武士輕，王永濱*，候緒研，薛萍萍，龍 龍

(1. 北京空間機電研究所，北京100094； 2. 哈爾濱工業(yè)大學機電工程學院，哈爾濱150001)

1 引言

著陸器月面著陸沖擊特性是決定著陸任務成敗的關鍵因素，過大的著陸沖擊將直接導致內部儀器失效，進而影響后續(xù)的月面實地探測任務，特別是載人登月任務對著陸沖擊響應提出了更高的要求。 因此，量化分析著陸沖擊過程對提升著陸器的著陸可靠性、保障航天任務的實施具有十分重要的意義。

著陸器著陸過程中，足墊與月壤首先接觸，相互作用，伴隨著月壤顆粒飛濺、錯動、滑移，與著陸器緩沖機構一起吸收著陸沖擊的能量。 此過程中，足墊承受的沖擊力將直接傳遞至著陸器上，足墊侵入月壤的深度將影響著陸器的傾斜姿態(tài)。 因此足墊沖擊月壤顆粒的動力學行為對著陸器的著陸安全性及穩(wěn)定性有直接的影響。

在仿真方面，目前利用的手段集中在多體動力學、有限元、離散元仿真工具上。 曾福明[1]運用MSC 軟件對著陸器緩沖性能進行仿真分析，結合實驗驗證，其柔性多體動力學方法建立的著陸器沖擊模型與實測數(shù)據(jù)基本吻合，該結論指導了工程實現(xiàn)。 蔣萬松等[2]基于MSC 軟件的二次開發(fā)模塊，建立了考慮鋁蜂窩材料緩沖作用和月壤力學性質的動力仿真模型，研究了著陸器在不同地面坡度和月壤物理性質條件下的著陸性能，并進行了著陸沖擊離散元仿真研究，探討了著陸過程的能量耗散路徑。 陳金寶等[3]針對未來目標天體表面低重力場模擬，推導了探測器軟著陸動力學相似性關系，利用瞬態(tài)動力學仿真軟件進行了驗證。 萬峻麟等[4]針對典型月壤，利用DYTRAN 軟件開展了動力學研究，表明多級鋁蜂窩緩沖器具有較好的緩沖性能，同時指出月壤物理機械性能有待深入研究。 梁東平[5]利用ABAQUS軟件建立了月壤模型，對均布靜荷載作用下月壤的變形進行了分析。 鄒猛等[6]基于顆粒流程序PFC3D 對月壤靜力學特性進行了離散元模擬研究，描述了月面探測車輛行駛下的月壤承壓特性模型與剪切特性模型。

在理論及試驗研究方面，可以借鑒土力學對剛體沖擊土體的研究，例如基于強夯法固結理論的動力固結模型、Scott 的阻尼自由振動模型。 錢家歡等[7]考慮了加卸載過程對Scott 模型進行了改進。 郭見揚[8]將剛體與地基的接觸力變化簡化為三角形而開展了方法研究。 高有斌等[9]對加卸載過程加入應力修正系數(shù)。 牛志榮等[10]在研究土體受沖擊時，依據(jù)土體的塑性極限相對于沖擊動量和土體的剛度系數(shù)之間的比例關系，將沖擊過程進行了細分。 鐘世英[11]結合有限元及大量試驗對NASA 模型進行了改進，其模型計算結果與試驗測試結果具有一致的變化趨勢，沖擊時間的計算值與測試值相差不大。

以上研究偏重于借助仿真及試驗進行運動緩沖特性分析，仿真計算周期及成本較高，緩沖試驗離散度較大，可重復性差。 為能夠從理論層面更好地分析足墊運動特性、更快地預測實驗測試結果，指導工程應用，同時彌補仿真計算周期長的缺點，本文將細化沖擊過程，構建足墊垂直沖擊月壤的理論模型，提取足墊沖擊過程的動力學特征參數(shù)，并將仿真結果與理論計算進行對比。

