傅惠民， 文歆磊

（北京航空航天大學(xué) 小樣本技術(shù)研究中心， 北京 100191）

0 引言

復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性評(píng)估與實(shí)時(shí)更新是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[1，2]。文獻(xiàn)[3]嚴(yán)格證明了串（并）聯(lián)系統(tǒng)可靠度（不可靠度）單側(cè)置信下（上）限等于各子系統(tǒng)可靠度（不可靠度）單側(cè)置信下（上）限的乘積，提出了串并聯(lián)系統(tǒng)可靠度置信下限的計(jì)算方法。 本文進(jìn)一步建立子系統(tǒng)可靠度和差積商的置信限公式， 解決了一般復(fù)雜系統(tǒng)可靠度的置信限計(jì)算難題。 同時(shí)，建立系統(tǒng)壽命和可靠度實(shí)時(shí)更新方法， 能夠通過(guò)子系統(tǒng)可靠度置信限和當(dāng)前系統(tǒng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的有機(jī)融合，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)壽命和可靠度的高精度實(shí)時(shí)更新。

1 和差積商的置信限

要解決一般系統(tǒng)的可靠性評(píng)估問(wèn)題， 首先需建立關(guān)于和差積商置信限的四個(gè)引理。

設(shè)λL和λU分別為母體特征值λ（如母體均值、方差、百分位值、百分率、分布參數(shù)等）置信度為γ的單側(cè)置信下限和上限，即

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，式（1）或式（2）可以看作λ的置 信 分布函數(shù)。

引理1 設(shè)兩個(gè)母體特征值λ1≥0 和λ2≥0 的置信度為γ的單側(cè)置信下限分別為λL1≥0 和λL2≥0，且λL1與λL2相互獨(dú)立， 則它們之和λ=λ1+λ2的單側(cè)置信下限λL=λL1+λL2的置信度γ*由下式計(jì)算

特別地，當(dāng)γ≥50%時(shí)，有γ*≥γ。

若令X1=λ1-λL1，X2=-（λ2-λL2），則有γ*=P（X1≥X2），因此，γ*可由隨機(jī)變量X1和X2的干涉模型計(jì)算，具體見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。 下面的3 個(gè)引理也可以同樣證明。

引理2 設(shè)兩個(gè)母體特征值λ1≥0 和λ2≥0 的置信度為γ的單側(cè)置信下限和上限分別為λL1≥0 和λU2≥0，且λL1與λU2相互獨(dú)立，則它們之差λ=λ1-λ2的單側(cè)置信下限λL=λL1-λU2的置信度γ*由下式計(jì)算

特別地，當(dāng)γ≥50%時(shí)，有γ*≥γ。

引理3 設(shè)兩個(gè)母體特征值λ1＞0 和λ2＞0 的置信度為γ的單側(cè)置信下限分別為λL1＞0 和λL2＞0， 且λL1與λL2相互獨(dú)立， 則它們之積λ=λ1λ2的單側(cè)置信下限λL=λL1λL2的置信度γ*由下式計(jì)算

特別地，當(dāng)γ≥50%時(shí)，有γ*≥γ。

引理4 設(shè)兩個(gè)母體特征值λ1＞0 和λ2＞0 的置信度為γ的單側(cè)置信下限和上限分別為λL1＞0 和λU2＞0，且λL1與λU2相互獨(dú)立， 則它們之商λ=λ1/λ2的單側(cè)置信下限λL=λL1/λU2的置信度γ*由下式計(jì)算

特別地，當(dāng)γ≥50%時(shí)，有γ*≥γ。

對(duì)于λ1＜0 或λ2＜0 的情況，可以令λ1'=-λ1或λ2'=-λ2，上述四個(gè)引理仍然成立。 由于置信度為1-γ的單側(cè)置信下限即為置信度為γ的單側(cè)置信上限， 所以根據(jù)上述四個(gè)引理也可求得和差積商的單側(cè)置信上限， 并且可以解決多個(gè)母體特征值和差積商及其組合的置信限問(wèn)題。 此外，將置信度換成置信水平，上述四個(gè)引理仍然成立。

