陳雪飛 莊治新

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的靈活性和選擇性。然而《標(biāo)準(zhǔn)》在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)上僅規(guī)定了學(xué)生在相應(yīng)學(xué)段應(yīng)該達(dá)到的基本水平，并沒有規(guī)定內(nèi)容的呈現(xiàn)順序和形式，教材可以有多種編排方式。蘇教版教材采用螺旋上升的編排方式，同一個(gè)數(shù)學(xué)概念的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，會(huì)根據(jù)難易程度安排在不同的單元、不同的年級(jí)，雖然在一定程度上降低了學(xué)習(xí)難度，但經(jīng)常會(huì)出于學(xué)習(xí)間隔長(zhǎng)、知識(shí)點(diǎn)零散等原因，造成學(xué)生只見樹木不見森林的學(xué)習(xí)困惑，不利于知識(shí)體系的形成。

“三角形”的相關(guān)知識(shí)主要安排在四年級(jí)下冊(cè)，但作為特殊三角形的物化形態(tài)——三角尺，又會(huì)在之前的學(xué)習(xí)中不停地被使用到：量直角、判斷角、畫垂線、畫平行線等。三角尺為什么這么有用？這是學(xué)生感到困惑的地方，而要解決這個(gè)問題，就需要涉及諸多三角形的知識(shí)。我們梳理相關(guān)三角形知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)行重新組合、編排，通過任務(wù)驅(qū)動(dòng)“三角尺上有怎樣的秘密”，引發(fā)學(xué)生對(duì)三角尺深入探究的需求。

一、知識(shí)梳理：依托三角尺，建構(gòu)三角形知識(shí)體系

1.從教材出發(fā)，確定研究的維度

作為特殊的三角形，三角尺具備三角形的所有特征，通過對(duì)三角尺的研究，可以幫助學(xué)生初步建構(gòu)一般三角形相關(guān)知識(shí)的框架體系。在對(duì)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材各冊(cè)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)的分析與梳理后，我們歸納了與此有關(guān)的知識(shí)如下：

[已有知識(shí) 教學(xué)內(nèi)容 后續(xù)探究 認(rèn)識(shí)圖形（一年級(jí)上冊(cè)）

長(zhǎng)方形和正方形面積的計(jì)算（三年級(jí)下冊(cè)）

長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)（三年級(jí)上冊(cè)）

角的認(rèn)識(shí)和分類（四年級(jí)上冊(cè)） 三角形的認(rèn)識(shí)

三角形的三邊關(guān)系

三角形的內(nèi)角和

三角形的分類（按角分）

三角形的分類（按邊分）

三角形的面積計(jì)算（五年級(jí)上冊(cè)） 認(rèn)識(shí)平行四邊形

平行四邊形面積的計(jì)算

認(rèn)識(shí)梯形和等腰梯形

梯形的面積的計(jì)算

不規(guī)則圖形的面積計(jì)算 ]

通過對(duì)以上內(nèi)容的分析，不難發(fā)現(xiàn)，三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)主要是圍繞“邊、角、面”三個(gè)基本要素展開。把這些知識(shí)進(jìn)行分類，可以歸納出以下三個(gè)研究維度：

維度一：邊，包括三角形的三邊關(guān)系，三角形的分類（按邊分）。

維度二：角，包括三角形的內(nèi)角和，三角形的分類（按角分）。

維度三：面，包括三角形的面積計(jì)算。

這三個(gè)研究維度的確立是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)：學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了線段、角、面積的相關(guān)知識(shí)，這些為三角形的研究提供了基礎(chǔ);同時(shí)也符合學(xué)生的認(rèn)知水平：借助直觀的學(xué)具，將抽象知識(shí)具體化，為思維的生長(zhǎng)提供落腳點(diǎn)。在對(duì)任務(wù)驅(qū)動(dòng)問題“你覺得可以從哪幾個(gè)角度去研究”的分解中，學(xué)生會(huì)主動(dòng)將研究的視角落到這三個(gè)維度，并細(xì)化出三個(gè)小任務(wù)：角有什么特征、邊有什么特征、面有什么特征。

2.從三角尺出發(fā)，確定研究的界限

從邊、角和面三個(gè)維度來看，三角尺具備三角形的所有特征，但僅通過三角尺又無法全面了解三角形的特征。在特殊與一般之間，需要尋找適合的切入點(diǎn)，才能有效溝通三角形與三角尺之間的緊密聯(lián)系。為了便于研究，我們把等腰三角尺命名為三角尺1、斜三角尺命名為三角尺2，從三個(gè)維度分析三角尺的特征，并確定可以研究的點(diǎn)包括：

