卓義峰,慕 嘉

(西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，蘭州 730030)

近年來,隨著人類對自然界的越發(fā)重視,許多學(xué)者都投入到種群生態(tài)學(xué)的研究.在文獻[1-3]中,學(xué)者用捕食者-食餌模型來描述在一個特定的生態(tài)系統(tǒng)中多個種群隨時間的變化.而在實際應(yīng)用中,生態(tài)系統(tǒng)的特性往往還受到許多其他因素的制約,如文獻[4]中的Allee效應(yīng),文獻[5]中的時滯對生態(tài)系統(tǒng)的影響，等.此外,若捕食者或者獵物中產(chǎn)生了疾病,也會對整個生態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生巨大的影響[6-14],針對不同的生態(tài)系統(tǒng),本文分別用SI模型、SIS模型、SIR等模型來描述不同情況下傳染并對生態(tài)系統(tǒng)的影響.本文根據(jù)已有的工作,建立模型并求解.

1 模型的建立

考慮文獻[7]中的具有Holling II型功能反應(yīng)函數(shù)的Rosenzweig-MacArthur捕食-食餌模型:

(1)

其中,N和P分別表示隨著時間t變化的食餌和捕食者的種群密度,b是獵物種群的平均最大生育率,di(i=1,2,3)分別是獵物和捕食者的死亡率,α表示獵物種群內(nèi)部競爭的強度,s表示有效搜索率,h表示處理時間,c表示捕食獵物轉(zhuǎn)換為新的捕食者的轉(zhuǎn)換效率.

在模型(1)的基礎(chǔ)上,并從經(jīng)濟效益的角度考慮,對未染病的食餌種群以及捕食者種群加入線性收獲項[15]得到系統(tǒng)(2)：

(2)

其中h1,h2表示捕獲率,因為I是感染者,從捕獲效益上考慮不進行捕獲.為考慮食餌染病的情況,做出如下假設(shè).

i) 當(dāng)獵物N受到感染后,物種由未感染者(N)和感染者(I)組成.在t時刻有：N(t)=H(t)+I(t).

ii) 感染后的獵物因較高的死亡率(設(shè)死亡率為d2)以及行動不便而被捕食而不考慮繁殖功能,因此只考慮未感染者H的繁殖能力.

2 模型分析

2.1 解的有界性

定理1 系統(tǒng)(2)的解在初始條件下一致有界的.

當(dāng)t→時，所以在中,系統(tǒng)的解是一致有界的.

2.2 平衡點的存在性

結(jié)合上式,當(dāng)d2<λ

αH*2-(b-d1-h1-αI*)H*-(b-d1-h1-λ)I*=0

(3)

現(xiàn)在令αH*2-(b-d1-h1-αI*)H*-(b-d1-h1-λ)I*=f(x),為了讓式(3)有正根,需要滿足當(dāng)f(x)<0且Δ>0,即:

Δ=(b-d1-h1-αI*)2-4α(b-d1-h1-λ)I*>0,-(b-d1-h1-λ)I*<0.

2.3 平衡點的穩(wěn)定性

系統(tǒng)(2)的Jacobi矩陣為:

2.3.1 平衡點E0(0,0,0)的穩(wěn)定性分析 系統(tǒng)(2)的平衡點E0(0,0,0)的Jacobi矩陣JE0為:

那么,矩陣JE0的特征根為b-d1-h1,-d2,-d3-h2.可知,若b

2.3.2 平衡點E1(H1,0,0)的穩(wěn)定性分析 系統(tǒng)(2)在平衡點E1(H1,0,0)的Jacobi矩陣JE1為:

那么,矩陣JE1的特征根分別為d1+h1-b,λ-d2,-d3-h2.若b

2.3.3 平衡點E2(H2,I2,0)的穩(wěn)定性分析 對于平衡點E2(H2,I2,0),考慮如下系統(tǒng):

(4)

顯然,系統(tǒng)(4)的正平衡點E1′=(H2,I2)且系統(tǒng)在點E1′=(H2,I2)的Jacobi矩陣J2為:

J2的特征方程為:A2-TA+D=0.

