)叉的扭矩和彎矩見表1[2]：

從表1可知，節(jié)叉所受最大彎矩與十字軸萬向節(jié)傳遞的扭矩大小、輸入輸出軸間夾角大小有關(guān)。若要對(duì)中間軸進(jìn)行比較完整的受力分析，還需要知道節(jié)叉在任意位置時(shí)的受力狀態(tài)。

表1 特殊位置節(jié)叉的扭矩和彎矩

1.2.2 單十字軸萬向節(jié)狀態(tài)變換

雙十字軸萬向節(jié)中間軸的參數(shù)設(shè)定如圖4所示：

圖4 中間軸模型參數(shù)

Fig.4 Parameters of intermediate shaft

先對(duì)其中的上萬向節(jié)進(jìn)行分析，如圖5所示，上萬向節(jié)的坐標(biāo)系S定義如下：坐標(biāo)原點(diǎn)B為十字軸中心點(diǎn)，X軸為主動(dòng)節(jié)叉的軸線，Y軸為主動(dòng)節(jié)叉耳軸線，Z軸為從動(dòng)節(jié)叉耳軸線。輸入軸線與輸出軸線成夾角狀態(tài)的萬向節(jié)，可由輸入軸線與輸出軸線同軸狀態(tài)的萬向節(jié)，經(jīng)過以下步驟得到：

1)將主動(dòng)節(jié)叉軸線AB與從動(dòng)節(jié)叉的軸線BC擺成同軸狀態(tài)，主動(dòng)節(jié)叉耳孔軸線Y1Y1與從動(dòng)節(jié)叉耳孔軸線Y2Y2成垂直狀態(tài)，主動(dòng)節(jié)叉耳孔軸線Y1Y1在XY平面內(nèi)；

2)將從動(dòng)節(jié)叉繞其節(jié)叉耳孔軸線Y2Y2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β21角；

3)將主動(dòng)節(jié)叉繞其軸線AB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)φ1角；

4)將從動(dòng)節(jié)叉繞其軸線BC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)-φ2角，直到主動(dòng)節(jié)叉耳孔軸線Y1Y1與從動(dòng)節(jié)叉耳孔軸線Y2Y2垂直。

結(jié)合圖3、圖4和圖5的參數(shù)設(shè)定并用向量形式表示，根據(jù)萬向節(jié)變換步驟1，此時(shí)為初始狀態(tài)，各向量在坐標(biāo)系S上的表示見下表2。

表2 初始狀態(tài)向量表示

注：上標(biāo)0表示向量的初始狀態(tài)。

(a) 步驟1

(b) 步驟2

(c) 步驟3

(d) 步驟4

圖5 十字軸萬向節(jié)旋轉(zhuǎn)過程

Fig.5 Transformation of U-joint

步驟2、步驟3和步驟4的變換矩陣[5]分別為：

為了方便書寫，將坐標(biāo)變換矩陣RBC簡(jiǎn)寫成：

初始狀態(tài)向量經(jīng)過步驟2、步驟3和步驟4的變換后的結(jié)果見表3。

表3 變換后向量表示

1.2.3 單十字軸萬向節(jié)受力平衡求解

cosβ21tanφ2=tanφ1

(3)

若以主動(dòng)節(jié)叉耳孔軸線在主動(dòng)軸和從動(dòng)軸所成平面內(nèi)為初始位置，稱為同相或0°相關(guān)。若以主動(dòng)節(jié)叉耳孔軸線在上述平面的垂直平面內(nèi)為初始位置，稱為正交90°相關(guān)[2、6]，并有以下關(guān)系：

cosβ21tan(φ2+90°)=tan(φ1+90°)

化簡(jiǎn)后有：

tanφ2=cosβ21tanφ1

(4)

(5)

正交時(shí)式(4)可寫成：φ2=atan(cosβtanφ1) ，對(duì)式子連邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)：

(6)

不考慮內(nèi)摩擦功率損失時(shí)，輸入功率等于輸出功率：

T1ω1=T2ω2

(7)

式(7)中，ω1為主動(dòng)節(jié)叉角速度，ω2為從動(dòng)節(jié)叉角速度：

(8)

由式(5)到式(8)，可解得同相時(shí)主動(dòng)節(jié)叉扭矩T1與從動(dòng)節(jié)叉扭矩T2滿足以下關(guān)系：

(9)

正交時(shí)滿足以下關(guān)系：

(10)

P1=P2cosβ21+Z2sinβ21cosφ2

(11)

正交時(shí)可解得：

P2=P1cosβ21+Z1sinβ21sinφ1

(12)

根據(jù)式(3)～(4)和(9)～(12)可化簡(jiǎn)可得同相節(jié)叉和正交節(jié)叉的彎力公式：

Z1=P1tanβ21sinφ1

Z2=P2tanβ21cosφ2

(13)