[邊的秘密 1.某兩邊之間存在著倍數(shù)關(guān)系，其中三角尺1是等腰三角形。

2.三角尺兩條短邊的和大于斜邊。 角的秘密 1.都是直角三角形，都有一個(gè)直角和兩個(gè)銳角。

2.兩個(gè)銳角的和是90°。

3.三個(gè)角的和是180°。

4.三個(gè)角之間存在著倍數(shù)關(guān)系。 面的秘密 1.三角尺1是正方形的一半。

2.三角尺2是正三角形的一半。（滲透等邊三角形） ]

這些“秘密”既有特殊三角形的個(gè)性特征，又體現(xiàn)出一般三角形的共性特征。通過對(duì)三角尺秘密的探究，可以讓學(xué)生相對(duì)全面了解三角形的特征。通過對(duì)三角尺的研究，可以在統(tǒng)整三角形知識(shí)的過程中感悟研究的方法，同時(shí)掌握三角形的一般特征。單元統(tǒng)整并非要覆蓋書上所有知識(shí)點(diǎn)，也并非要學(xué)生掌握非常具體的知識(shí)點(diǎn)，而是通過統(tǒng)整形成對(duì)概念的整體認(rèn)知，并獲得探究知識(shí)的方法。

二、任務(wù)驅(qū)動(dòng)：玩轉(zhuǎn)三角尺，理解三角形知識(shí)內(nèi)涵

1.設(shè)計(jì)任務(wù)活動(dòng)，串聯(lián)知識(shí)結(jié)構(gòu)

在研究三角尺的秘密時(shí)，由于涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多，因此需要通過設(shè)計(jì)相應(yīng)的任務(wù)來串起相關(guān)的知識(shí)。

任務(wù)活動(dòng)一：三角尺為什么設(shè)計(jì)成現(xiàn)在這種形狀？（邊、角、面的特征）;最終成果：形成三角尺產(chǎn)生的推測(cè)報(bào)告。

任務(wù)活動(dòng)二：你能用一副三角尺拼出不同的角嗎？（角的實(shí)際應(yīng)用）;最終成果：利用三角尺畫出多個(gè)角。

任務(wù)活動(dòng)三：你能用一副三角尺把圓平均分嗎？（與曲線圖形之間的聯(lián)系）;最終成果：利用三角尺在圓上平均分成若干份。

三個(gè)任務(wù)活動(dòng)的完成，需要圍繞三角形的特征及應(yīng)用展開，通過探究，有效溝通邊、角、面的關(guān)系，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角尺上的角的倍數(shù)關(guān)系，與正多邊形、圓形的關(guān)系，在完成任務(wù)的過程中，培養(yǎng)思維能力，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

2.設(shè)計(jì)任務(wù)活動(dòng)，打通知識(shí)的邊界

三角尺的知識(shí)并非僅僅與三角形的知識(shí)有關(guān)，通過不同的活動(dòng)設(shè)計(jì)，可以溝通不同的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生在活動(dòng)中感悟知識(shí)與知識(shí)的聯(lián)系。

任務(wù)活動(dòng)一：用兩個(gè)相同的三角尺拼一拼，你能拼出什么形狀？有什么發(fā)現(xiàn)？如果用四個(gè)相同的三角尺拼一拼，又能拼出什么圖形？有什么發(fā)現(xiàn)？

任務(wù)活動(dòng)二：沿著三角尺的一條直角邊旋轉(zhuǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？如果沿著三角尺的斜邊旋轉(zhuǎn)，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

兩個(gè)任務(wù)活動(dòng)的目的是希望學(xué)生打破思維的常規(guī)，從多個(gè)角度去研究圖形：拼一拼的任務(wù)活動(dòng)，可以溝通三角形與正三角形、正四邊形的聯(lián)系，并探究出三角形面積的計(jì)算方法，甚至可以對(duì)話“勾股定理”;轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)的任務(wù)活動(dòng)，可以直觀溝通“面”和“體”的聯(lián)系，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)三角形與圓錐之間的關(guān)系。

蘇霍姆林斯基說過：“只有當(dāng)一個(gè)人看見樹林是一個(gè)統(tǒng)一的整體時(shí)，他才能對(duì)每一棵樹形成較完整的表象?！毖芯咳浅叩倪^程，就是學(xué)習(xí)三角形的過程。把三角尺作為統(tǒng)整三角形知識(shí)的工具，用“尋找秘密”的主任務(wù)去驅(qū)動(dòng)學(xué)生投入學(xué)習(xí)，通過梳理知識(shí)、分解任務(wù)，在對(duì)三角尺的探究中，讓學(xué)生從多個(gè)視角去認(rèn)識(shí)、理解三角形的相關(guān)概念，建立起三角形的整個(gè)概念體系，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)坊前實(shí)驗(yàn)小學(xué)）