2 理論模型構建

以著陸器足墊為研究對象，沖擊過程分為加載階段和卸載階段，見圖1。 根據(jù)月壤對足墊的作用列力平衡微分方程，進行求解。

圖1 典型著陸過程Fig.1 Typical landing process

將足墊簡化為球形，如圖2 所示，在沖擊過程中，足墊與月壤的接觸半徑r 不斷增大，R 為足墊球面輪廓半徑，Z 為侵入月壤深度，M 為足墊質量，F(xiàn) 為足墊所受軸向力。

圖2 足墊受力示意圖Fig.2 Force on the foot pad

足墊沖擊月壤，月壤的密實度隨之發(fā)生變化，月壤對足墊的沖擊作用也隨之發(fā)生變化，采用Bekker 模型[12]來模擬此過程，該模型是把月壤顆粒當作變剛度的彈簧。 卸載階段足墊正下方的月壤密實度相對穩(wěn)定，參考巖土力學的強夯固結理論可以建立卸載階段的微分方程。

2.1 加載階段模型

在加載階段，忽略月壤塑性及粘滯力(阻尼)對動力響應的作用，假設正方向為豎直向下，則足墊的力學方程為式(1)。

結合Bekker 提出的承壓模型，足墊所受月壤平均正應力如式(2)所示。

式中，σ 為足墊單位面積法向應力，r 為足墊沖擊接觸半徑，kc為月壤黏聚模量，一般取2.8 kN/mn＋1[13]，kφ為月面的摩擦模量，一般取820 kN/mn＋2[13]，n 為變形指數(shù)。

由式(1)、(2)得足墊的平衡方程如式(3)所示。

式中，x 為足墊運動位移。 根據(jù)初始下陷量和初始沖擊速度得到2 個初始條件如式(4)、(5)所示。

將足墊簡化為球形，如圖2 所示，在沖擊過程中足墊與月壤的接觸半徑r 與R 之間的關系如式(6)所示。

2.2 卸載階段模型

在卸載階段，即沖擊過程的第二階段，不考慮重力，此時接觸區(qū)域月壤密實度已經(jīng)接近穩(wěn)定，足墊的基本動力學方程為式(7)。

式中，C 為月壤阻尼常數(shù)，S 為卸載階段月壤彈性常數(shù)，如式(8)～(11)所示。

式中， r2為卸載階段足墊與月壤接觸面半徑，其與R、x 關系亦滿足式(6)，ρ 為月壤密度，E為月壤彈性模量，μ 為泊松比，S′為卸載階段月壤等效剛度。 依據(jù)連續(xù)性條件，加載階段結束時刻的位移、速度和加速度與卸載階段初始時刻相等。

3 離散元模型

為了驗證理論模型的正確性，結合EDEM 離散元軟件進行仿真計算，采用滾動等效法，即采用球形模型通過放大球形顆粒間的滾動摩擦系數(shù)來模擬非球形月壤顆粒的特性。 利用Hertz-Mindlin無滑動接觸模型，建立月壤的離散元模型，見圖3。 參數(shù)查閱文獻及采用模擬月壤進行實際測試，具體數(shù)據(jù)見表1[14-16]、表2[17]。 足墊材料為鋁合金。 通過初步仿真分析，一定范圍內顆粒的大小對仿真結果影響不大，因此結合計算效率，研究中將模擬月壤基本顆粒尺度定為直徑1 mm。

圖3 足墊沖擊月壤離散元模型Fig.3 Discrete element model of foot pad impacting lunar soil

表1 仿真所用材料參數(shù)[14-16]Table 1 Material parameters used in the simulation[14-16]

表2 模型間相互作用參數(shù)[17]Table 2 Interaction parameters between models[17]

結合上述參數(shù)，進行了離散元分析。 不同時刻月壤顆粒速度云圖如圖4 所示。 通過提取月壤及足墊的運動速度，可以看出足墊沖擊月壤過程集中在兩者接觸的前0.01 s。 在此過程中，足墊首先接觸正下方的月壤，使其顆粒速度增加，受擠壓的月壤顆粒以半橢圓球的影響區(qū)域向外擴展，足墊所受合力近似豎直，說明月壤的總體趨勢是被向下壓，僅在月壤表層出現(xiàn)少量顆粒飛濺，此過程與理論分析一致。

