董 海，徐德珉

(沈陽大學(xué) a.應(yīng)用技術(shù)學(xué)院；b.機(jī)械工程學(xué)院，沈陽 110044)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)的持續(xù)發(fā)展，市場上廢舊產(chǎn)品數(shù)量也隨之增加，吸引了企業(yè)和政府的關(guān)注。大量的廢舊產(chǎn)品不僅對環(huán)境造成巨大的污染，也是對資源的過度浪費(fèi)，所以針對廢舊產(chǎn)品進(jìn)行有效的再生利用成為最值得關(guān)注的問題。目前大多數(shù)城市已經(jīng)制定了相關(guān)政策、法律和制度，目的是提高原材料的重復(fù)使用率，越來越多的企業(yè)也將閉環(huán)供應(yīng)鏈管理引入了公司戰(zhàn)略管理中。

近幾年，國內(nèi)外學(xué)者對閉環(huán)供應(yīng)鏈已經(jīng)有了大量的研究，主要集中在新產(chǎn)品和廢舊產(chǎn)品的價(jià)格、回收渠道和利潤共享契約等方面。許多學(xué)者運(yùn)用博弈論和運(yùn)籌學(xué)的相關(guān)觀點(diǎn)對閉環(huán)供應(yīng)鏈進(jìn)行建模。Maiti和Giri[1]研究了在零售商價(jià)格領(lǐng)導(dǎo)和產(chǎn)品質(zhì)量需求下的閉環(huán)供應(yīng)鏈問題，認(rèn)為需求量與新產(chǎn)品和再制品的質(zhì)量有關(guān)，并研究基于不同渠道能力下，納什博弈和斯坦伯格博弈模型對閉環(huán)供應(yīng)鏈的影響。Zu Jun[2]等構(gòu)建了由制造商、零售商和兩個(gè)回收商組成的三級閉環(huán)供應(yīng)鏈，研究了不同合作模式下對決策者的利潤所產(chǎn)生的影響。王晶等[3]研究了在不可退貨和供貨能力有限下供應(yīng)鏈模型的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。Junling Zhang等[4]研究了不同決策模式下的四寡頭博弈模型，并對其進(jìn)行混沌控制。陳彬等[5]構(gòu)建了由制造商和兩個(gè)回收商組成的動(dòng)態(tài)決策模型，通過數(shù)值仿真、分岔圖、Lyapunov指數(shù)動(dòng)態(tài)變化圖及吸引子研究混沌特征，最后采用參數(shù)調(diào)整和系統(tǒng)變量的狀態(tài)反饋控制策略對混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制。Junhai Ma等[6]構(gòu)建了由制造商和零售商組成的雙渠道閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)，根據(jù)需求的不確定性，建立兩種情景下的動(dòng)態(tài)博弈模型并分析模型的動(dòng)態(tài)行為，驗(yàn)證了制造商在非對稱渠道能力下的利潤大于對稱渠道能力下的利潤，供應(yīng)鏈整體利潤隨著內(nèi)部競爭的增加而提升。高飛等[7]構(gòu)建了由生產(chǎn)商、分銷商、零售商組成的三維供應(yīng)鏈分?jǐn)?shù)階差分博弈模型(SCFDGM)，利用分?jǐn)?shù)階差分的相關(guān)理論對SCFDGM復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值分析。Alper等[8]提出了基于數(shù)學(xué)模型的供應(yīng)鏈管理系統(tǒng)的同步與控制，構(gòu)建由生產(chǎn)商、分銷商和顧客組成的供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)模型，并分析該模型的混沌同步與控制。Jianwei Chang等[9]研究了由一個(gè)制造商和一個(gè)零售商組成的再制品供應(yīng)鏈系統(tǒng)，該系統(tǒng)被認(rèn)為一種斯坦格伯模型的正向供應(yīng)鏈的耦合動(dòng)力學(xué)。通過分析，系統(tǒng)出現(xiàn)了分叉和混沌的動(dòng)態(tài)現(xiàn)象。Daoming Dai等[10]構(gòu)建了在政府干預(yù)下多渠道閉環(huán)供應(yīng)鏈模型，對平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的存在條件進(jìn)行分析，對延遲因素的影響、庫存價(jià)格的調(diào)整和回收品的回收率等進(jìn)行混沌分析。Miao Yu等[11]通過博弈論、混沌動(dòng)態(tài)理論和復(fù)雜性分析研究了閉環(huán)供應(yīng)鏈的價(jià)格策略和回收渠道，構(gòu)建了基于制造商和回收商雙渠道回收模式下的閉環(huán)供應(yīng)鏈模型，驗(yàn)證了制造商的回收價(jià)格調(diào)整速率或回收商的調(diào)整速率都會(huì)導(dǎo)致閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，通過引入合適的參數(shù)對混沌狀態(tài)進(jìn)行有效的控制。J. Ma等[12]考慮在產(chǎn)品回收模式下，構(gòu)建由一個(gè)制造商和一個(gè)零售商組成的閉環(huán)供應(yīng)鏈，通過分叉、混沌和初值敏感性分析研究閉環(huán)供應(yīng)鏈動(dòng)態(tài)非線性博弈模型的復(fù)雜性。D. Vlachos等[13]建立閉環(huán)供應(yīng)鏈再制造動(dòng)態(tài)容量規(guī)劃的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，由于產(chǎn)品數(shù)量的不斷增加，容量規(guī)劃成為戰(zhàn)略性問題，因此對于逆向供應(yīng)鏈而言，復(fù)雜性變得十分重要。Lu等[14]引入服務(wù)和顧客轉(zhuǎn)換的理念，構(gòu)建了具有重復(fù)交易的兩階段供應(yīng)鏈動(dòng)態(tài)決策模型。研究表明，為客戶提供更多服務(wù)方面的制造商占據(jù)比其對手更大的市場。M. Huang等[15]構(gòu)建基于一個(gè)零售商和一個(gè)回收商的雙循環(huán)渠道閉環(huán)供應(yīng)鏈策略分析模型，基于博弈論從分散和集中渠道方案的定價(jià)決策和回收策略的角度描述供應(yīng)鏈績效，并將其與CLSC的現(xiàn)有最佳策略與單一回收渠道(零售商或第三方)進(jìn)行比較。

