張 卓，嚴(yán)玉蓉，楊聲強(qiáng)，任忠海，*

(1.廣州海關(guān)技術(shù)中心，廣東 廣州，510623;2.華南理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州，510641;3.美國(guó)UL(深圳)安全試驗(yàn)所，廣東 深圳，518047)

0 前言

Matlab是Mat h wor ks公司于20世紀(jì)80年代推出的數(shù)值計(jì)算軟件，運(yùn)用以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)的程序語(yǔ)言，它有非常強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力，數(shù)域可擴(kuò)展到復(fù)數(shù)[1]。快速且精確地繪制各種復(fù)雜的三維、不規(guī)則公式曲線或曲面是Matlab的長(zhǎng)項(xiàng)，面向分析運(yùn)算是其廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)的主要原因。Matlab把所有點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)儲(chǔ)存在二維或三維矩陣中，因此繪制圖形時(shí)很容易就能控制圖形的精度，而且這些坐標(biāo)數(shù)據(jù)經(jīng)過處理后還可移植、擴(kuò)充到其他繪圖軟件中。

在建立復(fù)雜不規(guī)則三維模型時(shí)，Auto CAD繪制方法繁瑣且誤差很大[2];Open GL因?yàn)樽陨砣狈?fù)雜三維形體函數(shù)而必須提取其他繪圖軟件建好的三維模型數(shù)據(jù)才能進(jìn)行進(jìn)一步圖形處理[3];3d Max則是通過修改堆棧命令加工得到目標(biāo)模型，是一款偏向商業(yè)影視娛樂、多媒體制作的軟件。因此，選擇了Matlab為織物結(jié)構(gòu)的三維建模軟件。

織物結(jié)構(gòu)的仿真模型研究始于20世紀(jì)20年代，逐步從二維平面建模過渡到三維空間建模及質(zhì)感模擬，目前國(guó)內(nèi)外對(duì)織物結(jié)構(gòu)仿真依據(jù)的理論主要分為Pierce模型法、分段函數(shù)法和樣條曲線法[4]。

馬維[5]使用Open GL結(jié)合VC++語(yǔ)言建立了平紋、斜紋等梭織物的三維模型，紗線截面假定為橢圓;谷大鵬等[6]用Matlab建立了平紋織物的三維模型，但紗線截面假設(shè)為圓形;朱生群等[4]使用Tex Gen建立了筒狀緯編針織物的結(jié)構(gòu)模型，假設(shè)紗線截面為圓形，使用B樣條擬合理論建立模型。這些研究文獻(xiàn)將織物中的紗線橫截面假設(shè)為圓形顯然有悖于真實(shí)的織物形態(tài);另外，文獻(xiàn)在建模時(shí)對(duì)紗線和織物的數(shù)學(xué)特征沒有必要的假設(shè)條件，而且僅對(duì)紗線進(jìn)行曲線擬合，缺乏對(duì)紗線曲面成型的理論推導(dǎo)。

1 平紋織物三維仿真模型的建立

圖1是本文建立的平紋織物三維仿真模型，圖例顯示從2個(gè)不同方向觀察同一模型。

圖1 平紋織物結(jié)構(gòu)三維仿真效果

1.1 建立坐標(biāo)系

按右手法則建立各坐標(biāo)系：

(1)以紗線長(zhǎng)度方向的中心軸線方向?yàn)閆l軸，橫截面為XlOlYl面，建立紗線局部坐標(biāo)系(下標(biāo)l表示局部坐標(biāo)系，下同);

(2)以織物厚度方向?yàn)閆軸，織物交織平面為XOY面，建立全局坐標(biāo)系。

1.2 模型建立

1.2.1 假設(shè)條件[7-8]

在Peirce改進(jìn)的梭織物模型中，假定紗線的橫截面均為橢圓形，紗線既無伸長(zhǎng)也無壓縮變形，經(jīng)緯紗交織附近相互包覆屈曲的地方為圓弧狀，其余部分為直線段。

對(duì)于大多數(shù)織物，紗線由于擠壓產(chǎn)生形變或有部分重疊現(xiàn)象出現(xiàn)不易進(jìn)行仿真，但對(duì)于平紋類織物經(jīng)大量切片實(shí)驗(yàn)研究得知，紗線的形態(tài)走勢(shì)類似于正弦曲線，且不存在重疊現(xiàn)象，故以紗線屈曲形態(tài)為空間正弦或余弦曲線為例進(jìn)行織物結(jié)構(gòu)三維仿真[9]。

(1)紗線的橫截面為橢圓形;

(2)纖維在紗線中排列緊密、均勻;

