王思聰，商紅軍，郭宏偉，劉榮強(qiáng)，史 創(chuàng)*

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150001； 2. 中國(guó)空間技術(shù)研究院總體部，北京100094)

1 引言

空間薄壁式自展開(kāi)伸展臂由于其輕質(zhì)、高收納比、自展開(kāi)等特性，廣泛應(yīng)用于航天多個(gè)領(lǐng)域，例如Hubble 望遠(yuǎn)鏡太陽(yáng)翼支撐桿、國(guó)際空間站太陽(yáng)翼支撐桿、NanoSail-D 太陽(yáng)帆伸展臂、Apollo-15伸展臂等[1-3]。 由于該種伸展臂具有大尺度、大變形、柔性等特征，必須對(duì)其卷繞過(guò)程的力學(xué)特性進(jìn)行分析。

Ross 等[4]通過(guò)多體動(dòng)力學(xué)軟件繪制了圓管開(kāi)口式伸展臂卷繞位移、卷繞扭矩與時(shí)間的關(guān)系曲線并進(jìn)行了分析。 楚中毅等[5]對(duì)透鏡式纏繞肋展開(kāi)態(tài)及展開(kāi)過(guò)程力學(xué)特性進(jìn)行了解析計(jì)算，并對(duì)纏繞肋及釋放機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化。 張展智等[6]對(duì)圓管開(kāi)口式伸展臂卷繞方式進(jìn)行了研究，對(duì)過(guò)渡段曲率進(jìn)行了擬合，通過(guò)ABAQUS 軟件分析了不同卷繞方式、不緊密卷繞、摩擦因數(shù)等因素對(duì)伸展臂自由展開(kāi)過(guò)程的影響。 陳務(wù)軍等[7-10]通過(guò)ABAQUS 軟件對(duì)透鏡式纏繞肋展平卷繞過(guò)程中應(yīng)力應(yīng)變進(jìn)行了計(jì)算分析，總結(jié)出各參數(shù)變化對(duì)纏繞肋力學(xué)特性的影響規(guī)律，并通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

上述研究對(duì)透鏡式結(jié)構(gòu)展收過(guò)程有較多分析，但較少涉及薄壁圓管開(kāi)口式結(jié)構(gòu)，尤其對(duì)該種結(jié)構(gòu)在卷繞過(guò)程中應(yīng)變能、驅(qū)動(dòng)力矩、應(yīng)力分布的研究甚少。 另外，由于卷繞過(guò)程中應(yīng)變能、驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)伸展臂尺寸參數(shù)變化的敏感程度對(duì)伸展臂的設(shè)計(jì)有著重要影響，且過(guò)高的應(yīng)變能易導(dǎo)致材料的失效，因此分析伸展臂尺寸參數(shù)的變化規(guī)律顯得尤為重要。

本文基于由各項(xiàng)同性材料制成的薄壁圓管開(kāi)口式伸展臂，假設(shè)材料在變形過(guò)程中為彈性體，通過(guò)推導(dǎo)薄壁圓管開(kāi)口式伸展臂總應(yīng)變能、驅(qū)動(dòng)力矩公式，在ABAQUS 中建立有限元模型，分析伸展臂卷繞過(guò)程中總應(yīng)變能、驅(qū)動(dòng)力矩的變化規(guī)律，研究總應(yīng)變能、驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)伸展臂各項(xiàng)尺寸參數(shù)變化的敏感程度。 同時(shí)根據(jù)第四強(qiáng)度理論分析伸展臂最大Von Mises 等效應(yīng)力點(diǎn)的位置及其在卷繞過(guò)程中的變化規(guī)律，提出對(duì)伸展臂設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)性意義的結(jié)論。

2 薄壁圓管開(kāi)口式伸展臂卷繞機(jī)理

伸展臂收攏過(guò)程如圖1 所示，收攏過(guò)程中每段微元依次經(jīng)歷3 個(gè)變形階段：①當(dāng)遠(yuǎn)離卷軸時(shí)微元處于自由狀態(tài)階段(自由段)；②隨著卷軸的卷繞運(yùn)動(dòng)，微元進(jìn)入過(guò)渡段后曲率逐漸減小直至完全展平，此過(guò)程中微元的展平過(guò)程作為純彎曲變形處理，過(guò)渡段各部分橫截面均看做標(biāo)準(zhǔn)圓?。虎郛?dāng)微元完全展平后隨即向卷軸卷繞(卷繞段)，卷繞過(guò)程中卷軸中心與伸展臂自由狀態(tài)下的形心分別位于伸展臂殼體兩側(cè)(反向卷繞)。