2 系統(tǒng)可靠性評(píng)估方法

根據(jù)上述四個(gè)引理， 可以方便地建立關(guān)于系統(tǒng)可靠性的四個(gè)定理。

定理1 設(shè)R1和R2分別為兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)的可靠度，RL1和RL2分別是其置信度為γ的單側(cè)置信下限，則它們之和R=R1+R2的單側(cè)置信下限RL=RL1+RL2的置信度γ*由下式計(jì)算

特別地，當(dāng)γ≥50%時(shí)，有γ*≥γ。

根據(jù)式（7），γ*可通過(guò)下式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算

式中

實(shí)際計(jì)算時(shí)，首先按精度要求選取m（如取104，105，106等），代入式（11）計(jì)算γi，再由式（10）得到RL1，γi，然后代入式（9）計(jì)算γ～i，最后由式（8）得到置信度γ*。

定理2 設(shè)R1和R2分別為兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)的可靠度，RL1和RU2分別是其置信度為γ的單側(cè)置信下限和上限，則它們之差R=R1-R2的單側(cè)置信下限RL=RL1-RU2的置信度γ*由下式計(jì)算

特別地，當(dāng)γ≥50%時(shí)，有γ*≥γ。

根據(jù)式（12），γ*可通過(guò)式（8）求得，其中RL1，γi和γi仍由式（10）和式（11）計(jì)算，γ～i由下式給出

定理3 設(shè)R1和R2分別為兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)的可靠度，RL1和RL2分別是其置信度為γ的單側(cè)置信下限，則它們之積R=R1R2的單側(cè)置信下限RL=RL1RL2的置信度γ*由下式計(jì)算

特別地，當(dāng)γ≥50%時(shí)，有γ*≥γ。

根據(jù)式（14），γ*可通過(guò)式（8）求得，其中RL1，γi和γi仍由式（10）和式（11）計(jì)算，γ～i由下式給出

定理4 設(shè)R1和R2分別為兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)的可靠度，RL1和RU2分別是其置信度為γ的單側(cè)置信下限和上限， 則它們之商R=R1/R2的單側(cè)置信下限RL=RL1/RU2的置信度γ*由下式計(jì)算

特別地，當(dāng)γ≥50%時(shí)，有γ*≥γ。

根據(jù)式（16），γ*可通過(guò)式（8）求得，其中RL1，γi和γi仍由式（10）和式（11）計(jì)算，γ～i由下式給出

由于置信度為1-γ的可靠度單側(cè)置信下限即為置信度為γ的可靠度單側(cè)置信上限， 所以根據(jù)上述四個(gè)定理也可求得可靠度和差積商的單側(cè)置信上限。 此外，將置信度換成置信水平，上述四個(gè)定理仍然成立。

鑒于一般系統(tǒng)的可靠度是各子系統(tǒng)可靠度的和差積商及其組合， 因此上述四個(gè)定理能夠很好地解決一般系統(tǒng)的可靠性評(píng)估問(wèn)題。

3 成敗型試驗(yàn)可靠性更新方法

3.1 置信度更新

設(shè)產(chǎn)品（系統(tǒng)）可靠度R 的置信度為γ的單側(cè)置信下限為RL，γ，即

式中，事件B={R≥RL，γ}，其對(duì)立事件Bˉ={R＜RL，γ}。

現(xiàn)投入n 個(gè)當(dāng)前產(chǎn)品進(jìn)行成敗型試驗(yàn)， 共r 個(gè)產(chǎn)品失敗，n-r 個(gè)產(chǎn)品成功。 此時(shí)有

