屠一鳴，劉進(jìn)軍，劉 增，薛丹紅

（西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，西安 710049）

隨著數(shù)字控制處理器的快速發(fā)展，目前電力電子變流器的控制系統(tǒng)普遍采用快速且更高效的數(shù)字控制方法。不同于模擬控制器，數(shù)字控制器由于采用離散實(shí)現(xiàn)方式，因此將不可避免地給控制系統(tǒng)引入延時(shí)環(huán)節(jié)，這包括采樣延時(shí)、計(jì)算延時(shí)和PWM延時(shí)等[1，2]。工程上通常選擇1.5倍的采樣周期作為延時(shí)的大小，即采用e-1.5Ts對(duì)延時(shí)環(huán)節(jié)進(jìn)行表征。而在模型計(jì)算以及設(shè)計(jì)上，通常采用其1階帕德近似形式進(jìn)行簡(jiǎn)化分析[3]。

數(shù)字控制延時(shí)會(huì)在變換器的控制環(huán)路中引入相位滯后作用[4]，這會(huì)降低控制環(huán)路的相位裕度和帶寬，從而抑制控制系統(tǒng)的性能[5]。為了減小延時(shí)造成的影響，提高系統(tǒng)的控制性能，有學(xué)者提出了降低延時(shí)的方案。最直接的方法是采用非對(duì)稱調(diào)制方法，即每個(gè)載波周期采樣2次，這種方法可以將延時(shí)減小至0.75Ts[6]。另外，隨著微處理器單元運(yùn)算性能的提高，采樣及控制算法運(yùn)算所耗時(shí)間得以大幅減小。鑒于此，有研究提出了一種通過在每個(gè)采樣周期內(nèi)將采樣時(shí)刻后移，從而減小處理器計(jì)算時(shí)值，實(shí)現(xiàn)減小整體延時(shí)的方法[7]。

近年來，有關(guān)數(shù)字控制延時(shí)效應(yīng)的研究主要集中在對(duì)含有LCL濾波器的并網(wǎng)逆變器的穩(wěn)定性分析[8-12]。首先，文獻(xiàn)[8]建立了一個(gè)考慮延時(shí)的逆變器z-域離散小信號(hào)模型，用于預(yù)測(cè)電流控制環(huán)的穩(wěn)定性；有學(xué)者在s-域建立了連續(xù)小信號(hào)模型，并提出了一個(gè)LCL濾波器諧振頻率fres的概念，該頻率為采樣頻率 fs的 1/6，如果 fres高于（1/6） fs，則為了確保系統(tǒng)穩(wěn)定LCL諧振峰的幅值不能夠低于0 dB[9]，fres=（1/6）fs，則對(duì)于采用電容電流反饋的有源阻尼控制方法，無論控制器系數(shù)如何改變，系統(tǒng)始終保持不穩(wěn)定[10]；文獻(xiàn)[11-12]則分別針對(duì)基于逆變器測(cè)電流和基于網(wǎng)側(cè)電流反饋這兩種控制結(jié)構(gòu)下延時(shí)對(duì)LCL型并網(wǎng)逆變器穩(wěn)定性的影響進(jìn)行了分析,得出了確保系統(tǒng)穩(wěn)定的延時(shí)取值范圍。綜上，現(xiàn)有研究中對(duì)延時(shí)效應(yīng)的分析均是首先通過推導(dǎo)系統(tǒng)的控制框圖獲得控制環(huán)的環(huán)路增益，進(jìn)而通過幅值裕度 GM（gain margin）和相位裕度 PM（phase margin）、根軌跡分布或者奈奎斯特圖等方法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

