李 艷 艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 文山 663099)

線性互補(bǔ)問(wèn)題(Lcp(A,q))在最優(yōu)停步問(wèn)題、市場(chǎng)均衡問(wèn)題、自由邊界問(wèn)題等力學(xué)、經(jīng)濟(jì)、金融等領(lǐng)域中都有一定的應(yīng)用,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3].它的模型是指求x∈Rn,滿足x≥0,Ax+q≥0,(Ax+q)Tx=0,其中A是實(shí)矩陣,q是實(shí)向量.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[9]設(shè)A=(aij)∈Rn,n,若存在α∈[0,1],使得?i≠j(i,j∈N),有

成立,則稱A是廣義α-雙鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理1[9]設(shè)A=(aij)∈Rn,n為廣義α-雙鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣,則存在正對(duì)角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),xi>0,使得AX是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,并且A為H矩陣.

引理2[10]設(shè)A=(aij)∈Rn,n是H矩陣且主對(duì)角元素全為正,即存在正對(duì)角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn)(xi>0,i∈N),使得AX是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,則

2 證 明

定理1 設(shè)A是廣義α-雙鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣,且aii>0,對(duì)?i∈N,令Δ-(A)≠?,則存在正對(duì)角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),其中,

使得AX是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

證明 設(shè)

由定義知,vj>ui,則一定存在一個(gè)正數(shù)η,使得

取正對(duì)角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),當(dāng)i∈Δ+(A)時(shí),xi=η,當(dāng)j∈Δ-(A)時(shí),xj=1,令Q=AX=(qij),易證qii-ri(Q)>0,i∈N,所以AX是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

定理2 設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn,n是廣義α-雙鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣,則存在正對(duì)角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),使AX是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,其中:

且若ε>1,則

若ε<1,則

證明 由引理1知,AX是主對(duì)角元素為正的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,對(duì)?d∈[0,1]n,(I-D+DA)X也是主對(duì)角元素為正的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,于是

當(dāng)ε>1時(shí),

當(dāng)ε<1時(shí),

定理證畢.

下面通過(guò)定理3和定理4對(duì)定理2做進(jìn)一步詳細(xì)的最優(yōu)值分析.

定理3 設(shè)矩陣A,D,X為定理2所定義,

證明 令

因?yàn)閒′(ε)<0,則f(ε)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù),故

因?yàn)閒′(ε)>0,f(ε)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),故

定理證畢.

定理4 設(shè)矩陣A,D,X為定理1所定義,

因?yàn)閒′(ε)>0,f(ε)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù), 故

定理證畢.

3 結(jié) 論

本文得到了H矩陣的新子類廣義α-雙鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣線性互補(bǔ)問(wèn)題的誤差界,并通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的詳細(xì)分析,得到了該類矩陣誤差界的最優(yōu)值.該最優(yōu)值的最大優(yōu)點(diǎn)是只與矩陣元素有關(guān),便于計(jì)算.