圖1 伸展臂收攏過(guò)程微元變形Fig. 1 Element deformation during boom coiling process

3 伸展臂收攏過(guò)程應(yīng)變能分析

3.1 伸展臂收攏過(guò)程應(yīng)變能解析分析

根據(jù)第2 節(jié)中的假設(shè)，伸展臂微元在收攏過(guò)程中各處變形為純彎曲，且變形過(guò)程中截面微元始終為標(biāo)準(zhǔn)圓弧。 根據(jù)材料力學(xué)相關(guān)理論，彎曲應(yīng)變能Ei為式(1)(參變量如圖2 所示)：

圖2 彎曲應(yīng)變能計(jì)算微元Fig.2 Calculation element of bending strain energy

伸展臂總應(yīng)變能Es為收攏段應(yīng)變能Ew與過(guò)渡段應(yīng)變能Et之和。 因收攏過(guò)程可拆分為展平過(guò)程與卷繞過(guò)程且二者之間影響很小，因此收攏段應(yīng)變能Ew為展平應(yīng)變能Ef與卷繞應(yīng)變能Eb之和。 因此總應(yīng)變能Es為式(2)：

伸展臂橫截面幾何參數(shù)如圖3 所示，圖中Izz為橫截面微元展平慣性矩沿卷繞長(zhǎng)度的積分，如式(3)所示。

圖3 伸展臂橫截面尺寸參數(shù)Fig.3 Cross-section parameters of boom

式中x 為展平過(guò)程中性面長(zhǎng)度，如式(5)。 l1為已卷繞部分長(zhǎng)度，l 為伸展臂總長(zhǎng)度。

伸展臂卷繞過(guò)程縱截面參數(shù)如圖4 所示，卷繞后伸展臂中性面近似為阿基米德螺旋線。

圖4 伸展臂縱截面尺寸參數(shù)Fig.4 Longitudinal-section parameters of boom

已卷繞長(zhǎng)度l1為式(7)：

因此根據(jù)式(1)伸展臂卷繞l1長(zhǎng)度時(shí)，其卷繞應(yīng)變能Eb為式(8)：

其中，卷繞過(guò)程彎曲截面慣性矩Iz為式(9)：

因過(guò)渡段伸展臂曲率變化復(fù)雜，因此過(guò)渡段應(yīng)變能Et通過(guò)有限元仿真方法求出。

綜上，根據(jù)(2)式，伸展臂卷繞l1長(zhǎng)度時(shí)總應(yīng)變能Es為式(10)：

由上述關(guān)系并取表1 中參數(shù)，通過(guò)MATLAB編程計(jì)算，可得到已卷繞長(zhǎng)度l1從0 變化至2 m過(guò)程中總應(yīng)變能Es隨l1變化過(guò)程的計(jì)算結(jié)果。

表1 伸展臂參數(shù)Table 1 Boom parameters

3.2 伸展臂收攏過(guò)程應(yīng)變能仿真分析

基于ABAQUS 有限元軟件建模對(duì)應(yīng)變能解析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。 根據(jù)文獻(xiàn)[7]，伸展臂宜采用S4R 殼單元進(jìn)行計(jì)算。 桿壁采用各向同性材料(材料屬性來(lái)自高強(qiáng)度合金鋼：彈性模量E ＝70 GPa，泊松比ν＝0.3，厚度t ＝0.8 mm)，摩擦因數(shù)μ＝0.15；取卷軸為離散剛體材料。 綜合考慮計(jì)算量、收斂性等方面要求，伸展臂及卷軸均采用四邊形網(wǎng)格，網(wǎng)格大小為30 mm；模型中桿壁自身的接觸定義為通用接觸，其它接觸均定義為面-面接觸以提高計(jì)算精度。 取表1 中尺寸參數(shù)在ABAQUS 軟件中建立有限元模型如圖5 所示。 伸展臂展平及卷繞過(guò)程分為3 步(圖6)：①在伸展臂端部開(kāi)口處向兩側(cè)分別施加大小相同的載荷，使伸展臂端部逐漸展開(kāi)；②在端部施加垂直于殼表面的載荷P，使伸展臂端部壓緊在卷軸上，并將端部固定于卷軸；③釋放前兩步中施加的載荷，同時(shí)施加角位移使卷軸滾動(dòng)，伸展臂逐漸展平并卷繞在卷軸上。 因伸展臂展收速度較慢，根據(jù)文獻(xiàn)[8]可將其運(yùn)動(dòng)過(guò)程視為準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程，應(yīng)用靜力法分析計(jì)算。