盡管基于系統(tǒng)環(huán)路增益的方法能夠有效判斷并網(wǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但基于阻抗判據(jù)的方法來判斷交流系統(tǒng)穩(wěn)定性更為便捷，后者無需獲得系統(tǒng)內(nèi)部的確切信息，僅需獲得端口的阻抗即可[13]。目前，采用基于端口阻抗的方法分析并網(wǎng)逆變器穩(wěn)定性問題的研究主要集中在對(duì)LCL濾波器[14-15]、弱電網(wǎng)[16-17]、鎖相環(huán)[18-19]和直流電壓環(huán)動(dòng)態(tài)[20]等因素的分析上。其中，鎖相環(huán)動(dòng)態(tài)對(duì)逆變器αβ坐標(biāo)系[18]和dq坐標(biāo)系[19]輸出阻抗形狀的影響，以及直流電壓環(huán)動(dòng)態(tài)對(duì)逆變器dq坐標(biāo)系輸出導(dǎo)納[20]形狀所造成的改變均已得到詳細(xì)分析。然而數(shù)字控制延時(shí)作為決定系統(tǒng)穩(wěn)定與否的重要因素之一，其對(duì)逆變器輸出阻抗形狀造成的影響，例如：延時(shí)是否僅影響逆變器輸出阻抗的相頻特性，抑或會(huì)同時(shí)影響阻抗的幅頻和相頻特性；延時(shí)具體會(huì)影響阻抗的哪一頻率段等諸多問題，目前尚不清楚，亦缺乏相關(guān)研究對(duì)其詳細(xì)討論。

為了解決上述問題，本文的創(chuàng)新工作包括以下2個(gè)部分：

（1）本文首次發(fā)現(xiàn)并解釋了由數(shù)字控制延時(shí)導(dǎo)致的、在逆變器dq系輸出阻抗中存在的阻抗谷現(xiàn)象，并詳細(xì)分析了延時(shí)及電流環(huán)控制參數(shù)對(duì)阻抗谷的幅值和相位特性產(chǎn)生的具體影響。

（2）本文提出了一種從阻抗角度來分析延時(shí)效應(yīng)對(duì)并網(wǎng)逆變器系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的新思路。不同于現(xiàn)有文獻(xiàn)中僅依據(jù)系統(tǒng)環(huán)路增益的傳遞函數(shù)來進(jìn)行判斷的方法，本文所采用的方法通過觀察阻抗形狀的變化并依據(jù)阻抗穩(wěn)定判據(jù)來分析數(shù)字控制延時(shí)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

本文首先依據(jù)現(xiàn)有的單電流環(huán)控制型逆變器的輸出阻抗模型，對(duì)比了有無延時(shí)情況下的阻抗；接著提出了阻抗谷的概念，并從數(shù)學(xué)的角度采用復(fù)頻域表征的方式解釋了其來源；然后詳細(xì)討論了阻抗谷與控制參數(shù)和延時(shí)大小之間的關(guān)系；再通過dd通道阻抗匹配和廣義奈奎斯特判據(jù)分析了阻抗谷對(duì)并網(wǎng)逆變器穩(wěn)定性的影響，并通過實(shí)驗(yàn)對(duì)上述理論分析加以驗(yàn)證；最后總結(jié)了延時(shí)效應(yīng)所造成的阻抗谷對(duì)逆變器輸出阻抗和系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的規(guī)律。

1 逆變器輸出阻抗模型

為了研究延時(shí)引起的阻抗谷現(xiàn)象，首先要確定此現(xiàn)象是實(shí)際存在的。因此需要獲得逆變器阻抗的精確模型，并通過在有無延時(shí)2種情況下的dq系阻抗對(duì)比圖來判定。

1.1 系統(tǒng)描述

三相單電流控制型逆變器的單相等效拓?fù)湟约翱刂平Y(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中，逆變器的直流側(cè)由恒定電壓源Vdc與電容器C并聯(lián)供電；逆變器的交流側(cè)通過濾波電感L連接到具有L-C型阻抗的弱電網(wǎng)Vg；逆變器側(cè)輸出電流iLabc在dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下進(jìn)行控制，其中相位信號(hào)θ通過檢測(cè)公共耦合點(diǎn)PCC（point of common coupling）的電壓 vpcc進(jìn)行鎖相獲得，電流環(huán)采用傳統(tǒng)的比例積分PI（proportion integration）調(diào)節(jié)器。

