李 江，李 春，謝用民，李 根

(1.黔南民族職業(yè)技術(shù)學(xué)院，云南 貴州 558022；2.上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200093；3.貴州經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，云南 貴州 558022)

由于賽璐珞乒乓球存在隱患，國(guó)際乒聯(lián)在2013年5月通過(guò)決議：2014年7月1日起，包括公開(kāi)賽及總決賽在內(nèi)的重大國(guó)際比賽都將使用新型塑料乒乓球。至此，有著120多年歷史的賽璐珞球退出歷史舞臺(tái)[1]。器材的革新，勢(shì)必引起乒乓球運(yùn)動(dòng)特性的改變和運(yùn)動(dòng)員技、戰(zhàn)術(shù)的調(diào)整。同時(shí)，由于乒乓球拍是比賽中最重要的器材之一，新尺寸與新材料乒乓球的應(yīng)用對(duì)球拍的結(jié)構(gòu)和性能提出了新的要求。因此，乒乓運(yùn)動(dòng)也必將迎來(lái)一次大變革浪潮[2]。

王奇志的文章[3]改進(jìn)了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的算法，考慮了空氣阻力對(duì)乒乓球飛行速度的影響，將速度作為動(dòng)態(tài)反饋參數(shù)，并采用OPENGL的3D仿真平臺(tái)進(jìn)行直觀分析并預(yù)測(cè)軌跡，結(jié)果表明算法具有較高的準(zhǔn)確性。Nonomura J等學(xué)者[4]通過(guò)乒乓球的對(duì)稱性特征，將其表面一半的面積劃分為九個(gè)區(qū)域，忽略飛行過(guò)程中旋轉(zhuǎn)速度的影響，確定了升阻力系數(shù)，分析了球體碰撞和空氣動(dòng)力學(xué)特性，為乒乓球機(jī)器人預(yù)測(cè)乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡提供了理論基礎(chǔ)。Nakashima A等學(xué)者[5]通過(guò)開(kāi)發(fā)飛行旋轉(zhuǎn)球?qū)崟r(shí)測(cè)量方法，基于明確的球體運(yùn)動(dòng)物理模型建立了機(jī)器人乒乓球擊球系統(tǒng)；通過(guò)設(shè)定球拍的仰角和擊球的發(fā)射角度，求得了碰撞發(fā)生后球體的空氣動(dòng)力學(xué)特性、球拍回彈方向和機(jī)器人揮拍速度；通過(guò)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的有效性。

本文采用無(wú)網(wǎng)格格子Boltzmann方法(Lattice Boltzmann Method，LBM)對(duì)乒乓球三維非定常流場(chǎng)進(jìn)行求解，采用粒子和具有完整拉格朗日函數(shù)的方法對(duì)格子Boltzmann-BGK方程和不可壓縮的Navier-Stokes方程進(jìn)行求解，研究了碰撞發(fā)生時(shí)彈性恢復(fù)系數(shù)對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，分析乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡及運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化曲線，并且通過(guò)乒乓球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的瞬態(tài)流場(chǎng)細(xì)微結(jié)構(gòu)得到影響球體運(yùn)動(dòng)諸參數(shù)的流動(dòng)機(jī)理。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 恢復(fù)系數(shù)

恢復(fù)系數(shù)是表征碰撞時(shí)物體變形恢復(fù)能力的參數(shù)，其定義為碰撞前后兩物體接觸點(diǎn)法向相對(duì)分離速度與法向相對(duì)接近速度之比。只與碰撞物體的材料有關(guān)?；謴?fù)系數(shù)越大，碰撞后恢復(fù)能力越強(qiáng)。

恢復(fù)系數(shù)可用下式表示：

e=(u2n-u1n)/(v2n-v1n)

(1)

式中，u1n和u2n為兩物體碰撞后速度沿碰撞面法向的投影；v1n和v2n為兩物體碰撞前速度沿碰撞面法向的投影[6]。

1.2 無(wú)網(wǎng)格方法

無(wú)網(wǎng)格方法(meshfree method)是基于點(diǎn)的近似構(gòu)造形函數(shù)(trial function)而不需要考慮節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)方式，是科學(xué)和工程計(jì)算的一種新的數(shù)值模擬方法。在塑性材料模擬中，材料出現(xiàn)較大變形，傳統(tǒng)有限元無(wú)網(wǎng)格方法無(wú)法保持網(wǎng)格的連通性，可能會(huì)出現(xiàn)模擬錯(cuò)誤的問(wèn)題。無(wú)網(wǎng)格方法構(gòu)造形函數(shù)與有限元法等基于網(wǎng)格形成形函數(shù)不同，可將模擬對(duì)象的動(dòng)力學(xué)屬性賦予給節(jié)點(diǎn)，而不需再分配給網(wǎng)格元素。因此，建立求解方程的方法可以和有限元法達(dá)到一樣的效果[7]。

1.3 格子Boltzmann方法

格子Boltzmann方法以介觀動(dòng)理學(xué)模型為基礎(chǔ)，通過(guò)求解描述粒子運(yùn)動(dòng)的方程從而獲得宏觀信息，包括：速度、壓力以及溫度等。式(2)為Boltzmann方程[8]。

fi(r+eiδt,t+δt)-fi(r,t)=Si(r,t)

(2)