圖5 伸展臂有限元模型Fig.5 Finite element model of boom

圖6 伸展臂有限元模型卷繞過(guò)程Fig.6 Coiling process of boom finite element model

通過(guò)對(duì)ABAQUS 有限元模型進(jìn)行分析得到伸展臂過(guò)渡段應(yīng)變能Et＝84.75 J，總應(yīng)變能Es隨收攏長(zhǎng)度l1的變化趨勢(shì)與3.1 節(jié)MATLAB 計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖7 所示，偽應(yīng)變能、摩擦耗能如對(duì)比圖8 所示。

圖7 伸展臂收攏過(guò)程總應(yīng)變能Fig.7 Total strain energy of boom during coiling

由圖7 可知，伸展臂收攏過(guò)程中總應(yīng)變能線性增大。 通過(guò)對(duì)比兩條曲線可知，計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果吻合的較好。 由圖8 可知，收攏過(guò)程中摩擦耗能逐圈增大，偽應(yīng)變能線性增大，但二者均保持在總應(yīng)變能的1%以內(nèi)，因此對(duì)整體模型計(jì)算的影響可忽略。

圖8 伸展臂收攏過(guò)程偽應(yīng)變能、摩擦耗能Fig.8 Pseudo strain energy and friction energy consumption in the process of boom coiling

3.3 伸展臂收攏過(guò)程應(yīng)變能參數(shù)分析

因過(guò)渡段應(yīng)變能Et在總應(yīng)變能Es中所占比例不大且?guī)缀鹾愣?，此處僅研究收攏段應(yīng)變能Ew隨參數(shù)的變化規(guī)律。 取尺寸參數(shù)t(伸展臂厚度)、θ1(半開(kāi)口角度)、R(卷軸外半徑)及r(伸展臂外半徑)，在表1 所列數(shù)值中上下各浮動(dòng)50%，通過(guò)MATLAB 程序進(jìn)一步分析各尺寸參數(shù)改變對(duì)收攏段應(yīng)變能Ew的影響程度。 圖9 所示為收攏段應(yīng)變能Ew隨參數(shù)t、θ1的變化關(guān)系，收攏段應(yīng)變能Ew隨參數(shù)r、R 的變化關(guān)系如圖10 所示。

圖9 伸展臂參數(shù)t、θ1 與收攏段應(yīng)變能關(guān)系Fig.9 Relationship between boom parameters t， θ1 and the strain energy during coiling

由圖9 可知，收攏段應(yīng)變能Ew隨伸展臂厚度t 的增大而增大，在同樣浮動(dòng)50%的情況下，t 的改變對(duì)總應(yīng)變能影響最為明顯，而θ1的改變影響最微小。

圖10 伸展臂參數(shù)r、R 與收攏段應(yīng)變能關(guān)系Fig.10 Relationship between boom parameters r，Rand strain energy during coiling

由圖10 可知，收攏段應(yīng)變能Ew隨卷軸外半徑R 的增大而減小(因曲率半徑減小)，影響程度較為明顯。 伸展臂外半徑r 的影響規(guī)律較為復(fù)雜：當(dāng)R 較小時(shí)收攏段應(yīng)變能Ew隨r 的增大而非線性增大，當(dāng)R 較大時(shí)收攏段應(yīng)變能Ew隨r 的增大而非線性減小，當(dāng)R 位于中間部分時(shí)收攏段應(yīng)變能Ew在80 mm 附近出現(xiàn)了極小值。 這是由于r 的增大一方面減小了伸展臂展平過(guò)程的初始曲率，另一方面卻增大了伸展臂橫截面的周長(zhǎng)，二者綜合作用的結(jié)果。

4 伸展臂展開(kāi)驅(qū)動(dòng)力矩分析

由于伸展臂收攏過(guò)程中摩擦耗能很小(圖8)，故可認(rèn)為收攏過(guò)程中的阻力矩等于展開(kāi)過(guò)程中的驅(qū)動(dòng)力矩。