1.2 dq系輸出阻抗建模

逆變器的阻抗建模過程分為2步：首先是對(duì)逆變器的主電路進(jìn)行小信號(hào)線性平均化，獲得主電路的小信號(hào)模型，如圖2所示；其次是結(jié)合主電路與控制環(huán)節(jié)獲得逆變器閉環(huán)系統(tǒng)的小信號(hào)等效框圖，如圖3所示，并依據(jù)框圖推導(dǎo)輸出阻抗模型。圖2中，由于逆變器直流側(cè)電壓恒定，因此其小信號(hào)擾動(dòng)量vdc為0，直流環(huán)的動(dòng)態(tài)不會(huì)被引入到阻抗模型中。圖3中所有傳遞函數(shù)均為2×2矩陣形式，其中Giv為開環(huán)輸出導(dǎo)納，Gid為占空比擾動(dòng)到輸出電流響應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

由圖2可得

式中：ω0為基波角頻率；Vdc為逆變器直流側(cè)電壓。

圖3中，Hi和Gdel分別為電流環(huán)PI控制器傳遞函數(shù)矩陣和延時(shí)傳遞函數(shù)矩陣，其表達(dá)式分別為

式中：kip和kii分別為電流環(huán)控制器的比例系數(shù)與積分系數(shù)；Ts為采樣周期。

進(jìn)而可以獲得逆變器的輸出阻抗為

式中，I為單位矩陣。若不考慮延時(shí)環(huán)節(jié)的影響，則輸出阻抗可簡(jiǎn)化為

本文所研究的逆變器和控制器參數(shù)如表1所示。將表中數(shù)據(jù)代入式（5）和式（6）可得在考慮與不考慮延時(shí)環(huán)節(jié)時(shí)逆變器的dq阻抗波特圖，如圖4所示。由圖4可見，當(dāng)考慮延時(shí)環(huán)節(jié)后，逆變器輸出阻抗的副對(duì)角線元素Zdq和Zqd發(fā)生變化，而在逆變器輸出阻抗的主對(duì)角線元素Zdd和Zqq高頻區(qū)域存在著明顯的幅值跌落現(xiàn)象，從幅值上看，此現(xiàn)象類似于1個(gè)波谷，故本文稱其為阻抗谷。同時(shí)相位從0°陡升至100°附近。

表1 逆變器元件及控制器參數(shù)Tab.1 Parameters of components and controller of the inverter

2 阻抗谷的來源

傳統(tǒng)對(duì)延時(shí)的研究均從系統(tǒng)的環(huán)路增益出發(fā)進(jìn)行分析，本文選擇圖3中的傳遞數(shù)的d-d通道項(xiàng)元素，從而獲得系統(tǒng)標(biāo)量形成的環(huán)路增益T，其表達(dá)式為

從延時(shí)的數(shù)學(xué)標(biāo)量表達(dá)式Gdel=e-1.5sTs來看，其幅值為1，且相位隨著頻率的增大而逐漸減小。

Gdel、G1、G2和Zdd的波特圖如圖 5 所示， 圖 5（a）中，Gdel其幅值為0 dB，相位隨著頻率升高線性衰減。Gdel、G1、G2和 Zdd的復(fù)頻域如圖 6 所示。從復(fù)頻域圖6（a）可見，延時(shí)為一個(gè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單位圓。因此當(dāng)延時(shí)函數(shù)與其他傳遞函數(shù)相乘時(shí)，僅會(huì)引起高頻相位衰減。而在逆變器輸出阻抗表達(dá)式（5）中，延時(shí)矩陣不僅與其他傳遞函數(shù)矩陣相乘，其乘積還與單位矩陣I相加。當(dāng)延時(shí)與某個(gè)常數(shù)，如單位常數(shù)1，進(jìn)行相加時(shí)，定義G1為

