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        逆用冪的運算性質(zhì),巧比冪的大小

        2020-12-18 06:42:41文戴曉燕
        初中生世界 2020年9期
        關鍵詞:乘方底數(shù)比較法

        文戴曉燕

        在冪的大小比較問題中,很多時候被比較的冪的指數(shù)、底數(shù)并不相同,我們也不便求出被比較的數(shù)值的大小。這時,我們就要理解并逆用冪的運算性質(zhì),巧比冪的大小。

        一、巧用同指數(shù)比較法

        例1 比較大?。?500、4400、5300。

        【解析】我們不便求出3500、4400、5300的具體數(shù)值,但發(fā)現(xiàn)500、400、300的最大公因數(shù)是100,因此我們可以逆用冪的乘方性質(zhì)amn=(am)n,把上述三個數(shù)化成相同指數(shù)后,比較底數(shù)大小即可。

        解:∵3500=(35)100=243100,4400=(44)100=256100,5300=(53)100=125100,

        又∵125<243<256,

        ∴125100<243100<256100,

        ∴5300<3500<4400。

        【總結】這三個數(shù)的底數(shù)不同,指數(shù)都是100的整數(shù)倍,所以在解題過程中,同學們可以先逆用冪的乘方的運算性質(zhì),將這三個數(shù)化成相同指數(shù)的冪,然后比較底數(shù)的大小。

        二、巧用同底數(shù)比較法

        例2 比較大小8131、2741、961。

        【解析】我們不便求出8131、2741、961的具體數(shù)值,但發(fā)現(xiàn)8131、2741、961都可以寫成底數(shù)同為3的冪的形式。同樣逆用冪的乘方運算的性質(zhì),把上述三個數(shù)化成同底數(shù)后,比較指數(shù)大小即可。

        解:∵ 8131=(34)31=3124,2741=(33)41=3123,961=(32)61=3122,

        又∵3124>3123>3122,

        ∴8131>2741>961。

        【總結】這三個數(shù)的指數(shù)不同,底數(shù)都可以化為3的乘方的形式,所以在解題過程中,同學們可以先將這三個數(shù)分別化為以3為底的冪,然后比較指數(shù)的大小。

        三、巧用放縮比較法

        例3 比較大?。?516、3313。

        【解析】要算出1516、3313的值,顯然很繁瑣,而且這兩個數(shù)不能化成同底數(shù)冪和同指數(shù)冪,這時我們可以巧用放縮的方法。

        解:∵1516<1616,3213<3313,

        又∵1616=(24)16=264,3213=(25)13=265,

        ∴1616<3213,

        ∴利用不等式的傳遞性,得1516<3313。

        【總結】運用放縮法比較大小時要注意放縮的幅度,選擇的數(shù)應盡可能與原數(shù)的大小接近,不能相差過大。放縮法的應用對同學們的觀察能力要求很高,準確找到接近的數(shù)很關鍵,這里也初步體現(xiàn)了數(shù)學上的逼近思想。

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