4.1 伸展臂展開(kāi)驅(qū)動(dòng)力矩計(jì)算分析

在伸展臂展開(kāi)過(guò)程中，截面微元由卷繞狀態(tài)至完全展平、由完全展平至自由狀態(tài)的2 個(gè)過(guò)程依次獨(dú)立發(fā)生，相互作用很小，同時(shí)展開(kāi)驅(qū)動(dòng)力矩主要有前一過(guò)程提供，因此忽略后一過(guò)程的影響。 當(dāng)伸展臂收攏至a1角時(shí)，伸展臂阻力矩M 為式(11)：

取表1 中參數(shù)，通過(guò)MATLAB 編程計(jì)算，得到已卷繞長(zhǎng)度l1從0 變化至2 m 過(guò)程中阻力矩M隨l1變化過(guò)程的計(jì)算結(jié)果，如圖11 所示。

由圖11 可知，阻力矩M 隨著卷繞長(zhǎng)度的增大而線性地減小，這是由于隨著卷繞長(zhǎng)度的增加卷繞半徑不斷增大，導(dǎo)致卷繞部分曲率半徑κa1不斷減小。 但該因素影響程度很不明顯，不及1%。

4.2 伸展臂展開(kāi)驅(qū)動(dòng)力矩仿真分析

圖11 伸展臂收攏過(guò)程力矩對(duì)比Fig.11 Comparison of torque during boom coiling process

通過(guò)對(duì)ABAQUS 有限元模型進(jìn)行分析得到伸展臂收攏過(guò)程中的阻力矩，如圖11 所示，阻力矩總體上隨卷繞過(guò)程的進(jìn)行而減小，但每一周內(nèi)有明顯波動(dòng)，尤其在每周起始處。 這是由于卷繞曲線并非理想中半徑均勻增大的阿基米德螺旋線，而是在每一周的起始處突然遞增，從而產(chǎn)生了阻力矩的突變。

對(duì)比圖11 中仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果，仿真值較計(jì)算值減小速率更大，這是由于仿真卷繞過(guò)程中不緊密卷繞導(dǎo)致曲率半徑增大更快，如圖12 所示，同時(shí)每周內(nèi)阻力矩的波動(dòng)也緣于此不緊密卷繞。 阻力矩仿真值較計(jì)算略大，這是由于伸展臂由完全展平至自由狀態(tài)的過(guò)程對(duì)力矩也有略微影響。

圖12 仿真過(guò)程中不緊密卷繞現(xiàn)象Fig.12 Non-tightly coiling during simulation

4.3 伸展臂展開(kāi)驅(qū)動(dòng)力矩參數(shù)分析

取尺寸參數(shù)t(伸展臂厚度)、θ1(半開(kāi)口角度)、R(卷軸外半徑)及r(伸展臂外半徑)，在表1所列數(shù)值中上下各浮動(dòng)50%，通過(guò)MATLAB 程序進(jìn)一步分析各尺寸參數(shù)改變對(duì)阻力矩的影響程度。 圖13 所示為阻力矩隨參數(shù)t、θ1的變化關(guān)系。 阻力矩隨參數(shù)r、R 的變化關(guān)系如圖14 所示。

圖13 伸展臂參數(shù)t 與驅(qū)動(dòng)力矩關(guān)系Fig.13 Relationship between parameter tand driving torque

圖14 伸展臂參數(shù)r、R 與力矩關(guān)系Fig.14 Relationship between parameters r， R and driving torque

由圖13 可知，阻力矩隨伸展臂厚度t 的增大而增大，在同樣浮動(dòng)50%的情況下，t 的改變對(duì)阻力矩影響最為明顯，而θ1的改變影響最微小。

由圖14 可知，阻力矩隨卷軸外半徑R 的增大而減小(因卷繞曲率降低)，隨伸展臂外半徑r 的增大而線性增大(因伸展臂橫截面周長(zhǎng)增加)，二者影響程度均比較明顯。

5 伸展臂收攏過(guò)程應(yīng)力分析

通過(guò)分析伸展臂卷繞過(guò)程中的應(yīng)力分布及變化規(guī)律能夠得到桿壁最易失效點(diǎn)從而指導(dǎo)設(shè)計(jì)。分析伸展臂卷繞狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)首先分析沿伸展臂縱截面方向的應(yīng)力分布。 自中心對(duì)稱面向外，在伸展臂的0、1/2、1 處依次選取內(nèi)截面、中截面、外截面，如圖15 所示。