式中，事件A={r 個(gè)產(chǎn)品失敗，n-r 個(gè)產(chǎn)品成功}。

根據(jù)Bayes 公式可知，在事件A 發(fā)生的條件下，當(dāng)前產(chǎn)品可靠度R 的單側(cè)置信下限RL，γ的置信度可以更新為

式中

其中，g（R）為可靠度R 的置信分布[4]。 式（22）和式（23）的數(shù)值計(jì)算公式為

式中

m 可根據(jù)精度要求進(jìn)行取值 （如取104，105，106等），并且應(yīng)使mγ為整數(shù)。

對(duì)于只能求得置信度γ≥γ0的可靠度單側(cè)置信下限的情況，可以將P（AB）的近似值代入式（21）計(jì)算。 此時(shí)要求γ0較小，這樣上式中最后一項(xiàng)也就相對(duì)較小，最終γ*的計(jì)算誤差很小。 下面類(lèi)似的近似計(jì)算誤差也同理很小。另外，選取的m 也應(yīng)使mγ0為整數(shù)。

3.2 可靠度更新

對(duì)于給定的置信度γ，由式（21）可以求得更新后的置信度γ*，并通過(guò)不斷調(diào)整γ的取值至γ**，使得更新后的置信度γ*等于給定的置信度γ，即γ*=γ。 此時(shí)，可將原來(lái)可靠度R 的置信度為γ的單側(cè)置信下限RL，γ更新為RL，γ**。

4 非成敗型試驗(yàn)可靠性更新方法

同樣，設(shè)產(chǎn)品（系統(tǒng)）在t0時(shí)刻可靠度R 的置信度為γ的單側(cè)置信下限為RL，γ，即滿足式（18）和式（19）。

現(xiàn)對(duì)n 個(gè)當(dāng)前產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，事件A={r 個(gè)失效數(shù)據(jù)t1，t2，…，tr，n-r 個(gè)未失效數(shù)據(jù)tr+1，tr+2，…，tn}發(fā)生。 并設(shè)當(dāng)前產(chǎn)品壽命的概率密度函數(shù)為f（t，θ），可靠度函數(shù)為R（t，θ）。 此時(shí)有

4.1 置信度更新

在事件A 發(fā)生的條件下，當(dāng)前產(chǎn)品可靠度R 的單側(cè)置信下限RL，γ的置信度可由下式進(jìn)行更新

式中

式（32）和式（33）的數(shù)值計(jì)算公式為

式中，RL，γi和k 仍由式（26）～式（28）給出。

同樣， 對(duì)于只能得到置信度γ≥γ0的可靠度單側(cè)置信下限的情況，可以將P～（AB）的近似值

代入式（31）計(jì)算。

特別地， 當(dāng)r=0， 即試驗(yàn)結(jié)果均為無(wú)失效數(shù)據(jù)時(shí)，式（35）和式（36）簡(jiǎn)化為

對(duì)于只能得到γ≥γ0的RL，γ的情況，P～（AB）的近似值為

4.2 可靠度更新

可靠度的更新與3.2 節(jié)類(lèi)似， 對(duì)于給定的置信度γ，可以由式（31）求得更新后的置信度γ*，并通過(guò)不斷調(diào)整γ的取值至γ**，使得更新后的置信度γ*等于給定的置信度γ，即γ*=γ。 此時(shí)，可將原來(lái)可靠度R 的置信度為γ的單側(cè)置信下限RL，γ更新為RL，γ**。

5 非成敗型試驗(yàn)壽命更新方法

設(shè)給定可靠度R0時(shí)，置信度為γ的可靠壽命tR的單側(cè)置信下限為tRL，γ，即

式中，事件B={tR≥tRL，γ}，其對(duì)立事件={tR＜tRL，γ}。

現(xiàn)投入n 個(gè)當(dāng)前產(chǎn)品（系統(tǒng)）進(jìn)行壽命試驗(yàn)，事件A發(fā)生（事件A 定義與第4 節(jié)相同），并設(shè)當(dāng)前產(chǎn)品壽命的概率密度函數(shù)為f（t，θ），可靠度函數(shù)為R（t，θ），則P（A）仍由式（30）給出。