由式（8）可見，G1隨頻率周期變性化，且每當(dāng)1.5ωTs=π+2kπ（k=0，1，2，…）時(shí)，G1=0，其波特圖幅值無意義。如圖5（b）所示，每當(dāng)達(dá)到式（7）頻率處，G1幅值出現(xiàn)一個(gè)負(fù)尖峰，相位從-90°跳變至90°。而圖6（b）更加直觀地反映此過程，G1是一個(gè)以（1，j0）點(diǎn)為圓心、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單位圓。每當(dāng)曲線經(jīng)過原點(diǎn) P時(shí)，G1的模值為 0，相位角從-90°跳變至90°。同時(shí)，原點(diǎn)P的頻率可以計(jì)算得到，即

倘若延時(shí)Gdel與除1外的其他任意常數(shù)進(jìn)行相加，例如0.75，則定義G2為

同理，如圖 5（c）所示，G2的波特圖亦會(huì)出現(xiàn)周期性的幅值跌落現(xiàn)象，但此時(shí)相位突變程度減小，反映在圖 6（c）復(fù)頻域上，G2是以點(diǎn)（0.75，j0）為圓心的單位圓。在此單位圓軌跡上，亦存在一個(gè)位于（-0.25,j0）處的點(diǎn) P'，且每當(dāng)曲線繞過此點(diǎn)時(shí)，其模值先減小后增大，而相位發(fā)生跳變。

由圖4可知，阻抗谷現(xiàn)象僅出現(xiàn)在Zdd和Zqq同時(shí)，由于系統(tǒng)三相對(duì)稱，Zdd與Zdd相同，因此只需選擇其一進(jìn)行分析。以Zdd為例，通過推導(dǎo)可得Zdd為

Zdd的波特圖如圖5（d）所示，其在高頻區(qū)域存在著周期性的幅值跌落與相位突升現(xiàn)象，盡管這一現(xiàn)象隨著頻率的進(jìn)一步升高而逐漸衰減。而在復(fù)頻域中，如圖6（d）所示，Zdd是沿著虛軸方向循環(huán)出現(xiàn)的拱形，在每一段上總是存在著這樣一個(gè)Pn點(diǎn)。在此點(diǎn)處，曲線的模值為整段拱形中的最小值，且相位發(fā)生突升。

考慮到小信號(hào)滑動(dòng)平均建模方法的準(zhǔn)確性，阻抗模型的準(zhǔn)確度只能確保在1/2開關(guān)頻率范圍以內(nèi)。由于本文所研究的逆變器開關(guān)頻率fs為10 kHz，因此模型的準(zhǔn)確度范圍在5 kHz之內(nèi)。在圖5（d）波特圖中，僅第 1個(gè)阻抗谷有效，在圖 6（d）復(fù)頻域中僅第1段拱形是有效的。

由式（11），Zdd由2部分組成，即電感sL以及與延時(shí)相乘的第2部分。電感sL是位于虛軸上的一條直線，而第二部分則近似為圓形。 因此，復(fù)合曲線是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的拱形，如圖7（a）所示。若不考慮延時(shí)，則曲線即為一條與虛軸平行的直線，由sL向右平移獲得，其幅值最小點(diǎn)即為起始點(diǎn)P0。若考慮延時(shí)，則存在P1這樣的具有明顯幅值轉(zhuǎn)折的點(diǎn)。

3 阻抗谷的特征

從式（12）中可以發(fā)現(xiàn)，逆變器輸出阻抗Zdd與電感L、直流側(cè)電壓Vdc、電流環(huán)比例系數(shù)看 kip，積分系數(shù)kii以及延時(shí)大小Tdel均相關(guān)?？紤]到在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合中，主電路參數(shù)，例如電感及直流側(cè)電壓均保持不變，本文亦忽略這2個(gè)變量的影響，僅考慮電流環(huán)控制參數(shù)和延時(shí)大小。

由圖5（d）可以發(fā)現(xiàn)，阻抗谷現(xiàn)象位于1 kHz附近，而電流控制環(huán)中積分算子的影響集中于低頻區(qū)域，故可對(duì)式（11）進(jìn)行簡(jiǎn)化，即

