叢 叢，胡蔚旻

（1.廣東交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 軌道交通學(xué)院，廣東 廣州 510650；2.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510641)

0 引言

公共交通泛指向大眾開放、提供城市內(nèi)部人員運(yùn)輸服務(wù)，按定線運(yùn)營(yíng)的多種交通方式的總稱。公共交通相比于私家車，具有低碳環(huán)保、高運(yùn)量、多方式、低成本和便利性等優(yōu)點(diǎn)，因而在龐大出行需求壓力下，即使私家車保有量飛速增長(zhǎng)，公共交通仍然具有較大的吸引力和影響力，隨著公共交通網(wǎng)絡(luò)建設(shè)日趨復(fù)雜化。隨之，換乘也逐漸成為居民出行的常態(tài)，其產(chǎn)生的時(shí)間、票價(jià)等附加費(fèi)用將改變客流分配影響因素。如果以路徑長(zhǎng)度等作為參數(shù)的傳統(tǒng)方式進(jìn)行預(yù)測(cè)，將造成預(yù)測(cè)精度不足，線網(wǎng)預(yù)期效益偏差，降低預(yù)測(cè)可靠性。

早期公共交通線路配流多采用以路徑長(zhǎng)度為指標(biāo)進(jìn)行流量分配[1-2]，由于乘客選擇出行路徑時(shí)對(duì)最短路徑的認(rèn)知存在差異，導(dǎo)致配流結(jié)果與實(shí)際存在明顯偏差。近年來，不少學(xué)者對(duì)路權(quán)的計(jì)算方法與配流原則進(jìn)行改進(jìn)[3-7]；姜虹等[8]提出乘客實(shí)際等待時(shí)間與因擁擠產(chǎn)生的延誤時(shí)間的阻抗函數(shù)，將擁擠程度列為路權(quán)計(jì)算參數(shù)；李遠(yuǎn)等[9]通過建立隨機(jī)用戶均衡模型考慮增廣公共交通網(wǎng)絡(luò)中的入網(wǎng)、運(yùn)行、換乘和出網(wǎng)時(shí)間，采用改進(jìn)的相繼平均法對(duì)路網(wǎng)進(jìn)行配流；劉秉政等[10]將乘客主觀評(píng)價(jià)和換乘優(yōu)惠率列為乘客出行選擇影響因素，建立雙層規(guī)劃模型求解最優(yōu)票價(jià)及優(yōu)惠率。方麗君[11]采用全局和局部更新相結(jié)合的方式改進(jìn)蟻群算法中信息素更新原則，在保證精度的前提下提高模型運(yùn)算速度。

因此，綜合考慮乘客出行的換乘次數(shù)、方式、票價(jià)以及等待、乘車、換乘時(shí)間等因素，改進(jìn)路權(quán)參數(shù)，建立以社會(huì)福利為上層模型、優(yōu)化信息素更新原則的蟻群算法為下層出行需求配流模型，通過對(duì)雙層規(guī)劃模型的求解，實(shí)現(xiàn)公共交通的票價(jià)優(yōu)化。

1 公共交通廣義出行費(fèi)用模型

1.1 廣義費(fèi)用模型

在城市公共交通網(wǎng)絡(luò)中，乘客在選擇公共交通出行時(shí)會(huì)出于票價(jià)、步行時(shí)間、路線長(zhǎng)度、乘車時(shí)間、舒適度等多方面考慮。較于傳統(tǒng)狹義出行費(fèi)用，廣義費(fèi)用增加對(duì)換乘費(fèi)用的考慮，換乘費(fèi)用指在考慮換乘時(shí)間和方式因素下乘客出行時(shí)在換乘站點(diǎn)間的步行和等待換乘車輛的時(shí)間費(fèi)用?；诶钸h(yuǎn)等[9-10]的研究，對(duì)廣義出行費(fèi)用及相關(guān)參數(shù)進(jìn)行如下定義。