5.1 置信度更新

在事件A 發(fā)生的條件下，當(dāng)前產(chǎn)品可靠壽命tR的單側(cè)置信下限tRL，γ的置信度仍由式（31）給出，其中

式中，g*（t）為可靠壽命tR的置信分布[4]。 同樣，可通過(guò)式（35）和式（36）對(duì)式（44）和式（45）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，此時(shí)

式中，γi和k 仍由式（27）和式（28）給出。 對(duì)于只能得到置信度γ≥γ0的可靠壽命單側(cè)置信下限的情況，P～（AB）的近似值仍通過(guò)式（38）求得。 當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果均為無(wú)失效數(shù)據(jù)時(shí)，仍由式（39）～式（41）進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)θi由式（47）給出。

5.2 可靠壽命更新

對(duì)于給定的置信度γ，可以先通過(guò)5.1 節(jié)方法求得更新后的置信度γ*，然后不斷調(diào)整γ的取值至γ**，使得更新后的置信度γ*等于給定的置信度γ，即γ*=γ。 此時(shí)，可將原來(lái)可靠壽命tR的置信度為γ的單側(cè)置信下限tRL，γ更新為tRL，γ**。

6 Weibull 分布可靠性和壽命更新方法

設(shè)當(dāng)前產(chǎn)品壽命t 服從Weibull 分布，其概率密度函數(shù)和可靠度函數(shù)由下式給出

式中，α0為形狀參數(shù)，β 為尺度參數(shù)。α0為一已知常數(shù)（或?yàn)槠湟阎孪蓿?，它可以通過(guò)以往試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得（例如，對(duì)于鋁合金結(jié)構(gòu)，α0=4；鈦合金結(jié)構(gòu)，α0=3；鋼結(jié)構(gòu)，α0=2.2）[5]。

設(shè)已知在t0時(shí)刻可靠度R 的置信水平為γ的單側(cè)置信下限為RL，γ，或者在給定可靠度R0處可靠壽命tR的置信水平為γ的單側(cè)置信下限為tRL，γ。 現(xiàn)投入n 個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，在事件A 發(fā)生的條件下，則可采用第4 節(jié)和第5 節(jié)方法，分別對(duì)其可靠度和壽命進(jìn)行更新，其中

7 對(duì)數(shù)正態(tài)分布可靠性和壽命更新方法

設(shè)當(dāng)前產(chǎn)品的對(duì)數(shù)壽命x=lgt 服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)和可靠度函數(shù)由下式給出

式中，Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，μ 為對(duì)數(shù)壽命均值，標(biāo)準(zhǔn)差σ0為一已知常數(shù)（或?yàn)槠湟阎舷蓿?/p>

設(shè)已知在x0=lgt0時(shí)刻可靠度R 的置信水平為γ的單側(cè)置信下限為RL，γ，或者在給定可靠度R0處對(duì)數(shù)可靠壽命xR的置信水平為γ的單側(cè)置信下限為xRL，γ。 現(xiàn)投入n個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，在事件A 發(fā)生的條件下，同樣可采用第4 節(jié)和第5 節(jié)方法， 分別對(duì)其可靠度和壽命進(jìn)行更新，其中

8 算例

8.1 橋式系統(tǒng)可靠度置信下限評(píng)估

設(shè)某橋式系統(tǒng)由5 個(gè)完全相同且相互獨(dú)立的子系統(tǒng)構(gòu)成，各子系統(tǒng)可靠度相同（即R1=R2=R3=R4=R5），則該橋式系統(tǒng)的可靠度R 為