參考文獻(xiàn)2中表1的特殊位置的扭矩及彎矩結(jié)果與式(1)～(2)、(9)～(10)、(13)計(jì)算的結(jié)果相符。

1.3 雙十字軸結(jié)構(gòu)中間軸彎矩與傳遞扭矩的關(guān)系

由于單萬向節(jié)傳動(dòng)比不固定，一般會(huì)采用多個(gè)萬向節(jié)組成特定角度布置的傳動(dòng)系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)等速傳動(dòng)。常見的等速雙萬向節(jié)傳動(dòng)系統(tǒng)有Z型布置和A型布置，圖4所示的中間軸模型類似A型布置。根據(jù)多萬向節(jié)等速傳動(dòng)原理[6]，可令輸出節(jié)叉1為同相、上節(jié)叉2為正交、下節(jié)叉3為正交、小齒輪節(jié)叉4為同相。若定義扭矩正向傳遞為輸出節(jié)叉1到小齒輪節(jié)叉4，則扭矩反向傳遞為小齒輪節(jié)叉4到輸出節(jié)叉1。上一小節(jié)所得公式同時(shí)適用于雙十字軸結(jié)構(gòu)中間軸扭矩正向傳遞和扭矩反向傳遞情況。對(duì)于扭矩反向傳遞，由式(1)～(4)和(13)可得：

tanφ4=cosβ43tanφ3

tanφ1=cosβ21tanφ2

M4=T4tanβ2sinφ4

M3=T3tanβ2cosφ3

M2=T2tanβ1cosφ2

M1=T1tanβ1sinφ1

(14)

式(14)中，輸出節(jié)叉1轉(zhuǎn)角φ1、上節(jié)叉2轉(zhuǎn)角φ2、下節(jié)叉3轉(zhuǎn)角φ3、小齒輪節(jié)叉4轉(zhuǎn)角φ4初始值均為0°，轉(zhuǎn)角的變化范圍均為0°～180°。兩個(gè)萬向節(jié)之間的中間連接軸的扭矩有：

T3=T2

(15)

在中間軸設(shè)計(jì)時(shí)，令上下萬向節(jié)的相位角θ與上下萬向節(jié)平面的夾角γ的差值盡量等于0°，可實(shí)現(xiàn)近似的等速傳動(dòng)。上節(jié)叉2轉(zhuǎn)角與下節(jié)叉3轉(zhuǎn)角，扭矩正向傳遞及扭矩反向傳遞時(shí)分別有以下關(guān)系：

φ3=φ2+γ-θ

φ2=φ3+γ-θ

(16)

以電動(dòng)助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)(EPS)為例，結(jié)合圖6對(duì)EPS系統(tǒng)坐標(biāo)系Sc做如下定義：坐標(biāo)原點(diǎn)O為上萬向節(jié)十字軸中心，X軸為上管柱軸線，Y軸垂直于上管柱軸線同時(shí)在水平面上，Z軸向上并垂直于轉(zhuǎn)向管柱軸線。上萬向節(jié)平面與EPS系統(tǒng)坐標(biāo)系Sc的XY平面的夾角稱為連接角δ，一般左舵車的中間軸連接角為正值，右舵車的中間軸連接角為負(fù)值。在坐標(biāo)系Sc下，輸出軸的轉(zhuǎn)角φ的初始零位為Y軸的正方向，定義左打方向?yàn)檎D(zhuǎn)，右打方向?yàn)榉崔D(zhuǎn)。結(jié)合公式(14)中輸出節(jié)叉1轉(zhuǎn)角φ1的定義，可知輸出節(jié)叉1轉(zhuǎn)角φ1超前輸出軸的轉(zhuǎn)角φ的角度為連接角δ：

φ=φ1-δ

(17)

作用在節(jié)叉上的力偶矩，定義其使節(jié)叉產(chǎn)生繞Z軸折彎的分量為豎直軸彎矩，使節(jié)叉產(chǎn)生繞Y軸折彎的分量為水平軸彎矩。則輸出節(jié)叉1上的彎矩M1可分解成豎直軸彎矩M1z和水平軸彎矩M1y：

M1z=M1cosφ=M1cos(φ1-δ)

M1y=M1sinφ=M1sin(φ1-δ)

(18)

1.4 雙十字軸結(jié)構(gòu)中間軸滑動(dòng)力與傳遞扭矩的關(guān)系

EPS系統(tǒng)安裝在整車上時(shí)，機(jī)械轉(zhuǎn)向機(jī)安裝在副車架上，上轉(zhuǎn)向管柱安裝在橫梁上。在汽車行駛并有轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)的過程中，由于有路面顛簸沖擊，中間軸上萬向節(jié)中心點(diǎn)到下萬向節(jié)中心點(diǎn)的距離會(huì)產(chǎn)生變化，根據(jù)整車CAE分析，一般該距離變化幅度會(huì)在±2 mm內(nèi)[7]。若雙十字軸結(jié)構(gòu)中間軸在傳遞扭矩的時(shí)候產(chǎn)生軸向滑動(dòng)，將會(huì)產(chǎn)生軸向滑動(dòng)力Fi(僅考慮中間軸伸縮過程產(chǎn)生的穩(wěn)定滑動(dòng)力，不考慮靜動(dòng)摩擦力轉(zhuǎn)變的突變力)。中間軸拉伸時(shí)Fi為負(fù)，中間軸壓縮時(shí)Fi為正。該滑動(dòng)力近似的正比于中間軸傳遞的扭矩T2：