時(shí)間費(fèi)用包括等待、乘車、換乘及風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估預(yù)留時(shí)間，假設(shè)各路段上的路段阻抗函數(shù)是相互可加的，則乘客出行起訖點(diǎn)OD路徑中公共交通出行路徑ij間第m條路徑的出行行為中產(chǎn)生的所有時(shí)間和票價(jià)費(fèi)用為廣義出行費(fèi)用U1m，計(jì)算公式為

式中：α1，α2，α3，α4，α5為指標(biāo)同一量化系數(shù)，如果乘車時(shí)間作為量化標(biāo)準(zhǔn)，則乘車時(shí)間量化系數(shù)α2= 1.0，相對(duì)應(yīng)，α1，α3，α4為乘客的等待、換乘、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估預(yù)留時(shí)間價(jià)值與乘車時(shí)間價(jià)值的比值，α5為乘客乘車時(shí)間價(jià)值的倒數(shù)；a表示車輛運(yùn)行路段；為等待時(shí)間，為乘車時(shí)間，為換乘時(shí)間，為風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估預(yù)留時(shí)間，為票價(jià)；= 1 表示路段a∈M，否則= 0；M表示所有乘客出行路徑的集合。其中等待時(shí)間，乘車時(shí)間，換乘時(shí)間，風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估預(yù)留時(shí)間和票價(jià)參數(shù)定義如下。

1.2 模型參數(shù)

1.2.1 時(shí)間參數(shù)

（1）等待時(shí)間。乘客出行到達(dá)線網(wǎng)起點(diǎn)時(shí)，通常需要一定的等待時(shí)間才能上車，這里選取平均等待時(shí)間，等待時(shí)間計(jì)算公為

式中：fb表示公共交通的發(fā)車頻率；參數(shù)γb取決于公共交通的車間時(shí)距和乘客到達(dá)公共交通線網(wǎng)起點(diǎn)的時(shí)間分布，如果乘客到站時(shí)間服從均勻分布，且公共交通的車間時(shí)距為定值，則參數(shù)γb= 0.5；A1表示路網(wǎng)各公共交通行駛路段集合。

（2）乘車時(shí)間。乘車時(shí)間為乘客在車輛中的逗留時(shí)長(zhǎng)，包括信號(hào)燈和站點(diǎn)?？康溶囕v停止行駛時(shí)間。車輛的擁擠度一定程度上影響乘客對(duì)實(shí)際乘車時(shí)間的認(rèn)知，擴(kuò)大乘客感知與實(shí)際乘車時(shí)間的偏差值。車輛運(yùn)行路段a上基于乘客數(shù)量的擁擠系數(shù)ρ定義如下

式中：xa表示車輛運(yùn)行路段a上的乘客量；Zl，Cl分別表示公共交通線路l的一輛公共交通的座位數(shù)、容量；a，β是相應(yīng)的參數(shù)。

此外，通過BPR 函數(shù)描述基于車輛擁擠的乘車時(shí)間。簡(jiǎn)化考慮，認(rèn)為在車輛運(yùn)行路段a上公共交通的運(yùn)行時(shí)間ca2固定，即為運(yùn)行路段長(zhǎng)度la與在該路段上運(yùn)行的屬于公共交通線路 的運(yùn)行公共交通的速度vl的比值，即

式中：φ是待標(biāo)定參數(shù)，出于簡(jiǎn)便性考慮[12]，取φ= 1.0。

（3）換乘時(shí)間。換乘時(shí)間ca3包括換乘站點(diǎn)間的步行時(shí)間和等待換乘車輛時(shí)間，計(jì)算公式為式中表示乘客在換乘起訖點(diǎn)ij之間進(jìn)行單次換乘的步行時(shí)間；A2表示路網(wǎng)各公共交通線路換乘網(wǎng)絡(luò)集合。

出行過程中的換乘行為會(huì)在乘客心理上形成時(shí)間放大效應(yīng)，且該效應(yīng)與換乘次數(shù)、時(shí)間和方式相關(guān)，即更新定義換乘時(shí)間，更新后的換乘時(shí)間計(jì)算公式為

