趙曉璐　邵勇

摘要：文中研究了交換的零和自由半環(huán)上的e－可逆矩陣。通過(guò)e－可逆矩陣所具有的性質(zhì)，給出了e－可逆矩陣的等價(jià)刻畫。借助e－可逆矩陣、e－可逆對(duì)角矩陣及置換矩陣之間的內(nèi)在聯(lián)系，給出了e－可逆矩陣半群的一個(gè)確定的極大子群的半直積分解。

關(guān)鍵詞：零和自由半環(huán);e－可逆矩陣;極大子群;半直積

中圖分類號(hào)：O151.21

DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2020－02－014

e－invertible matrices over zerosumfree semirings

ZHAO Xiaolu， SHAO Yong

Abstract： In this paper， the e－invertible matrices over commutative zerosumfree semirings are studied. Through the properties of e－invertible matrices， the equivalent characterizations of e－invertible matrices are given. The semidirect product decomposition of a certain maximal subgroup of the e－invertible matrix semigroup is given by investigating the internal relation among e－invertible matrices， e－invertible diagonal matrices and permutation matrices.

Key words： zerosumfree semiring; e－invertible matrix; matrix semigroup; semidirect product

眾所周知，布爾代數(shù)、模糊代數(shù)、分配格、坡等都是交換的零和自由半環(huán)。從20世紀(jì)50年代開(kāi)始，很多學(xué)者都致力于零和自由半環(huán)上可逆矩陣的研究。1952年，Luce［1］討論了至少含有兩個(gè)元素的布爾代數(shù)上的矩陣，證明了矩陣是可逆的當(dāng)且僅當(dāng)它是正交矩陣;1988年，Zhao［2］證明了模糊代數(shù)上的矩陣是可逆的當(dāng)且僅當(dāng)它是置換矩陣;1991年，Zhao［3］得到了分配格上矩陣可逆的充要條件;2004年，Han［4］等給出了坡矩陣可逆的等價(jià)刻畫;2007年，Tan［5］研究了交換的零和自由半環(huán)上的可逆矩陣，得到了矩陣可逆的充要條件。2018年，Zhang 和Shao［6-7］將可逆矩陣的概念進(jìn)行了推廣，給出了半環(huán)上e－可逆矩陣的定義，并且研究了交換半環(huán)上e－可逆矩陣，給出其等價(jià)刻畫。本文主要研究交換的零和自由半環(huán)上的e－可逆矩陣，給出交換的零和自由半環(huán)上e－可逆矩陣的一些等價(jià)刻畫和e－可逆矩陣半群的極大子群中元素的基本形式，進(jìn)一步得到極大子群的結(jié)構(gòu)。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)將給出文中要用到的定義以及e－可逆矩陣的相關(guān)引理。

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（編 輯 張 歡）

收稿日期：2020－02－18

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11971383，11801239）

作者簡(jiǎn)介：趙曉璐，女，河南焦作人，從事半環(huán)代數(shù)理論的研究。

通信作者：邵勇，男，陜西戶縣人，教授，從事半環(huán)代數(shù)理論的研究。