圖6 EPSc系統(tǒng)坐標(biāo)系Sc定義(圖片來源：參考文獻(xiàn)3)

Fi=kT2+F0

(19)

上式中，k為中間軸滑動(dòng)力系數(shù)，F(xiàn)0為中間軸初始滑動(dòng)力。一般的，注塑滑動(dòng)結(jié)構(gòu)的中間軸滑動(dòng)力系數(shù)k≈10，中間軸初始滑動(dòng)力F0約為20 N；球滑動(dòng)結(jié)構(gòu)的中間軸滑動(dòng)力系數(shù)k≈4，中間軸初始滑動(dòng)力F0約為10 N。在坐標(biāo)系Sc下，對(duì)于左舵的中間軸，中間軸的軸向滑動(dòng)力、水平滑動(dòng)力、豎直滑動(dòng)力分別為：

Fix=Ficosβ21

Fiy=Fisinβ21cosδ

Fiz=Fisinβ21sinδ

(20)

2 中間軸受力分析實(shí)例

下面以左舵的注塑滑動(dòng)結(jié)構(gòu)中間軸為例，假設(shè)施加在小齒輪軸節(jié)叉上的扭矩T4=90 Nm，小齒輪軸以ω4的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。用上述公式對(duì)其進(jìn)行受力分析，并已知硬點(diǎn)參數(shù)如下表4：

表4 中間軸硬點(diǎn)參數(shù)

根據(jù)上表4的中間軸硬點(diǎn)參數(shù)計(jì)算可得：

表5 中間軸計(jì)算結(jié)果

上下萬向節(jié)平面的夾角γ為48.965°。相位角由于裝配原因，會(huì)產(chǎn)生大約±5°的公差。若EPS的轉(zhuǎn)向管柱帶有位置調(diào)節(jié)功能，中間軸硬點(diǎn)參數(shù)也會(huì)隨著調(diào)節(jié)位置不同而產(chǎn)生變化，本計(jì)算不考慮這種變化狀態(tài)下的受力。小齒輪節(jié)叉4轉(zhuǎn)角φ4勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，可得到不同位置節(jié)叉的轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化的曲線及扭矩隨小齒輪節(jié)叉4轉(zhuǎn)角φ4變化的曲線：

圖7 不同位置節(jié)叉的轉(zhuǎn)角曲線和扭矩曲線

Fig.7 Rotate angle and transmission torque of each fork

從圖7可見，給輸入節(jié)叉一個(gè)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)速度，中間兩個(gè)節(jié)叉轉(zhuǎn)速不均勻，而最后的輸出節(jié)叉轉(zhuǎn)角已經(jīng)基本能實(shí)現(xiàn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。給輸入節(jié)叉一個(gè)固定扭矩，中間兩個(gè)節(jié)叉扭矩不均勻，而最后的輸出節(jié)叉的扭矩已經(jīng)基本能實(shí)現(xiàn)比較平穩(wěn)的扭矩輸出。

圖8是方向盤正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)時(shí)中間軸給轉(zhuǎn)向管柱的彎矩示意圖。

(a) 方向盤正轉(zhuǎn)

(b) 方向盤反轉(zhuǎn)

圖8 轉(zhuǎn)向管柱輸出軸的彎矩

Fig.8 Bending torque on output shaft of steering column

上圖是沿著坐標(biāo)系Sc的X軸反方向看過去所得圖，圖中的虛直線平面即上萬向節(jié)平面，帶箭頭虛弧線指的是旋轉(zhuǎn)方向，帶箭頭的虛直線指的是彎矩最大的方向，此時(shí)節(jié)叉耳軸線Y1Y1與上萬向節(jié)平面垂直。方向盤每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，最大值出現(xiàn)兩次。

圖9是中間軸伸縮運(yùn)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)向管柱產(chǎn)生的沿坐標(biāo)系Sc三個(gè)方向的分力。

圖9 中間軸最大分力

實(shí)際上由于整車振動(dòng)的隨機(jī)性，沿坐標(biāo)系Sc三個(gè)方向的分力在某個(gè)中間軸轉(zhuǎn)角下，取值可正可負(fù)，上圖只是其取值為正時(shí)的最大包絡(luò)，反應(yīng)出該位置可能出現(xiàn)的最大值。該最大值可用于轉(zhuǎn)向管柱支撐軸承的壽命計(jì)算。

3 結(jié)論

本文通過向量的坐標(biāo)變換計(jì)算，推導(dǎo)出十字軸萬向節(jié)轉(zhuǎn)角公式、十字軸萬向節(jié)扭矩及彎矩公式，最終得到中間軸施加在轉(zhuǎn)向管柱上的扭矩及彎矩曲線，并分析了其受力特點(diǎn)。由于轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速較低，準(zhǔn)靜態(tài)平衡受力分析基本能滿足需求，扭矩及彎矩曲線可用于指導(dǎo)轉(zhuǎn)向管柱支撐軸承的噪音分析及壽命計(jì)算。