圖15 伸展臂縱截面示意圖Fig.15 Diagram of longitudinal-section of boom

應(yīng)用第四強(qiáng)度理論，通過(guò)ABAQUS 軟件繪制伸展臂Von Mises 等效應(yīng)力云圖。 由于伸展臂過(guò)渡段及自由段應(yīng)力較低且變化均勻，因此僅從展平端開(kāi)始取1 m 范圍進(jìn)行分析，如圖16 所示。 圖中x 軸為縱截面內(nèi)沿管壁的實(shí)際尺寸位移(m)，方向?yàn)樽哉蛊蕉酥磷杂啥?，y 軸為Von Mises 等效應(yīng)力(Pa)。

圖16 伸展臂縱截面Von Mises 等效應(yīng)力分布Fig.16 Von Mises stress distribution in longitudinalsection of boom

由圖16 可知，伸展臂在由自由彎曲狀態(tài)轉(zhuǎn)化為卷繞彎曲狀態(tài)的過(guò)渡區(qū)域內(nèi)，以及在伸展臂端部附近一定區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了等效應(yīng)力突變及最大值，而在伸展臂其它區(qū)域中等效應(yīng)力變化比較平緩。 因此在伸展臂過(guò)渡區(qū)域及伸展臂端部附近易因畸變能密度過(guò)大而產(chǎn)生屈服失效。

通過(guò)觀察伸展臂轉(zhuǎn)繞過(guò)程中各處應(yīng)力值可知，伸展臂收攏過(guò)程中最大等效應(yīng)力點(diǎn)始終位于伸展臂端部。 收攏第一周內(nèi)該點(diǎn)于端部截面上(位置不固定)，收攏一周后該點(diǎn)始終位于端部橫截面中心處，如圖17 所示。

圖17 伸展臂最大Von Mises 等效應(yīng)力點(diǎn)Fig.17 Maximum Von Mises stress point in boom

根據(jù)上述分析，取卷軸分別轉(zhuǎn)動(dòng)至1 周、2 周及3 周處，伸展臂端部橫截面上各處等效應(yīng)力值并繪制曲線，如圖18 所示。 圖中橫軸為橫截面內(nèi)沿管壁實(shí)際尺寸(m)，縱軸為Von Mises 等效應(yīng)力(Pa)。

圖18 伸展臂端部等效應(yīng)力分布Fig.18 Von Mises stress distribution in boom tip

由圖18 可知，在卷繞一周后中心處的等效應(yīng)力為最大應(yīng)力點(diǎn)，并隨著卷繞的進(jìn)行不斷增高。因此該點(diǎn)為伸展臂上最易失效點(diǎn)，根據(jù)第四強(qiáng)度理論，此處易因畸變能密度過(guò)大而產(chǎn)生屈服失效。

高強(qiáng)度合金鋼許用應(yīng)力為σ＝700 MPa，圖17中應(yīng)力低于許用應(yīng)力，復(fù)合材料設(shè)計(jì)要求。 根據(jù)圖9，當(dāng)壁厚為0.9 mm 時(shí)等效應(yīng)力將大于許用應(yīng)力，因此對(duì)于該尺寸的伸展臂，其設(shè)計(jì)厚度t 應(yīng)小于0.9 mm。 另外，實(shí)際設(shè)計(jì)中應(yīng)考慮安全裕度等問(wèn)題預(yù)留出更大的安全空間。

6 結(jié)論

1)薄壁圓管開(kāi)口式伸展臂總應(yīng)變能受到伸展臂厚度t 改變的影響最明顯，半開(kāi)口角度θ1的改變影響最微小，卷軸外半徑R 的影響程度適中。 伸展臂外半徑r 對(duì)總應(yīng)變能的影響與R 有關(guān)：R 較小時(shí)r 曲線單調(diào)，R 較大時(shí)r 曲線出現(xiàn)了極小值。

2)驅(qū)動(dòng)力矩受到伸展臂厚度t 改變的的影響最為明顯，半開(kāi)口角度θ1的改變影響最微小，卷軸外半徑R 的及伸展臂外半徑r 的影響程度適中。

3)伸展臂在由自由彎曲向卷繞彎曲過(guò)渡的區(qū)域內(nèi)及展平端附近等效應(yīng)力發(fā)生了突變，因此在該區(qū)域內(nèi)易發(fā)生失效。 卷繞過(guò)程中最大等效應(yīng)力點(diǎn)始終位于伸展臂端部，收攏一周后該點(diǎn)始終位于端部橫截面中心處，其等效應(yīng)力值隨著卷繞的進(jìn)行不斷增高。 該點(diǎn)為伸展臂上最易失效點(diǎn)。

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