式中，r為自封閉系統(tǒng)內(nèi)格子的一個(gè)格點(diǎn)；ei為流體第i個(gè)粒子的離散速度集合；δt為離散時(shí)間步長(zhǎng)；t為當(dāng)前時(shí)間步；fi是以速度ei運(yùn)動(dòng)的速度分布函數(shù)；Si(r,t)為碰撞算子項(xiàng)，表示分子碰撞對(duì)速度分布函數(shù)的影響[9]。

2 參數(shù)和建模

圖1為乒乓球的計(jì)算域，其尺寸為：3.5×1.5×2.5 m。由于研究的對(duì)象為乒乓球的彈性恢復(fù)系數(shù)，將乒乓球拍簡(jiǎn)化為長(zhǎng)方體板，對(duì)計(jì)算結(jié)果不會(huì)造成任何影響。外圍流場(chǎng)求解尺度為0.1 m，尾跡加密尺度為12.5 mm，乒乓球邊界求解尺度為6.25 mm，球拍表面求解尺度為12.5 mm。仿真計(jì)算條件：仿真環(huán)境溫度取t=30 ℃，空氣密度ρ=1.165 kg/m3，動(dòng)力黏度μ=1.86·10-5Pa·s，乒乓球直徑D=40 mm，乒乓球質(zhì)量為2.7 g，重力加速度為9.81 m/s2。乒乓球在x軸方向(長(zhǎng)度方向)的速度vx=6.0 m·s-1，在y軸方向(高度方向)的速度vy=0 m·s-1，在z軸方向(寬度方向)vz=0 m·s-1；乒乓球轉(zhuǎn)速：ωx=ωy=0 rad·s-1，ωz=80 rad·s-1，乒乓球初始位置(0，0.2，0.7)m。計(jì)算截止時(shí)間取t=0.3 s。

根據(jù)論文乒乓球拍底板特性碰撞動(dòng)力學(xué)分析計(jì)算可得：純木底板材料的碰撞恢復(fù)力系數(shù)e1=0.596；碳素底板材料的碰撞恢復(fù)力系數(shù)e2=0.715。

圖1 計(jì)算域

3 結(jié)果與分析

圖2為四種不同彈性恢復(fù)系數(shù)的乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡圖。其中，e1=0.596和e2=0.715分別為純木底板和碳素底板的彈性恢復(fù)系數(shù)。

圖2 乒乓球軌跡圖

由圖2可知：四種工況下的乒乓球與球拍碰撞之前軌跡完全相同；碰撞發(fā)生后，乒乓球軌跡在y軸方向產(chǎn)生較大偏差，即彈性恢復(fù)系數(shù)越大，碰撞后軌跡終點(diǎn)線越高。其中，球與純木底板(e1=0.596)和碳素底板(e2=0.715)碰撞后軌跡終點(diǎn)線分別為(1.66540，0.03409)和(1.66288，0.05596)，以乒乓球半徑為基準(zhǔn)，e1=0.596與e2=0.715軌跡x軸方向偏差為0.15%，在y軸方向偏差為39.07%。

圖3為乒乓球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度隨時(shí)間變化圖，圖4為乒乓球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)速度隨時(shí)間變化圖。

圖3 球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中y軸速度隨時(shí)間變化圖

圖4 球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中x軸旋轉(zhuǎn)速度隨時(shí)間變化圖

圖3及圖4表明乒乓球沿y軸的運(yùn)動(dòng)速度和x軸的旋轉(zhuǎn)速度在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中隨時(shí)間變化而變化，各方向運(yùn)動(dòng)速度及旋轉(zhuǎn)速度變化趨勢(shì)相同，但數(shù)值有較大的差別。x軸球體前進(jìn)方向速度數(shù)值因受到空氣阻力作用在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中逐漸減小，與桌面碰撞后速度發(fā)生突降；y軸運(yùn)動(dòng)速度因重力及Magnus作用力等多重作用力綜合作用在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中先減小后增大，在與桌面碰撞后乒乓球速度方向瞬時(shí)發(fā)生變化，并產(chǎn)生一定的速度損失；z軸運(yùn)動(dòng)速度有較小的變化，與桌面碰撞時(shí)三者速度都會(huì)發(fā)生突變。

四種工況下，乒乓球旋轉(zhuǎn)速度在碰撞前，變化趨勢(shì)完全相同；碰撞發(fā)生后，各軸旋轉(zhuǎn)速度均發(fā)生突變。由x軸旋轉(zhuǎn)速度圖可得，彈性恢復(fù)系數(shù)不同時(shí)，旋轉(zhuǎn)速度的方向和大小變化較為明顯，即彈性恢復(fù)系數(shù)對(duì)球體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)速度的影響較大。

4 結(jié)論

(1)四種工況下的乒乓球與球拍碰撞之前軌跡相同；碰撞發(fā)生后，乒乓球軌跡y軸方向產(chǎn)生較大偏差，即彈性恢復(fù)系數(shù)越大，碰撞后軌跡終點(diǎn)線越高。

(2)球與純木底板和碳素底板碰撞后反射角度分別為e1=0.596時(shí)為25°，e2=0.715為26.8°，彈性恢復(fù)系數(shù)越大，碰撞后反射角度越大。彈性恢復(fù)系數(shù)對(duì)球體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中運(yùn)動(dòng)速度和旋轉(zhuǎn)速度影響較大。