何文熙

分類列舉法

假如有人問你會(huì)不會(huì)數(shù)數(shù)，你一定會(huì)說：“這還用問嗎？誰不會(huì)數(shù)數(shù)哇！”其實(shí)，數(shù)數(shù)也不是一件簡(jiǎn)單的事。比如：

數(shù)一數(shù)圖1有多少個(gè)三角形。

圖中三角形的形狀、大小都不相同，位置很凌亂，如果不按順序有規(guī)律地?cái)?shù)，很容易遺漏或重復(fù)。

此時(shí)，你可以按圖形的組成規(guī)律，把三角形分成單個(gè)的、由兩部分組成的、由三部分組成的……幾類，然后再按照組成部分的多少一類一類地?cái)?shù)。為了便于觀察，還可以給各部分編上號(hào)。（如圖2）

這樣，就可以把每個(gè)三角形都簡(jiǎn)明地表示出來。于是可以得到的三角形有：1、2、3、5、6、8共6個(gè);由兩部分組成的三角形有：1-2、2-6、4-6、5-7，共4個(gè);由三部分組成的三角形有：5-7-8，1個(gè);由四部分組成的三角形有：1-3-4-5，2-6-7-8，2個(gè);由八部分組成的三角形有1個(gè)。

所以一共有三角形：

6+4+1+2+1=14（個(gè)）。

這種方法就叫作“分類列舉法”。

“分類列舉法”注意事項(xiàng)：

①合理分類，不能遺漏。

②列舉要有順序性，要清楚明白。

列表法

還有一類問題，需要計(jì)數(shù)的不是具體的事、物或圖形，而是某種情況可能出現(xiàn)的次數(shù)。如：把10個(gè)橙子放在4個(gè)盤子里，每盤至少放1個(gè)，共有多少種不同的放法？

看到這個(gè)問題，相信你的第一想法一定是：只要4個(gè)自然數(shù)的和等于10，這組數(shù)就代表一種放法。可這樣的數(shù)不止一組，怎樣才能找全呢？

此時(shí)，你必須找到一種思考的順序和規(guī)律，才能使數(shù)數(shù)的過程有頭有尾，不重不漏。比如可以按照先少放后多放的原則，從第一個(gè)盤子放1個(gè)橙子開始，接下去使后面盤子里的橙子數(shù)盡量少，但又不少于前面盤子里的橙子數(shù)。然后依次增加前面盤子里橙子數(shù)。直到第一個(gè)盤子里的橙子數(shù)無法再增加為止……

把這個(gè)思考過程列成一個(gè)表，每一格代表一個(gè)盤子，每列4個(gè)數(shù)代表一種放法，很快就能求出全部答案。

從表中看出共有9種不同的放法。

這種方法叫作“列表法”。

圖解法

有時(shí)遇到的問題可能是由幾個(gè)相互連接的階段組成的，而每個(gè)階段又有幾種不同的選擇，情況就更復(fù)雜了。

一小學(xué)高年級(jí)有4個(gè)班，中年級(jí)有3個(gè)班，低年級(jí)有2個(gè)班。如果每天上美術(shù)課的只能是高、中、低年級(jí)的各一個(gè)班，那么每天上美術(shù)課的班級(jí)組成情況可以做到多少天不重復(fù)？

看完題目，是不是不知該從哪里著手？此時(shí)可以這樣做：

①用A、B、C、D代表高年級(jí)的4個(gè)班，用a、b、c代表中年級(jí)的3個(gè)班，用1、2代表低年級(jí)的2個(gè)班。

②確定從高年級(jí)中任意選出一個(gè)班以后，相應(yīng)的中年級(jí)有3種不同的選擇，而對(duì)于中年級(jí)的任意一個(gè)班，低年級(jí)又有2種不同的選擇。

③畫示意圖，把思考過程清楚地表示出來。

于是得到4×3×2=24種不同的班級(jí)組成情況。

這種方法叫作“圖解法”。

現(xiàn)在，你會(huì)數(shù)數(shù)了嗎？