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        集值向量均衡問題近似解映射的連續(xù)性

        2020-04-30 06:25:58陳斌王浩智

        陳斌, 王浩智

        (華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

        均衡問題[1]為許多優(yōu)化有關(guān)的重要問題提供了統(tǒng)一框架,如極值問題、變分不等式、互補問題、納什均衡、極大極小問題、不動點問題,以及交通網(wǎng)絡(luò)等.在過去的20年,均衡問題解及近似解的存在性條件已被廣泛研究[2-8].另一個重要的課題是研究均衡問題解及近似解的穩(wěn)定性和敏感性分析.目前,有很多學(xué)者研究了解及近似解的(半)連續(xù)和H?lder連續(xù)性[9-15].為了獲得解或近似解的(半)連續(xù)性,許多文獻利用了映射的單調(diào)性或者解映射的信息.其中,映射的單調(diào)性可能導(dǎo)致整個解集是單點集.此外,假設(shè)條件中涉及解映射的信息是不合理的,在實踐中很難實現(xiàn).當處理含參向量均衡問題解映射的(半)連續(xù)性時,許多文獻利用了標量化方法.然而,這一方法只有對含參弱向量均衡問題有效,對強向量均衡問題則不適用.文獻[16]在未使用標量化方法的情況下,建立了強向量均衡問題和對偶強向量均衡問題近似解映射的Hausdorff上下半連續(xù)性的充分條件,改進了已有文獻中的相關(guān)結(jié)果.

        本文主要研究局部凸Hausdorff拓撲向量空間中擾動下的集值向量均衡問題的原問題和對偶問題,建立其近似解映射的Hausdorff上下半連續(xù)性的充分條件,改進和推廣了文獻[16]的已有結(jié)果.

        1 預(yù)備知識

        令e∈intC.對于(ε,λ)∈R+×Λ,設(shè)SVEP和DSVEP的ε-近似解集分別為

        Π(ε,λ)={x∈A|F(x,y,λ)+εe?C,?y∈A},

        Πd(ε,λ)={x∈A|F(y,x,λ)+εe?-C,?y∈A}.

        以下先給出一些基本概念和引理.

        設(shè)F為X到Y(jié)的集值映射.

        定義1[17]ⅰ) 若對于Y中任意滿足F(x0)?U的開子集U,都存在x0的一個鄰域N,使F(N)?U,則稱F在x0處上半連續(xù).

        ⅱ) 若Y中滿足F(x0)∩U≠?的任意開子集U,都存在一個x0的鄰域N,使得對于所有的x∈N,都有F(x)∩U≠?,則稱F在x0處下半連續(xù).

        ⅲ) 若F在x0處同時為上半連續(xù)和下半連續(xù),則稱F在x0處連續(xù).

        引理1[18]F在x0處是下半連續(xù)的,當且僅當對于y0∈F(x0)及所有xα→x0,存在ya∈F(xα),使得yα→y0.

        定義2[18]ⅰ)F在x0處稱為Hausdorff上半連續(xù),如果對于Y中原點的任意鄰域V,都存在x0的鄰域N,使得

        F(x)?F(x0)+V, ?x∈N.

        ⅱ)F在x0處稱為Hausdorff下半連續(xù),如果對于Y中原點的任意鄰域V,都存在x0的鄰域N,則使得

        F(x0)?F(x)+V, ?x∈N.

        ⅲ) 如果F在x0處同時為Hausdorff上半連續(xù)和Hausdorff下半連續(xù),則F在x0處稱為Hausdorff連續(xù).

        引理2[18]ⅰ) 如果F在x0處是上半連續(xù),那么F在x0處是Hausdorff上半連續(xù);反之,如果F在x0處是Hausdorff上半連續(xù),且F(x0)是緊集,那么F在x0處是上半連續(xù).

        ⅱ) 如果F在x0處為Hausdorff下半連續(xù),則F在x0處為下半連續(xù);反之,如果F在x0處是下半連續(xù),且F(x0)是緊集,那么F在x0處是Hausdorff下半連續(xù).

        定義3如果對于任意ε>0,存在λ0的鄰域N,使得對于所有x,y∈A和λ1,λ2∈N,都有

        F(x,y,λ1)?F(x,y,λ2)+ε[-e,e],

        則稱集值映射F:A×A×Λ→2Y關(guān)于e∈intC在λ0處對于(x,y)∈A×A一致連續(xù),其中,[-e,e]∶={x∈Y|x∈(e-C)∩(-e+C)}.

        定義4[18]如果對于任意x1,x2∈A和t∈[0,1],有

        F(tx1+(1-t)x2)?tF(x1)+(1-t)F(x2)+C,

        (1)

        則稱映射F:X→2Y在凸集A?X上是C-凹的.

        如果將式(1)替換為

        F(tx1+(1-t)x2)?tF(x1)+(1+t)F(x2)-C,

        則稱映射F:X→2Y在凸集A?X上是C-凸的.

        對于固定的λ0∈Λ,可以得到以下結(jié)果.

        引理3如果對于任意y∈A,F(xiàn)(·,y,λ0)在凸集A上是C-凹的,那么Π(ε,λ0)是凸集.

