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        巧轉(zhuǎn)化 助解題

        2020-04-30 12:49:06文蔡麗莉
        初中生世界 2020年9期
        關鍵詞:解題

        文蔡麗莉

        在學習“冪的運算”這一章內(nèi)容的過程中,有些同學會遇到這樣的問題,就是記得運算公式,卻總做不對題目。導致這種情況出現(xiàn)的原因,主要有以下兩點:一是對冪的定義的內(nèi)涵理解不夠,把計算方法(公式)弄混淆;二是解題思路不明確,拿到題目后,無從下手,只能憑感覺做題。還有一些同學,牢記冪的運算特征,對于基本運算方法和公式的直接運用,比如同底數(shù)冪相加減,同底數(shù)冪的乘除、乘方等問題,能夠解決,但遇到不符合上述運算特征的問題時,卻很困惑,束手無策。這些問題是同學們在學習“冪的運算”的過程中遇到的最常見的困難,解決的方法就是“轉(zhuǎn)化”。轉(zhuǎn)化兩個冪的底數(shù)或指數(shù),使兩個冪符合相應的運算條件。下面,我們就一起來探討“冪的運算”中常見的轉(zhuǎn)化方法。

        一、化為底數(shù)相同

        如果兩個冪的底數(shù)不同,在運算中,我們可以把這兩個冪化成同一個底數(shù)的冪的形式。我們可以用冪的乘方公式(am)n=amn,把不同底數(shù)的冪化作同底數(shù)冪。

        例1計算:9a+1×272a。

        【解析】算式中的兩個冪的底數(shù)不同,不滿足冪的乘法公式的條件,故需要轉(zhuǎn)化。我們觀察底數(shù)9和27,它們分別是3的2次冪和3次冪,這說明這兩個冪可以把底數(shù)都化成3。

        解:9a+1×272a

        =(32)a+1×(33)2a

        =32a+2×36a=38a+2。

        二、化為指數(shù)相同

        1.當兩個冪的指數(shù)相近時,我們可以反用積的乘方公式am+n=am·an,把含較大指數(shù)的冪寫成兩個冪的積,并使其中一個冪的指數(shù)和指數(shù)最小的冪的指數(shù)相同。

        例2 計算:1038-1036。

        【解析】因為冪的減法運算要求參與運算的冪的指數(shù)和底數(shù)皆相同,而算式中兩個冪的底數(shù)已經(jīng)相同了,所以只需要把它們的指數(shù)化成相等的即可。我們注意到,指數(shù)38和36很接近,可以把它們都化成含有指數(shù)36的指數(shù)。

        解:1038-1036

        =102×1036-1036

        =(102-1)×1036

        =99×1036

        =9.9×1037。

        2.當兩個冪的指數(shù)不相近時,我們可以反用冪的乘方公式amn=(am)n,把這兩個冪的指數(shù)化成它們的最大公約數(shù)。

        例3 計算:636÷324。

        【解析】算式中的兩個冪不符合冪的乘除運算的特征,故需要轉(zhuǎn)化。注意到它們的底數(shù)不具備化成同底數(shù)冪的條件,指數(shù)又不相近,我們可以考慮把指數(shù)化成這兩個冪的指數(shù)的最大公約數(shù)。

        解:636÷324

        =(63)12÷(32)12

        =21612÷912

        =(216÷9)12

        =2412。

        3.求有關冪的等式中的未知數(shù)。

        兩個相等的冪的底數(shù)相等時,它們的指數(shù)也相等,如已知a2=ax,則x=2;兩個相等的冪的指數(shù)相等時,它們的底數(shù)不一定相等,如已知3a=xa,則要對a進行討論;兩個相等的冪的底數(shù)和指數(shù)都不相同時,無法直接將有關冪的方程轉(zhuǎn)化為整式方程去求未知數(shù)的值,此時需要轉(zhuǎn)化兩個冪的底數(shù)或指數(shù),使它們相同。當?shù)仁絻蛇呌卸鄠€冪時,需要依據(jù)運算符號進行運算,將等式先轉(zhuǎn)化成只含有兩個冪的等式后,再進行求解。

        例4 若m滿足等式:4m-1×812=

        【解析】因為等式兩邊共有三個冪,且字母m在指數(shù)上,故需要先計算出等號左邊的積,使等號兩邊各保留一個冪,然后再化底數(shù)相等,最后用指數(shù)相等列等式。

        解:∵ 4m-1×812=(22)m-1×(23)12=22m-2×236=22m+34,

        ∴2m+34=4m,

        ∴m=17。

        同學們要注意,學習“冪的運算”這一章時,牢記公式是解題的基礎,熟練掌握轉(zhuǎn)化底數(shù)和指數(shù)的方法是解題的關鍵。分析題目中冪的運算所需要的條件,可以明確解題思路;觀察冪的底數(shù)和指數(shù)的特點,可以明確解題的具體過程,從而提高解題的正確率。

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