式中：ε(≥0)為乘客單次出行的換乘次數(shù)，ε1(≥1)為換乘時(shí)間懲罰因子；ε2( ＞1)為換乘方式懲罰因子[13]。

（4）風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估預(yù)留時(shí)間。根據(jù)劉秉政等[10]研究發(fā)現(xiàn)，乘客依據(jù)對(duì)各路徑公共交通乘車時(shí)間的可靠性風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估，增設(shè)出行預(yù)留時(shí)間，從而增大出行總時(shí)間費(fèi)用，對(duì)路網(wǎng)票價(jià)優(yōu)化、乘客路徑選擇具有一定影響；研究基于乘車時(shí)間量化公共交通運(yùn)行時(shí)間可靠性的風(fēng)險(xiǎn)，計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估預(yù)留時(shí)間即

式中：ρm(＞1)是乘客對(duì)公共交通出行方式運(yùn)行時(shí)間可靠性的風(fēng)險(xiǎn)度量參數(shù)；參數(shù)Ψ= 1 表示乘客進(jìn)行換乘出行，反之Ψ= 0。

1.2.2 票價(jià)參數(shù)

目前采用的票價(jià)收費(fèi)制度分為差異票價(jià)和單一票價(jià)；相比差異票價(jià)，單一票價(jià)的公平性、合理性有待提高，長(zhǎng)、短距離出行乘客的票價(jià)支出未能與其造成的交通資源消耗量呈正相關(guān)。因此，采用階梯式計(jì)費(fèi)方案收取差異票價(jià)，以10 km 為基礎(chǔ)票價(jià)乘坐路程，超過部分以5 km 為階梯高度，逐階增收基礎(chǔ)票價(jià)的半價(jià)金額，票價(jià)ca5計(jì)算公式為

式中：參數(shù)τ= 1 表示乘客選擇此公共交通線路出行，反之τ= 0；i表示所選公共交線路名稱；Ui表示所選的i路公共交通線路的總票價(jià)；I表示路網(wǎng)中所有公交線路的集合；Ui0表示所選的i路公共交通線路的基礎(chǔ)票價(jià)；li表示乘客乘坐i路公共交通線路的路程。

2 公共交通票價(jià)優(yōu)化模型構(gòu)建

票價(jià)的波動(dòng)會(huì)對(duì)潛在客流量和路徑配流造成影響，從而導(dǎo)致運(yùn)營(yíng)利潤(rùn)和乘客盈余的變動(dòng)。因此，研究建立以改進(jìn)信息素更新原則的蟻群配流算法為下層模型,社會(huì)福利為上層模型的雙層模型。最后，利用改進(jìn)蟻群算法求解下層模型進(jìn)行路網(wǎng)配流，通過魚群算法求解不同換乘費(fèi)用下滿足既定社會(huì)福利對(duì)應(yīng)的最優(yōu)票價(jià)，從而實(shí)現(xiàn)公共交通的票價(jià)優(yōu)化。

2.1 下層模型構(gòu)建

下層模型以蟻群算法為基礎(chǔ)模型進(jìn)行信息素更新原則優(yōu)化，將包含時(shí)間、票價(jià)參數(shù)的廣義出行費(fèi)用替換傳統(tǒng)蟻群算法中信息素更新原則的行駛總路徑參數(shù)，使蟻群在路徑選擇時(shí)將出行時(shí)間和乘坐票價(jià)等因素納入考慮。