圖4 足墊沖擊月壤典型響應云圖Fig.4 Typical response cloud map of foot pad impacting lunar soil

4 計算結果分析

影響足墊與月壤相互作用的參數(shù)主要是著陸速度、足墊質量和足墊著陸傾斜角度。 本文僅研究足墊垂直沖擊月壤，因此以下針對不同的著陸速度及不同的足墊質量，分別利用理論模型及離散元仿真進行計算，提取足墊位移、軸向力等動力學信息，進行對比。

4.1 著陸速度

足墊沖擊月壤速度分別為1 m/s、2 m/s、4 m/s、6 m/s，足墊質量設定為4 kg，足墊垂直沖擊，月面坡度0°。

為了更直觀地將仿真與理論模型進行對比，提取離散元仿真中的沖擊速度所形成的月壤形貌，如圖5。

理論模型不能體現(xiàn)撞擊坑直徑變化，但是可以計算得到撞擊坑深度(侵入深度)。 足墊沖擊月壤的侵入位移曲線如圖6 所示，不同著陸速度下，足墊的動態(tài)響應曲線形態(tài)特征相似，峰值不同，說明不同著陸沖擊速度下，足墊與月壤相互作用的過程相似。

圖5 不同足墊沖擊速度形成的月壤撞擊坑形狀Fig.5 The crater shape of lunar soil formed by different impact velocities of foot pads

圖6 不同沖擊速度下足墊的位移曲線Fig.6 Displacement curve of the foot pad under different impact speeds

足墊的位移及最終侵入深度與足墊初始沖擊速度正相關，初始沖擊速度越大，撞擊坑深度越大，兩者存在正相關關系。 卸載階段足墊沖擊的深度一定程度上反映月壤的密實度，穩(wěn)定后的侵入深度一定程度上反映了月壤的變形程度，而且初始沖擊速度越大，加載階段結束得越快，沖擊持續(xù)的時間越短。

如圖7 所示，在加載階段，隨著足墊與月壤接觸，月壤受擠壓變形，月壤密實度越來越大，足墊所受軸向力迅速增大，軸向力的峰值與足墊初始沖擊速度正相關。 沖擊速度越大，軸向力剛開始的增長率越大，相應足墊速度減小且減小得越來越快。

圖7 不同著陸速度下，足墊軸向力隨時間的變化Fig.7 Changes of axial force of foot pad with time at different landing speeds

當速度降低為0 時，開始卸載階段，在卸載階段，月壤密實度不再變化，但月壤的變形較大，隨著月壤受擠壓的變形恢復，對足墊有一定的反彈，此后著陸器會產(chǎn)生小幅度的振動，振幅越來越小，趨于平衡。

為了將理論模型計算結果與離散元仿真進行比對，特將離散元仿真中撞擊坑外輪廓顆粒坐標提取并導入MATLAB 中，從而得到撞擊坑深度H(侵入深度)與沖擊速度v 的曲線。 兩者侵入深度對比見圖8，兩者趨勢一致，誤差控制在13%以內。 離散元計算數(shù)值大于理論計算值，對曲線進行擬合，可以得出，其侵入深度與沖擊速度成線性關系，其基本公式見圖8。

圖8 侵入深度對比(仿真與理論）Fig.8 Comparison chart of intrusion depth (simulation and theory）

軸向力對比見圖9，理論分析與仿真趨勢一致，誤差在10%以內。 基于多項式擬合的基本公式見圖9。 數(shù)值上，理論計算結果大于離散元仿真計算，分析其原因，理論模型中沖擊加載階段沒有考慮月壤的塑性及阻尼效應。 因此，理論模型建立的月壤剛度較大，從而體現(xiàn)出侵入深度小，但是峰值軸向力大。

圖9 峰值軸向力對比(仿真與理論）Fig.9 Comparison chart of peak axial force (simulation and theory）