當(dāng)滿足d2<λ

detJ2′=b11b22-b12b21=

即Jacobi矩陣J2′的特征根有負(fù)實部,系統(tǒng)(4)的平衡點E1′=(H2,I2)是局部漸進穩(wěn)定的,那么,在滿足相同條件下,系統(tǒng)(2)在E2(H2,I2,0)也是局部漸進穩(wěn)定的.

2.3.4 平衡點E*(H*,I*,P*)的穩(wěn)定性分析

證明系統(tǒng)在平衡點E*(H*,I*,P*)的Jacobi矩陣為:

其中:

矩陣J*的特征方程:

ξ3+A1ξ2+A2ξ+A3

(5)

其中:

A1=-(a*11+a*22) ,

A2=(a*11a*22-a*12a*21)-(a*23a*32+a*13a*31) ,

A3=(a*13a*31-a*12a*23)+(a*11a*23-a*13a*21)a*32.

為使方程(5)的所有根都具有負(fù)實部,根據(jù)Routh-Hurwite判據(jù),行列式L應(yīng)滿足:

(6)

(7)

則滿足a*11<0,a*22<0即A1>0.結(jié)合式(6)、(7)的條件,矩陣J*中的元素就可以整理如下:

a*11<0,a*12<0,a*22<0,a*23<0,a*21>0,a*32>0,

顯然有A1A2-A3>0.

下面證平衡點E*(H*,I*,P*)全局漸進穩(wěn)定:

A(H-H*)2+B(H-H*)(I-I*)+C(I-I*)2+D(I-I*)(P-P*) .

即平衡點E*(H*,I*,P*)全局漸進穩(wěn)定.

2.4 Hopf分支存在分析

定理3 當(dāng)d2=d2*,系統(tǒng)(2)在正平衡點E*(H*,I*,P*)產(chǎn)生Hopf分支.

detJ*=a*11a*22a*33-a*12a*21a*33-a*11a*23a*32,

根據(jù)行列式中各個元素的正負(fù),可得到detJ*>0.

3 數(shù)值模擬

為了研究該模型的生物意義,通過計算機對該模型進行數(shù)值模擬.根據(jù)模型的生物意義,以模型的線性捕獲率為控制量對其進行分析b=0.6,d1=0.2,α=0.1,λ=0.2,s=0.15,d2=0.06,d3=0.01,c=0.2,令h1=h2=0,系統(tǒng)(2)的時序圖和相圖如圖1、圖2所示.

圖1 h1=h2=0時的時序圖 圖2 h1=h2=0時的相圖Fig.1 Time series diagram for h1=h2=0 Fig.2 Time series diagram for h1=h2=0

從圖1、圖2可以看出系統(tǒng)(2)產(chǎn)生了周期解(極限環(huán)).現(xiàn)在保持其他條件不變,只改變最大生育率b=0.3,得到圖3、圖4.

圖3 h1=h2=0時的時序圖 圖4 h1=h2=0時的相圖Fig.3 Time series diagram forh1=h2=0 Fig.4 Time series diagram for h1=h2=0

從圖3、圖4可以看出系統(tǒng)(2)穩(wěn)定.在圖3、圖4的原條件基礎(chǔ)上,只改變捕獲率h1=0.3,得到圖5、圖6.

圖5 h1=0.3,h2=0時的時序圖 圖6 h1=0.3,h2=0時的相圖Fig.5 Time series diagram for h1=0.3,h2=0 Fig.6 Time series diagram for h1=0.3,h2=0

從圖5、圖6不難發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)的整體變化不是很大,還是穩(wěn)定的.

圖7 h1=0,h2=0.3時的時序圖 圖8 h1=0,h2=0.3時的相圖Fig.7 Time series diagram for h1=0,h2=0.3 Fig.8 Time series diagram for h1=0,h2=0.3

現(xiàn)在再從圖3、圖4的條件基礎(chǔ)上,只改變捕獲率h2=0.3,得到圖7、圖8,可以看出系統(tǒng)還是穩(wěn)定的.

圖9 h1=h2=0.2時的時序圖 圖10 h1=h2=0.2時的相圖Fig.9 Time series diagram for h1=h2=0.2 Fig.10 Time series diagram for h1=h2=0.2

最后再保持圖3、圖4的條件不變,只改變捕獲率h1=h2=0.2,得到圖9、圖10(見下頁)，可以看出系統(tǒng)還是穩(wěn)定的.