        證明:任取x1,x2∈Π(ε,λ0)?A和t∈[0,1],那么tx1+(1-t)x2∈A,且對于所有y∈A,有

        利用F的C-凹性,對于所有y∈A,有

        F(tx1+(1-t)x2,y,λ0)+εe?tF(x1,y,λ0)+(1-t)F(x2,y,λ0)+εe+C?

        t[F(x1,y,λ0)+εe]+(1-t)[F(x2,y,λ0)+εe]+C?C,

        即tx1+(1-t)x2∈Π(ε,λ0),從而Π(ε,λ0)是凸集.

        2 主要定理和結(jié)果

        由于已有文獻對精確解和近似解的存在性進行了深入研究,因此總是假定近似解集在參考點(ε0,λ0)附近是非空的.

        定理1對于SVEP,假設(shè)在參考點(ε0,λ0)∈R+×Λ的鄰域內(nèi)近似解存在,且

        ⅰ)F(x,y,·)關(guān)于e∈intC在λ0處對于(x,y)∈A×A一致連續(xù);

        ⅱ) 對于所有y∈A,F(xiàn)(·,y,λ0)在凸集A上是C-凹的.

        那么,Π在(ε0,λ0)處是Hausdorff連續(xù)的.

        證明:令δ∈(0,ε0),取集合N=(ε0-δ,ε0+δ)作為給定的ε0的鄰域.任取ε1,ε2∈N,其中ε1<ε2,實數(shù)η滿足0<η<ε2-ε1,由定理1的假設(shè)條件ⅰ)可知,存在λ0的鄰域Nη(λ0),使得對于任意的λ1,λ2∈Nη(λ0)和x,y∈A有

        F(x,y,λ2)?F(x,y,λ1)+η[-e,e].

        (2)

        對于任意的λ1,λ2∈Nη(λ0),下證

        Π(ε1,λ1)?Π(ε2,λ2).

        (3)

        設(shè)x∈Π(ε1,λ1),則對于所有y∈A,有

        F(x,y,λ1)+ε1e?C.

        任取z2∈F(x,y,λ2),由式(2)存在z1∈F(x,y,λ1)及c1∈C,使得z2=z1+η(-e+c1).從而有

        z2+ε2e=z1+ε1e+(ε2-ε1)e-ηe+ηc1=z1+ε1e+(ε2-ε1-η)e+ηc1?C,

        則F(x,y,λ2)+ε2e?C,?y∈A,即x∈Π(ε2,λ2).

        由式(3)可知,對于任意的λ∈Nη(λ0)和ε∈N,有

        Π(ε0-δ,λ0)?Π(ε,λ)?Π(ε0+δ,λ0).

        (4)

        對于滿足1

        下證

        (5)

        任取x1∈Π(γ,λ0),x2∈Π(ε2,λ0).由A的凸性可知k-1x1+(1-k-1)x2∈A,且對于所有y∈A,有

        F(x1,y,λ0)+γe?C,F(xiàn)(x2,y,λ0)+ε2e?C.

        因此,有

        利用F的C-凹性,對于任意的y∈A,有

        k-1x1+(1-k-1)x2∈Π(ε1,λ0).

        由此可得到式(5),并由式(5)可得到

        則有

        由于A是緊集,故它是有界的.因此,對于X中原點的任意閉凸鄰域V,存在ρ>0,使得A-A?ρV.因此有

        (6)

        Π(ε0,λ0)?Π(ε0-δ0,λ0)+V?Π(ε,λ)+V.

        故Π在(ε0,λ0)處是Hausdorff下半連續(xù).

        在式(6)中,取ε1=ε0,ε2=ε0+δ0,k=ρ+1,可得到

        Π(ε0+δ0,λ0)?Π(ε0,λ0)+V.

        結(jié)合式(4),可得出Π(ε,λ)?Π(ε0,λ0)+V,即Π在(ε0,λ0)處是Hausdorff上半連續(xù).

        注1當F為單值映射時,就得到了文獻[16]的定理1,定理1推廣了文獻[16]的定理1.

        注2定理1的假設(shè)條件ⅱ)是必不可少的,如下例所示.

        但由于

        顯然有

        因此,F(xiàn)的C-凹性條件不滿足. 近似解映射Π在(10-3,0)處不是Hausdorff連續(xù)的. 因為0∈

        注3當F退化為單值映射時,上例改進了文獻[16]中的例1.

        注4約束集的緊性條件不能刪除,如下例所示.

        例2令X=R,Λ=[0,1],A=(2,3],Y=R,C=R+,e=1∈intC,ε0=10-3,λ0=0,且F(x,y,λ)=[λ(x-y),λ(x-y)+1].易知滿足定理1的假設(shè).通過計算可以得到

        Π在(10-3,0)處非下半連續(xù),由引理2可知,近似解映射Π在(10-3,0)處不是Hausdorff連續(xù)的.

        與定理1的證明類似,可以得到集值向量均衡問題的對偶問題近似解映射Hausdorff連續(xù)性的充分性條件.

        定理2對于DSVEP,假設(shè)在參考點(ε0,λ0)∈R+×Λ的鄰域內(nèi)近似解存在,且ⅰ)F(y,x,·)關(guān)于e∈intC在λ0處對于(y,x)∈A×A一致連續(xù);ⅱ) 對于所有y∈A,F(xiàn)(y,·,λ0)在凸集A上是C-凸的.那么,Πd在(ε0,λ0)是Hausdorff連續(xù)的.

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