孫衛(wèi)衛(wèi)

(青島理工大學琴島學院山東青島266106)

0 引 言

對于形如二次曲線

與形如二次曲面

由于方程形式的特殊性，即不含有一次項，因此從其特殊性出發(fā)，得到了由實對稱矩陣特征值與方程當中的常數(shù)項取值相結(jié)合來對它們形狀推斷的一種方法，體現(xiàn)了特征值的一種幾何應(yīng)用.

1 形如a11x2+a22y2+2a12xy+c1=0 的二次曲線的形狀的推斷

引入實對稱矩陣:

λ1，λ2為A 的特征值，得到如下定理:

定理1: 形如二次曲線

的形狀，由λ1，λ2及c1的取值唯一確定.

證: 引入向量:

其中λ1，λ2為A 的特征值，做正交變換X=PY，則有，從而得0，即:

由于X=PY 為正交變換，而正交變換具有保持向量的內(nèi)積與長度不變的性質(zhì)，因此可知(1)式與(3)式所表示的二次曲線的具有相同的形狀.故a11x2+a22y2+2a12xy+c1=0 所表示的二次曲線的形狀由λ1，λ2及c1的取值唯一確定.

證畢.

例1: 下列方程分別表示怎樣的曲線:

(1)x2+y2－xy－1=0;

(2)x2+y2+4xy+2=0.

解:(1)x2+y2－xy－2=0 所對應(yīng)的實對稱矩陣為

(2)x2+y2+4xy+2=0 所對應(yīng)的實對稱矩陣為

通過計算其特征值為λ1=3，λ2=－1，x2+y2+4xy+2=0 形狀等同于3x2－y2+2=0 的形狀，因此表示雙曲線.

將定理1 的結(jié)論進行推廣，得如下一類二次曲面形狀推斷的一種方法.

2 形如b11x2+b22y2+b33z2+2b12xy+2b13xz+2b23yz+c2=0 的二次曲面的形狀的推斷

引入實對稱矩陣

λ1′，λ2′，λ3′為B 的特征值，得到如下定理:

定理1: 形如二次曲面

的形狀，由λ1′，λ2′，λ3′及c2的取值唯一確定.

證: 引入向量:

(3)式可等價于XTBX+c2=0，由于B 為實對稱矩陣，一定存在正交矩陣P，有，

其中λ1′，λ2′，λ3′為B 的特征值，做正交變換X=PY，則有YTPTAPY+c2=0，從而得，

即:

由于X=PY 為正交變換，因此可知(2)式與(4)式所表示的二次曲面的具有相同的形狀.故b11x2+b22y2+b33z2+2b12xy+2b13xz+2b23yz+c2=0 所表示的二次曲面的形狀由λ1′，λ2′，λ3′及c2的取值唯一確定.

證畢.

例1: 下列方程分別表示怎樣的二次曲面:

(1)x2+y2－2xz+1=0;

(2)x2+2y2+3z2－4xy－4yz－2=0.

解:(1)x2+y2－2xz+1=0 所對應(yīng)的實對稱矩陣為

(2)x2+2y2+3z2－4xy－4yz－1=0 所對應(yīng)的實對稱矩陣為

通過計算其特征值λ1=2，λ2=4，λ3=4，x2+2y2+3z2－4xy－4yz－2=0 形狀等同于2x2+4y2+4z2－1=0 的形狀，因此表示橢球面.

［1］ 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(下冊)［M］.第六版.北京:高等教育出版社，2007.

［2］ 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(下冊)［M］.第四版.北京:高等教育出版社，2010.

［3］ 徐森林.數(shù)學分析(第三冊)［M］.北京:清華大學出版社，2007.

［4］ 吳贛昌.線性代數(shù)(理工類第四版)［M］.北京:中國人民大學出版社，2011.

［5］ 黃益生.高等代數(shù)［M］.北京:清華大學出版社，2014.

［6］ 楊文茂.空間解析幾何［M］.武漢:武漢大學出版社，2004.