綜上所述，針對閉環(huán)供應(yīng)鏈系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)雜性及混沌分析成為目前學(xué)者所研究的內(nèi)容之一，研究主要集中于產(chǎn)品價(jià)格和產(chǎn)量博弈的過程，結(jié)合Nash均衡點(diǎn)分析問題。本文構(gòu)建了由一個(gè)制造商、兩個(gè)回收商和消費(fèi)者組成的三級閉環(huán)供應(yīng)鏈模型，在上述內(nèi)容的研究基礎(chǔ)上，將消費(fèi)者的不確定性需求考慮到供應(yīng)鏈?zhǔn)袌鲋?，對其進(jìn)行建模。同時(shí)采用博弈論與混沌控制理論對閉環(huán)供應(yīng)鏈?zhǔn)袌龅膹?fù)雜動(dòng)態(tài)演化過程進(jìn)行分析和控制。

1 模型建立及分析

1.1 模型描述

為了貼合市場的實(shí)際情況，本文構(gòu)建的閉環(huán)供應(yīng)鏈模型將消費(fèi)者的不確定需求因素以及回收競爭性考慮在該模型中。模型中，制造商負(fù)責(zé)生產(chǎn)新產(chǎn)品和廢舊產(chǎn)品的回收再制造，兩個(gè)回收商負(fù)責(zé)回收廢舊產(chǎn)品，并處于雙寡頭壟斷狀態(tài)，該模型如圖1所示。

針對模型做出以下幾點(diǎn)假設(shè)：

1)閉環(huán)供應(yīng)鏈模型中所有決策主體均為獨(dú)立的決策者，由于市場條件的局限性，決策者不能充分了解其它決策者的行為，所以只能進(jìn)行有限理性決策；

2)回收產(chǎn)品的數(shù)量與自身價(jià)格有關(guān)，不考慮環(huán)境因素、服務(wù)質(zhì)量和消費(fèi)水平等對回收品數(shù)量帶來的影響；