乘客根據(jù)蟻群算法對(duì)出行路徑進(jìn)行選擇，依據(jù)傳統(tǒng)蟻群算法按輪賭法利用下式計(jì)算路徑概率分布為

在優(yōu)化問題上眾多學(xué)者研究表明蟻周系統(tǒng)的算法性能優(yōu)于蟻密系統(tǒng)、蟻量系統(tǒng)，計(jì)算方式為

式中：τij(t+ 1)，τij(t)表示當(dāng)前循環(huán)中t+ 1，t時(shí)刻站點(diǎn)(i，j)間所有路徑的信息素；ρ表示當(dāng)前循環(huán)中信息素軌跡衰減后原信息素的保留系數(shù)，反映了信息素衰減作用的強(qiáng)弱；Δτij(t，t+ 1)表示所有螞蟻在當(dāng)前循環(huán)中路徑(i，j)的信息素增加量，即本次循環(huán)結(jié)束時(shí)所有曾到達(dá)換乘站點(diǎn)i的螞蟻在此換乘站點(diǎn)留下的選擇換乘路線j的參考信息；q表示當(dāng)前循環(huán)中螞蟻的數(shù)量；表示螞蟻k在當(dāng)前循環(huán)中路徑(i，j)的信息素增加量，即螞蟻k在本次循環(huán)結(jié)束時(shí)在換乘站點(diǎn)i留下的選擇換乘路線j的參考信息；Q表示螞蟻循環(huán)一周時(shí)在途徑路徑上釋放的信息素總量；Lk表示螞蟻k在當(dāng)前循環(huán)中經(jīng)過的路徑總長(zhǎng)度。

基于傳統(tǒng)蟻周系統(tǒng)算法思想，結(jié)合依據(jù)出行費(fèi)用對(duì)公共交通票價(jià)進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)蟻周系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)為

式中：Uk表示螞蟻k在當(dāng)前循環(huán)中經(jīng)過路徑的出行費(fèi)用。

采用上述改進(jìn)蟻群算法進(jìn)行求解時(shí)，通過設(shè)置迭代終止條件n=N避免陷入局部最優(yōu)解；將人工螞蟻q置于同一起點(diǎn)O上，并設(shè)置同一終點(diǎn)D進(jìn)行迭代；每輪迭代后對(duì)各路徑采用改進(jìn)蟻周系統(tǒng)算法進(jìn)行全局信息素更新，當(dāng)滿足終止條件時(shí)輸出乘客流量分配表x(n)。

2.2 上層模型構(gòu)建

基于下層配流模型對(duì)包含換乘費(fèi)用、票價(jià)參數(shù)的彈性需求進(jìn)行客流分配，依據(jù)配流結(jié)果計(jì)算以票價(jià)收入為指標(biāo)的運(yùn)營(yíng)商利潤(rùn)，結(jié)合乘客盈余進(jìn)行社會(huì)福利的上層模型計(jì)算，并以能夠滿足既定的社會(huì)福利值Saim為前提進(jìn)行票價(jià)優(yōu)化，其對(duì)應(yīng)的票價(jià)上限值即為最優(yōu)票價(jià)。

社會(huì)福利為乘客盈余與公共交通運(yùn)營(yíng)商利潤(rùn)之和[10]。根據(jù)Williams 以及Evans 的研究分析，當(dāng)出行費(fèi)用、乘客盈余以時(shí)間為衡量單位時(shí)，乘客盈余可以表示為式中：參數(shù)μ反應(yīng)潛在出行需求量對(duì)期望出行廣義費(fèi)用的敏感程度為總的出行需求量。定義OD對(duì)第m條路徑的出行需求量gm函數(shù)為

式中：θ(＞0)表示乘客對(duì)出行負(fù)效用的認(rèn)知偏差。

此外，公共交通運(yùn)營(yíng)商利潤(rùn)π等于車票收入與運(yùn)營(yíng)總成本的差值，可以表示為

式中：xm表示第m條路徑上的交通配流量；NC表示公共交通運(yùn)營(yíng)成本。

上層模型所求社會(huì)福利S可以量化為

由于不考慮乘客出行費(fèi)用的變化對(duì)公共交通運(yùn)營(yíng)成本的影響，為排除成本估算所造成的誤差，社會(huì)福利目標(biāo)函數(shù)僅考慮乘客盈余與票價(jià)收入的總和，表述為

為避免模型優(yōu)化過程陷入局部最優(yōu)，選用具備良好并行處理能力的人工魚群算法進(jìn)行多變量的目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)化求解，防止模型因“早熟”而陷入局部最優(yōu)，設(shè)置滿足既定的社會(huì)福利值為終止條件S=Saim，計(jì)算并比較各代在不同換乘時(shí)間費(fèi)用下達(dá)到終止條件的票價(jià)上限值，選取其中最大值即為最優(yōu)票價(jià)U best。