根據(jù)定理1～定理3 可知， 該橋式系統(tǒng)置信水平為γ的可靠度單側(cè)置信下限RL由下式給出

式中，RL1和RU1分別為子系統(tǒng)可靠度R1的置信水平為γ的單側(cè)置信下限和上限。

8.2 單一系統(tǒng)可靠度置信下限更新驗(yàn)證

現(xiàn)對(duì)100 個(gè)產(chǎn)品開(kāi)展成敗型試驗(yàn)， 共有5 個(gè)產(chǎn)品失敗，95 個(gè)產(chǎn)品成功， 則其置信度γ=0.9 的可靠度單側(cè)置信下限RL，γ=0.909。接著，又投入20 個(gè)相同的產(chǎn)品進(jìn)行成敗型試驗(yàn)， 結(jié)果全部成功， 采用第3 節(jié)方法對(duì)置信下限RL，γ=0.909 進(jìn)行更新，可將其提高到0.924。

此外，由于兩次成敗型試驗(yàn)數(shù)據(jù)都屬于同一母體，可將它們作為一個(gè)整體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析， 求得置信度γ=0.9的可靠度單側(cè)置信下限為0.924。

從上述結(jié)果可以看到，對(duì)于單一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，本文方法與傳統(tǒng)方法得到的結(jié)果完全一致， 這不僅驗(yàn)證了本文方法的正確性， 而且說(shuō)明在更新過(guò)程中沒(méi)有造成任何信息丟失。對(duì)于多個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)，傳統(tǒng)方法已不適用，而本文方法仍能很好地進(jìn)行更新。

8.3 工程算例

某航天器由兩個(gè)完全相同的零部件串聯(lián)組成， 首先對(duì)10 個(gè)零部件進(jìn)行壽命試驗(yàn)， 每個(gè)試件均在106循環(huán)處中止，未發(fā)生失效。 已知零部件的壽命服從形狀參數(shù)α0＝3 的兩參數(shù)Weibull 分布，求得該航天器置信水平γ=0.9、可靠度R=0.999 的壽命單側(cè)置信下限為[3，5]

然后又投入一臺(tái)該航天器整機(jī)進(jìn)行壽命試驗(yàn)， 截止到2×106循環(huán)仍未失效。 采用第5 節(jié)方法對(duì)式（61）的壽命預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行更新，此時(shí)γ0＝0.005[5]，求得γ**=0.588，從而將可靠壽命單側(cè)置信下限由tRL，γ＝1.295×105提高至

從上述計(jì)算結(jié)果可以看到， 本文建立的更新方法能夠?qū)⒘悴考驼麢C(jī)的試驗(yàn)結(jié)果有機(jī)融合， 把整機(jī)的可靠壽命單側(cè)置信下限提高了37.5%。

9 結(jié)論

基于置信分布，提出和差積商的置信限理論，給出子系統(tǒng)可靠度和差積商的置信限公式， 進(jìn)而建立一種系統(tǒng)可靠性評(píng)估方法，解決了一般系統(tǒng)的可靠性評(píng)估難題。

提出一種系統(tǒng)可靠度和壽命更新方法， 能夠利用當(dāng)前系統(tǒng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)， 對(duì)系統(tǒng)原來(lái)的可靠度和壽命評(píng)估結(jié)果進(jìn)行實(shí)時(shí)更新。 在此基礎(chǔ)上， 詳細(xì)討論了常用的Weibull 分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的壽命和可靠度更新問(wèn)題。

對(duì)于一個(gè)零部件有多種失效模式和多個(gè)危險(xiǎn)部位的情況，若它們彼此之間相互獨(dú)立，則可以將它們看作該零部件的廣義子系統(tǒng)， 也能用本文方法進(jìn)行可靠性評(píng)估和更新。

大量工程算例和Monte Carlo 模擬驗(yàn)證表明，本文方法能夠有效提高可靠性評(píng)估和壽命預(yù)測(cè)精度， 且計(jì)算簡(jiǎn)單，便于工程應(yīng)用。