3)制造商回收和再制造品的單位成本低于制造新產(chǎn)品的單位成本，優(yōu)先選擇再制造產(chǎn)品滿足市場需求；

4)假設(shè)回收能力和再制造能力都是無限制，回收的所有廢舊產(chǎn)品都可以進(jìn)行再制造。

圖1 閉環(huán)供應(yīng)鏈模型回收模式Fig.1 Recycling method of closed-loop supply chain model

1.2 模型建立及說明

制造商和兩個(gè)回收商的回收品數(shù)量分別為Qm、Qt1、Qt2，表達(dá)式為

Qt1=a1+bt1-dt2

(1)

Qt2=a2+bt2-dt1

(2)

Qm=a3+bm-d(t1+t2)

(3)

其中，ak>0，(k=1，2，3)表示消費(fèi)者自愿無償提供的廢舊品數(shù)量，即消費(fèi)者的環(huán)保意識；b表示消費(fèi)者的回收價(jià)格敏感系數(shù)；d表示回收價(jià)格競爭系數(shù)；m表示制造商分別從消費(fèi)者和回收商中回收的廢舊產(chǎn)品的單位回收價(jià)格，即制造商的決策變量；t1、t2分別是兩個(gè)回收商從消費(fèi)者中回收的廢舊產(chǎn)品的單位回收價(jià)格，即回收商的決策變量。

制造商和回收商回收廢舊產(chǎn)品的總數(shù)量記作Q，其公式為

Q=Qm+Qt1+Qt2

(4)

相比于新產(chǎn)品，消費(fèi)者對再制造品的態(tài)度存在不確定性和限制性，因此引入?yún)?shù)h，能夠反映在t時(shí)間段中消費(fèi)者愿意購買的再制品數(shù)量。

證明：為了驗(yàn)證h在某一時(shí)間段中服從均勻分布，對周一至周五消費(fèi)者愿意購買再制品數(shù)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)研分析。

根據(jù)市場調(diào)研，周一至周五消費(fèi)者愿意購買再制品數(shù)量的數(shù)據(jù)如表1。

表1 消費(fèi)者自愿購買再制品數(shù)量

圖2 K-S檢驗(yàn)Fig.2 The K-S test

通過SPSS對數(shù)據(jù)進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，判斷數(shù)據(jù)是否服從均勻分布，其中：

H0：服從均勻分布；H1：不服從均勻分布；顯著性水平默認(rèn)0.05。

數(shù)據(jù)分析顯示：顯著性水平值0.573明顯大于0.05，說明發(fā)生原假設(shè)H0的概率很大，因此接受原假設(shè)H0，拒絕原假設(shè)H1，認(rèn)為該數(shù)據(jù)服從均勻分布。因此假設(shè)參數(shù)h在區(qū)間[x-x1,x+x1]中服從均勻分布，它能夠反映在t時(shí)間段中消費(fèi)者愿意購買的再制品數(shù)量，其分布函數(shù)記為F(h)，概率密度函數(shù)為

f(h)=(1/2)x1

(5)

當(dāng)Q>h時(shí)，只有h數(shù)量的產(chǎn)品出售給消費(fèi)者，剩余部分的產(chǎn)品將被浪費(fèi)；當(dāng)Q≤h時(shí)，所有的再制品都能夠出售給消費(fèi)者。但是當(dāng)再制品不能夠滿足消費(fèi)者需求時(shí)，消費(fèi)者不得不選擇購買新產(chǎn)品或者放棄購買行為，從而給制造商帶來一定的損失，w表示制造商的單位損失成本。

制造商和兩個(gè)回收商的利潤模型分別為

(6)

Pt1=(m-t1-i)·Qt1

(7)

Pt2=(m-t2-i)·Qt2

(8)

其中,i表示制造商或回收商從消費(fèi)者回收廢舊產(chǎn)品的單位成本；e表示制造商使用再制造品代替新產(chǎn)品所產(chǎn)生的節(jié)約成本。

制造商的期望利潤函數(shù)為E(Pm)，其公式為

(9)

綜上分析，制造商的決策變量為回收價(jià)格m，回收商的決策變量分別為t1，t2，由此得出邊際利潤函數(shù)分別為

(10)

(11)

(12)

由于市場具有復(fù)雜性，制造商和兩個(gè)回收商不能完全預(yù)測市場的真實(shí)信息和其它決策者的決策信息。因此市場中的決策者都基于有限理性模型，在該模型下，決策者在t+1時(shí)刻的決策函數(shù)為