3 公共交通票價(jià)優(yōu)化算例分析

3.1 公共交通線路網(wǎng)絡(luò)

結(jié)合李遠(yuǎn)等[9，18]所提出的公共交通網(wǎng)絡(luò)，公共交通線路網(wǎng)絡(luò)圖如圖1 所示，圖1 中線段旁邊的數(shù)字表示各公共交通線路，括號(hào)中的數(shù)字分別表示發(fā)車間隔(min)和平均速度(km/h)。采用圖1 所示公共交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行流量分配及票價(jià)優(yōu)化，并從實(shí)際角度出發(fā)進(jìn)行如下假設(shè)：①乘客不可以在同一站臺(tái)多次換乘；②乘客出行路徑中不可以間斷出現(xiàn)在同一公共交通線路；③乘客一次出行的換乘次數(shù)不超過2 次。

3.2 計(jì)算結(jié)果分析

3.2.1 下層模型

首先對(duì)各路徑流量分配進(jìn)行比較，由于基于彈性需求對(duì)公共交通票價(jià)進(jìn)行優(yōu)化，換乘費(fèi)用懲罰因子與票價(jià)的不同均會(huì)導(dǎo)致出行需求的差異與路徑配流的變化，因此對(duì)路徑流量分配進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。廣義出行費(fèi)用中的換乘費(fèi)用包含了換乘時(shí)間和方式懲罰因子參數(shù)，兩者共同影響換乘費(fèi)用，統(tǒng)稱為換乘費(fèi)用懲罰因子。通過計(jì)算可知為達(dá)既定社會(huì)福利，換乘費(fèi)用懲罰因子取值范圍為ε1ε2∈[1.1，2.1]，選取換乘費(fèi)用懲罰因子ε1ε2= 1.1 和ε1ε2= 2.1 的2種情況為例進(jìn)行對(duì)比分析?；诓煌瑩Q乘費(fèi)用懲罰因子路段流量分配圖如圖2 所示。各情形分配結(jié)果比較如表1 所示。各情形下?lián)Q乘次數(shù)分布比如圖3所示。各情形下各線路流量配比如圖4 所示。

圖1 公共交通線路網(wǎng)絡(luò)圖Fig.1 Line network map

比較發(fā)現(xiàn)，2 種情形中乘客選擇1 次換乘的概率均高于2 次換乘，各情形中2 種換乘概率分布的差值分別為19.65%，28.09%；情形1 中乘客選擇1 次換乘的概率低于情形2 的對(duì)應(yīng)概率，兩者概率差為-4.20%；而乘客選擇2 次換乘的概率則高于情形2。情形2 由于強(qiáng)化了換乘費(fèi)用因素，增加了換乘成本，因此乘客傾向于選擇換乘次數(shù)少的路徑，導(dǎo)致各路徑間流量差值增大，即情形2 各路徑流量分配值標(biāo)準(zhǔn)差大于情形1，提升11.90%。線路平均行駛時(shí)長(zhǎng)大于約10.5 min 時(shí)，情形2 的概率分布低于情形1，累計(jì)下降概率1.32%，反之則情形2 概率更高，但由于時(shí)長(zhǎng)為7.5 min，8.25 min時(shí)所對(duì)應(yīng)的路徑有較高的換乘次數(shù)，因此概率略有下降，分別降低0.15%，0.29%。

3.2.2 上層模型

由于選擇公共交通出行的需求量和社會(huì)福利會(huì)隨換乘費(fèi)用、票價(jià)等出行費(fèi)用的變化而波動(dòng)，選取換乘費(fèi)用懲罰因子與滿足其條件下達(dá)到社會(huì)福利的最優(yōu)票價(jià) 、出行需求 進(jìn)行比較分析。換乘費(fèi)用懲罰因子與出行需求的關(guān)系如圖5 所示。票價(jià)與出行需求的關(guān)系如圖6 所示。換乘費(fèi)用懲罰因子與出行需求、票價(jià)的關(guān)系。