4.2 足墊質量

足墊質量分別為2 kg、4 kg、6 kg、8 kg，著陸速度設定為4 m/s，足墊垂直沖擊，月面坡度0°。

提取離散元仿真中的不同足墊質量沖擊所形成的月壤形貌，如圖10 所示。

圖10 不同沖擊質量下形成的月壤撞擊坑形狀Fig.10 Lunar impact craters formed under different impact masses

不同足墊沖擊質量下，足墊的動態(tài)響應曲線形態(tài)特征一致，但是峰值不同。 如圖11 所示，足墊的位移及侵入深度，與沖擊質量正相關。 在0～0.01 s 加載階段，雖然沖擊質量不同，但是沖擊位移近似相同。 后續(xù)，隨著足墊與月壤的沖擊碰撞，質量越大，其侵入的月壤深度越深。 經(jīng)過卸載階段后，撞擊坑深度和沖擊速度依舊正相關。 分析其原因，足墊沖擊質量越大，其著陸攜帶動能越大，撞擊坑的深度也越深，震蕩衰減后的位移也越大，相應的沖擊時間也越長。

如圖12、圖13 所示，軸向力的峰值與足墊沖擊質量正相關。 在加載階段，不同沖擊質量下，軸向力剛開始幾乎相同，因為不同足墊質量工況的沖擊初速度是相同的，因此，不同質量的足墊的位移、速度近似，月壤的變形擠壓近似，所以軸向力剛開始是近似的。 但是隨著沖擊過程的進行，同樣的軸向力下，質量越小，正向加速度越大，速度越小，位移變化小，足墊受到恢復力小。

圖11 不同沖擊質量下足墊的位移曲線Fig.11 Displacement curve of foot pad under different impact masses

圖12 不同沖擊質量下，足墊軸向力隨時間的變化Fig.12 Changes of axial force of foot pad with time for different impact masses

圖13 不同沖擊質量下，足墊加速度隨時間的變化Fig.13 Changes of impact acceleration of foot pad with time for different landing masses

為了將理論模型計算結果與離散元仿真進行比對，特將撞擊坑外輪廓顆粒坐標提取并導入MATLAB 中，得到撞擊坑深度H(侵入深度)與足墊質量M 的曲線。 兩者侵入深度對比見圖14，兩者趨勢一致，誤差在13%以內。 對曲線進行擬合，可以得出，侵入深度與足墊質量成線性關系，其公式見圖14。

圖14 侵入深度對比圖(仿真與理論）Fig.14 Comparison chart of intrusion depth(simulation and theory）

軸向力對比見圖15，理論分析與仿真趨勢一致，誤差在15%以內。 在此范圍內，軸向力與足墊質量近似成線性，其基本公式見圖15。 數(shù)值上，理論計算結果大于離散元仿真計算，因為理論模型沖擊加載階段沒有考慮月壤的塑性及阻尼效應，因此，體現(xiàn)出來理論模型建立的月壤剛度較大，從而體現(xiàn)出來的侵入深度小，但是峰值軸向力大。

圖15 峰值軸向力對比圖(仿真與理論）Fig.15 Comparison chart of peak axial force (simulation and theory）

5 結論

1)基于巖土力學理論建立的理論模型，可反映出足墊沖擊月壤的運動特性及力學特性，與離散元仿真相比，兩者誤差在15%以內。

2)理論模型與離散元相比，月壤剛度較大，因此與離散元仿真相比，其侵入深度較小，峰值軸向力較大。

3)足墊侵入月壤深度、著陸過程中峰值軸向力與足墊著陸速度正相關。 侵入深度與足墊沖擊速度近似線性，峰值軸向力用多項式進行擬合，便于快速得到其它沖擊速度下足墊的動力學響應；沖擊加載時間與著陸速度負相關。 因此后續(xù)在著陸器月面著陸過程中，應依靠反推發(fā)動機等控制方式，降低著陸速度以降低著陸過載。

4)著陸過程中峰值軸向力、沖擊時間以及侵入深度與足墊著陸質量正相關，峰值過載與著陸器質量負相關。 因此后續(xù)在著陸器月面著陸過程中，應采用結構優(yōu)化設計，降低著陸質量，縮短著陸器著陸穩(wěn)定時間，降低沖擊力。

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