圖8給出了Zdd與Zdd1的波特圖，由圖可見，積分算子kii的作用僅體現(xiàn)在12 Hz以下的頻率區(qū)域，并不會(huì)影響阻抗谷，故在分析阻抗谷特性時(shí)可將其忽略。

同時(shí)，為了對(duì)阻抗谷進(jìn)行解析分析，需對(duì)延時(shí)環(huán)節(jié)采用一階帕德近似來替代進(jìn)行簡(jiǎn)化，可得Zdd的簡(jiǎn)化表達(dá)式為

阻抗谷極值點(diǎn)處的頻率定義為ωc，可通過對(duì)阻抗的模值進(jìn)行求導(dǎo)獲得，即

由式（14）可知，極值點(diǎn)頻率ωc隨著電流環(huán)比例系數(shù)kip的增大而增大，而隨著延時(shí)Tdel的增大而減小。 圖9展示了Zdd在3組kip（0.05、0.10和0.15）下的波特圖。由圖9可見，隨著kip的增大，阻抗谷處的幅值下降更深，形狀更為尖銳且相位突升更加嚴(yán)重，同時(shí)極值點(diǎn)頻率ωc逐漸增大。圖9中阻抗谷隨著kip增大變得更嚴(yán)重的現(xiàn)象可以通過圖10所示的復(fù)頻域圖更直觀地進(jìn)行解釋。隨著kip的增大可以發(fā)現(xiàn)，式（11）中的第2部分即延時(shí)所構(gòu)成的圓的半徑將增大。隨著半徑的增大，每條阻抗曲線上的模值最小點(diǎn)P1、P2和P3離原點(diǎn)的距離逐漸變小，因而反映在波特圖中即為阻抗谷變得更深。此外，由于此轉(zhuǎn)折點(diǎn)離原點(diǎn)近，因此當(dāng)曲線繞過此點(diǎn)時(shí)，從第一象限進(jìn)入到第二象限所需過渡的頻率范圍將大幅減小，使得相位突升現(xiàn)象變得更加嚴(yán)重。

圖11為 Zdd在 Tdel=120、150 和 180 μs 情況下的波特圖。隨著Tdel的增大，同樣阻抗谷的幅值也逐漸變得更深、且相位突升變得更加嚴(yán)重，但此時(shí)阻抗谷的極值點(diǎn)頻率ωc將逐減小。延時(shí)大小的改變導(dǎo)致阻抗谷發(fā)生的變化亦可用復(fù)頻域圖來進(jìn)行解釋，如圖12所示。隨著延時(shí)數(shù)值的增大延時(shí)所構(gòu)成的圓的旋轉(zhuǎn)角速度增大，導(dǎo)致在合成阻抗時(shí)隨著頻率的增加，可能會(huì)出現(xiàn)sL的增大幅度小于延時(shí)圓的減小幅度的情況，因而曲線逐漸下移。同時(shí)，由于延時(shí)圓的旋轉(zhuǎn)角速度加快每個(gè)拱形的周期將會(huì)變短，并且最小幅值點(diǎn)會(huì)在更低頻率處出現(xiàn)。

4 穩(wěn)定性分析

基于dq系阻抗來判斷三相并網(wǎng)逆變器系統(tǒng)是否穩(wěn)定的充分必要條件是廣義奈奎斯特判據(jù)GNC（generalized Nyquist criterion）。此判據(jù)需首先獲得逆變器側(cè)與網(wǎng)側(cè)阻抗的回率矩陣的特征值，進(jìn)而依據(jù)特征值的奈奎斯特曲線是否圍繞（-1，j0）點(diǎn)來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。然而，對(duì)于高功率因數(shù)或者單位功率因數(shù)系統(tǒng)，有研究稱僅通過d-d通道阻抗即可判斷阻抗匹配情況，且該方法能夠大幅簡(jiǎn)化分析過程[15]。本文所研究的逆變器與L-C型電網(wǎng)的d-d通道阻抗匹配情況如圖13所示。隨著kip由0.05增大至0.15逆變器阻抗谷的幅值變得更深，且與電網(wǎng)阻抗Zgdd的相角裕度由25°減小到-45°左右。其中，當(dāng)kip=0.1時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。圖14展示了回率矩陣特征值的Nyquist圖，其穩(wěn)定性判定結(jié)果與采用d-d通道阻抗判據(jù)一致。