圖2 基于不同換乘費(fèi)用懲罰因子路段流量分配圖Fig.2 Road traffic allocation map based on different transfer cost penalty factors

表1 各情形分配結(jié)果比較Tab.1 Comparison of the distribution results of each situation

圖3 各情形下?lián)Q乘次數(shù)分布比Fig.3 Distribution ratio of transfer times in each case

圖4 各情形下各線路流量配比Fig.4 Flow ratio of each line in each case

圖5 換乘費(fèi)用懲罰因子與出行需求的關(guān)系Fig.5 Relationship between the penalty factor for transfer and travel demand

圖5 則顯示以固定票價(jià)為前提，換乘費(fèi)用懲罰因子與出行需求呈負(fù)相關(guān)；圖6 顯示以固定換乘費(fèi)用懲罰因子為前提，出行需求與優(yōu)化票價(jià)呈負(fù)相關(guān)；圖7 顯示換乘費(fèi)用懲罰因子與優(yōu)化票價(jià)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，而換乘費(fèi)用懲罰因子與出行需求呈正相關(guān)。彈性出行需求因票價(jià)的波動(dòng)而產(chǎn)生變化，當(dāng)換乘費(fèi)用懲罰因子增大時(shí)，由于票價(jià)得到相應(yīng)的下降，因而出行需求呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，即換乘費(fèi)用懲罰因子與出行需求呈正相關(guān)。綜合比較分析可知當(dāng)換乘費(fèi)用懲罰因子為定值時(shí)，出行需求隨票價(jià)的降低而升高；當(dāng)票價(jià)為定值時(shí)，出行需求隨換乘費(fèi)用懲罰因子升高而降低，這與圖7 顯示的優(yōu)化票價(jià)下?lián)Q乘費(fèi)用懲罰因子與出行需求的關(guān)系相反，由此可知票價(jià)的優(yōu)化對(duì)出行需求的影響作用大于換乘費(fèi)用懲罰因子的影響。

換乘費(fèi)用懲罰因子的增大導(dǎo)致?lián)Q乘費(fèi)用的提高、出行費(fèi)用的增加，從而增加了乘客出行成本，減弱了乘客出行意愿。為達(dá)到既定的社會(huì)福利值，需通過降低票價(jià)實(shí)現(xiàn)出行成本的降低，以此抵消因換乘費(fèi)用提高而增加的出行成本；通過擬合可知兩者呈二次函數(shù)關(guān)系，由于換乘費(fèi)用懲罰因子 ，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱軸單側(cè)呈單調(diào)性的特點(diǎn)，因此換乘費(fèi)用懲罰因子與最優(yōu)票價(jià)呈負(fù)相關(guān)，當(dāng)換乘費(fèi)用懲罰因子以線性速度增加時(shí)，優(yōu)化票價(jià)則呈加速下降趨勢(shì)。

圖6 票價(jià)與出行需求的關(guān)系Fig.6 Relationship between fare and travel demand

圖7 換乘費(fèi)用懲罰因子與出行需求、票價(jià)的關(guān)系Fig.7 Relationship between the penalty factor for transfer costs,travel demand, and fares

4 結(jié)束語(yǔ)

換乘費(fèi)用對(duì)票價(jià)優(yōu)化具有不可忽視的影響力，完善路網(wǎng)客流分配的影響參數(shù)，有利于實(shí)現(xiàn)票價(jià)的最優(yōu)化。乘客傾向于選擇換乘費(fèi)用小，即換乘次數(shù)、等待時(shí)間較少的路線；隨著換乘費(fèi)用懲罰因子的提高，為達(dá)既定社會(huì)福利，需相應(yīng)提升票價(jià)。但以乘客到站時(shí)間均勻分布、車間時(shí)距定值為假設(shè)計(jì)算等車時(shí)間，與實(shí)際情況存在一定偏差；模型中對(duì)多種時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)一量化，未考慮不同乘客對(duì)時(shí)間價(jià)值判斷的差異性，上述不足將在下一步研究中加以剖析。