(13)

(14)

(15)

其中,vk>0，(k=1，2，3)表示制造商和兩個(gè)回收商的調(diào)整速率。

將公式(10)～(12)分別帶入公式(13)～(15)中，能夠得到該模型的三維離散動(dòng)態(tài)方程為

(16)

t1(t+1)=t1(t)+v2t1(t)·(dt2-bt1-a1-b(i-m+t1))

(17)

t2(t+1)=t2(t)+v3t2(t)·(dt1-bt2-a2-b(i-m+t2))

(18)

2 數(shù)值仿真

本文使用MATLAB軟件對模型進(jìn)行數(shù)值仿真和動(dòng)力特征的分析。相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：a1=0.3，a2=0.6，a3=1，b=1，d=0.5，i=0.1，e=6，w=1，x=3，x1=1。本文研究基于回收價(jià)格敏感系數(shù)b和回收價(jià)格競爭價(jià)格d為固定值時(shí)，制造商和雙回收商對系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響，運(yùn)用MATLAB繪制該模型的分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)圖和初值敏感性分析圖分析模型的混沌狀態(tài)。

表2 相關(guān)參數(shù)設(shè)置

2.1 混沌與分岔現(xiàn)象

分岔圖是一種能夠體現(xiàn)系統(tǒng)隨著參數(shù)變化而形成動(dòng)態(tài)特征的方法。通過參數(shù)的不同設(shè)置可以得到相應(yīng)的分岔圖，參數(shù)設(shè)置如表1所示。

從圖3中能夠看出，當(dāng)v1從0增加至0.38，m，t1處于穩(wěn)定增長狀態(tài)，t2穩(wěn)定在0.1，然后出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，即隨著v1的增長，回收價(jià)格m，t1，t2的不確定性也隨之增加，因此導(dǎo)致企業(yè)將需要獲得更多信息進(jìn)行相應(yīng)決策。圖4和圖5分別為回收價(jià)格m，t1，t2隨著v2，v3的變化，系統(tǒng)呈現(xiàn)的穩(wěn)定與混沌狀態(tài)，所表示的含義與v1變化時(shí)的含義相似。

圖3 m,t1,t2關(guān)于v1分岔圖Fig.3 m,t1,t2bifurcation diagram of m

圖4 m,t1,t2關(guān)于v2分岔圖Fig.4 m,t1,t2bifurcation diagram of m

圖5 m,t1,t2關(guān)于v3分岔圖Fig.5 m,t1, t2bifurcation diagram of m

綜上分析，調(diào)整速率vk的變化對于決策變量的穩(wěn)定性具有很大的影響，不僅使得決策變量的不確定性增加，市場情形變得復(fù)雜，決策者決策將變得更加困難，而且決策者的利潤也將受到影響。

2.2 最大Lyapunov指數(shù)

當(dāng)調(diào)整系統(tǒng)中決策變量的速率時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)將發(fā)生動(dòng)態(tài)變化，因此可以通過最大Lyapunov指數(shù)的動(dòng)態(tài)變化分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征。若最大Lyapunov指數(shù)小于0，則系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；最大Lyapunov指數(shù)等于0，則系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)；最大Lyapunov指數(shù)大于0，則系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖6a顯示當(dāng)v2=0.2，v3=0.3，v1在0-0.8之間變化時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)變化情況，在0-0.38之間，最大Lyapunov指數(shù)小于0，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；在0.38-0.8之間，最大Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，與分岔圖2-4出現(xiàn)混沌狀態(tài)相似。圖6b和c顯示為v2和v3變化時(shí)的最大Lyapunov指數(shù)圖，表述含義與圖11相似，不再贅述。

2.3 初值敏感分析

取v1=0.2，v2=0.5，v3=0.8，此時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，改變決策變量m，t1，t2的初值，使初值相差0.001，即原始初值為m=0.2，t1=0.5，t2=0.8，改變后初值為m=0.2，t1=0.5，t2=0.800 1，得到有關(guān)決策變量m，t1，t2的初值敏感分析圖。

圖6 v1,v2,v3最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.6 v1, v2, v3maximum Lyapunov index chart