同理，當(dāng)延時(shí)Tdel改變時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性亦可采用這2種方法進(jìn)行判斷，在這種情況下逆變器與電網(wǎng)的d-d通道阻抗匹配情況如圖15所示。隨著Tdel由120 μs增大至180 μs，逆變器阻抗谷變得更深，與電網(wǎng)阻抗Zgdd的相角裕度由55°減小到-40°，系統(tǒng)在Tdel=150 μs時(shí)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。值得注意的是，當(dāng)Tdel=180 μs時(shí)逆變器與電網(wǎng)阻抗相交的頻率反而低于Tdel=150 μs的二者相交頻率，這正體現(xiàn)了阻抗谷隨延時(shí)增大極值點(diǎn)頻率減小的特性。

在延時(shí)變化情況下采用GNC分析的結(jié)果如圖16所示。當(dāng)Tdel=150 μs時(shí)，奈奎斯特曲線穿過（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng) Tdel減小至 120 μs ，系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定，曲線不繞過（-1，j0）點(diǎn)；而當(dāng) Tdel增大至180 μs 時(shí)，系統(tǒng)失穩(wěn)。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證環(huán)節(jié)需先后測(cè)試電流環(huán)比例增益kip及延時(shí)Tdel改變情況下的波形。實(shí)驗(yàn)所采用的參數(shù)如表1所示，驗(yàn)證步驟與前述模型分析相同。首先保持延時(shí) Tdel恒定為150 μs，當(dāng)改變kip時(shí)，測(cè)量出的波形如圖17所示。當(dāng)kip=0.05時(shí)，PCC點(diǎn)電壓及電感電流均穩(wěn)定。當(dāng)kip增加至0.10時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，所測(cè)波形出現(xiàn)較小幅值的振蕩。而當(dāng)kip繼續(xù)增加至0.15時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)嚴(yán)重振蕩波形，這一結(jié)果與圖13和圖14中的結(jié)果吻合。

在圖17（b）穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，當(dāng)改變延時(shí)Tdel大小時(shí)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果如圖18示。當(dāng)Tdel減小到120 μs時(shí)，系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定，從測(cè)量波形可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)控制效果更佳；而當(dāng)Tdel增加到180 μs時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生嚴(yán)重振蕩，即將出現(xiàn)發(fā)散性振蕩，圖18（b）截取了即將發(fā)生發(fā)散振蕩的波形，這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果與圖15和圖16相吻合。

6 結(jié)語

本文發(fā)現(xiàn)并解釋了因數(shù)字控制延時(shí)導(dǎo)致的在單電流環(huán)型逆變器輸出阻抗中存在的阻抗谷的現(xiàn)象，并從阻抗判據(jù)的角度分析了延時(shí)對(duì)單電流控制型并網(wǎng)逆變器穩(wěn)定性的具體影響。文章采用數(shù)學(xué)方法從理論上解釋了阻抗谷的來源，進(jìn)而又分析了該阻抗谷隨參數(shù)變化的規(guī)律及對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。由于延時(shí)在頻域中呈周期性變化，使得逆變器輸出阻抗Zdd和Zqq在其高頻范圍處產(chǎn)生幅值跌落及相位突升的現(xiàn)象，故其稱為阻抗谷。隨著電流環(huán)比例增益kip和延時(shí)Tdel的增大，阻抗谷的幅值跌落及相位突升將愈加嚴(yán)重，使得逆變器阻抗與電網(wǎng)阻抗兩者發(fā)生不匹配，進(jìn)而導(dǎo)致并網(wǎng)系統(tǒng)產(chǎn)生高頻振蕩的不穩(wěn)定現(xiàn)象。