圖7 m,t1,t2初值敏感分析圖Fig.7 m,t1,t2initial value sensitivity analysis diagram

如圖7所示，從圖中可以看出，大約經(jīng)過20次左右的迭代后，系統(tǒng)的狀態(tài)產(chǎn)生了明顯的差異。因此混沌系統(tǒng)對于初值具有強(qiáng)烈的敏感性，如同蝴蝶效應(yīng)，初值發(fā)生很小的差異就能引起巨大的變化。由此可以得出，決策者應(yīng)該謹(jǐn)慎地選擇決策變量的初值，否則可能會(huì)產(chǎn)生巨大的損失。

3 混沌控制

通過數(shù)值分析能夠得出，混沌現(xiàn)象具有不穩(wěn)定性和敏感性，使得制造商和回收商的決策行為變得復(fù)雜化，市場變得無序化，相關(guān)決策者的利潤受到影響。因此在混沌發(fā)生前采取措施，對系統(tǒng)進(jìn)行控制，使混沌狀態(tài)得到改善或消除。本文將采用狀態(tài)反饋控制和參數(shù)調(diào)整的方法對混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制，得到受控系統(tǒng)方程如下所示：

將公式(16)～(18)改寫為公式(19)～(21)：

m(t+1)=f1(m(t),t1(t),t2(t))

(19)

t1(t+1)=f2(m(t),t1(t),t2(t))

(20)

t2(t+1)=f3(m(t),t1(t),t2(t))

(21)

引入負(fù)反饋調(diào)節(jié)參數(shù)n，并設(shè)置反饋控制的迭代周期為1，則系統(tǒng)記為公式(22)～(24)，其中0

m(t+1)=(1-n)f1(m(t),t1(t),t2(t))+nm(t)

(22)

t1(t+1)=(1-n)f2(m(t),t1(t),t2(t))+nt1(t)

(23)

t2(t+1)=(1-n)f3(m(t),t1(t),t2(t))+nt2(t)

(24)

通過前文數(shù)值分析，得出當(dāng)v1=0.55，v2=1.25，v3=1.55時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，引入?yún)?shù)n后，決策變量的變化情況如圖8。從圖中能夠看出，當(dāng)n=0時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，隨著n逐漸增加，系統(tǒng)進(jìn)入周期階段，最終進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，混沌狀態(tài)得到有效的控制。

上述研究的閉環(huán)供應(yīng)鏈?zhǔn)袌鍪謴?fù)雜，決策變量的改變直接影響市場的穩(wěn)定性。通過混沌控制，有利于市場管理，提高市場穩(wěn)定性，同時(shí)易于決策，獲取更大利潤。

圖8 m,t1,t2混沌控制圖Fig.8 m, t1, t2 chaotic control diagram

4 結(jié)論

本文采用混沌理論研究了由制造商和兩個(gè)回收商組成的三渠道回收模式下閉環(huán)供應(yīng)鏈混沌控制問題。為了貼合實(shí)際情況，考慮顧客對于再制品需求的不確定性，引入?yún)?shù)h反映顧客在某一時(shí)間段內(nèi)購買再制品的數(shù)量，并通過K-S檢驗(yàn)方法驗(yàn)證h服從均勻分布，并建立了關(guān)于決策變量m，t1，t2的動(dòng)態(tài)模型。利用MATLAB分別對模型的分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)圖、初值敏感分析圖進(jìn)行數(shù)值仿真，得出以下結(jié)論：

1)改變制造商和兩個(gè)回收商調(diào)整速率vi，可導(dǎo)致系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，增加決策變量的不確定性，使得決策者的決策行為變得更加困難。

2)混沌系統(tǒng)對于決策變量m，t1，t2初值具有極其敏感性，決策者必須對市場進(jìn)行充分的理性分析，謹(jǐn)慎地選擇合理的決策策略，可以有效規(guī)避損失，同時(shí)獲取更大利潤；

3)引入負(fù)反饋調(diào)節(jié)參數(shù)n并設(shè)置反饋迭代周期為1，可以有效地改善或消除系統(tǒng)混沌狀態(tài)，通過制造商和各回收商彼此合作，有益于對供應(yīng)鏈閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)管理，使得混沌系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。