(3)紗線中所有弧線為三階連續(xù)可微曲線，參數(shù)增加的方向?yàn)榍€的正向;

(4)紗線中所有弧線為正則曲線;

(5)紗線之間彼此密實(shí)接觸，即紗線間無空隙;

(6)紗線表面光滑、平整，均沒有變形;

(7)忽略經(jīng)紗與緯紗交織點(diǎn)處的作用力，如摩擦、擠壓或彎曲;

(8)單層織物中，經(jīng)緯紗所在的上下2個(gè)平面互相平行;

(9)單層織物中，所有經(jīng)紗或緯紗均分別排列在同一直線上。

1.2.2 紗線表面各點(diǎn)的坐標(biāo)值計(jì)算

根據(jù)紗線幾何體的形成原理，紗線長(zhǎng)度方向中心線上任意一點(diǎn)的法平面與紗線曲面的交線都是一個(gè)橢圓。假設(shè)該橢圓的長(zhǎng)短軸分別為a、b，如圖2所示，紗線局部坐標(biāo)系為XlOlYl，橢圓中心是Ol。

全局坐標(biāo)系下的紗線空間模型如圖3所示。觀察方向與橢圓所在平面垂直，即與法線n的方向相反但平行。

圖3中，Γ是紗線長(zhǎng)度方向的中心線，為一C3類空間曲線。T、N、B分別是該曲線上任意一點(diǎn)的切向量、主法向量和副法向量。向量n是橢圓Ol所在平面的法線，且與3個(gè)坐標(biāo)軸的歐拉角在[0，π]內(nèi)變化。

局部坐標(biāo)系下Γ應(yīng)滿足下列方程：

其中t為曲線Γ的參數(shù)，δ是取值區(qū)間。點(diǎn)Ol的單位主法向量β(t)為[10]：

點(diǎn)Ol的單位副法向量γt()為：

圖2 局部坐標(biāo)系下的紗線橫截面模型

圖3 全局坐標(biāo)系下的紗線空間模型

另一方面，紗線可以看作由離散點(diǎn)構(gòu)成的空間曲面，則橢圓Ol上的點(diǎn)就是這些離散點(diǎn)的一個(gè)子集。令橢圓Ol在局部坐標(biāo)系XlOlYl的方程為：

φ是橢圓上任意一點(diǎn)逆時(shí)針方向與Xl軸的夾角。

局部坐標(biāo)系下將曲線Γ和橢圓r(φ)l進(jìn)行運(yùn)動(dòng)A的變換就能得到全局坐標(biāo)系下的曲線公式[11]：

其中，A是方向余弦矩陣，ε是一空間向量，且ε∈R3。

由空間參數(shù)曲線的幾何不變性原理，經(jīng)過坐標(biāo)系的復(fù)合運(yùn)動(dòng)后，曲線的各階導(dǎo)矢是不變量。所以曲線Pt()l與橢圓r(φ)l經(jīng)過位置變換后只存在坐標(biāo)變化的差別。

假定橢圓Ol的法向量n的方向向上為正，結(jié)合式(6)，n的方向余弦ω，δ，ε可按下式計(jì)算：

其中，θx、θy、θz為法向量n的歐拉角。

綜合式(1)～式(9)，得到全局坐標(biāo)系XYZ下的紗線表面任意點(diǎn)的坐標(biāo)值：

T是從局部坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的變換矩陣，矩陣元素下標(biāo)y表示紗線。

至此，已經(jīng)建立了紗線的表面各點(diǎn)坐標(biāo)方程。

1.3 平紋織物結(jié)構(gòu)模型

平紋織物的宏觀結(jié)構(gòu)是多條具有正弦或余弦曲線特征的紗線互相交織而成。如果將紗線表面離散成n個(gè)空間內(nèi)的點(diǎn)，結(jié)合式(11)，則織物表面各點(diǎn)的坐標(biāo)可表示成如下n×(n+1)齊次矩陣：

式(12)就是織物表面的點(diǎn)的坐標(biāo)值，也即織物的三維結(jié)構(gòu)模型。矩陣元素下標(biāo)f表示織物。

最后，依據(jù)織物實(shí)際的規(guī)格，輸入紗線的直徑、屈曲角度、紗線間隔距離、經(jīng)緯密度等參數(shù)，就能得到大小、形態(tài)可控的結(jié)構(gòu)模型。

2 用Matlab實(shí)現(xiàn)平紋織物結(jié)構(gòu)仿真

平紋織物仿真模型的編程流程如圖4所示。

圖4 平紋織物三維仿真模型的流程

當(dāng)?shù)玫娇椢锉砻嫠须x散點(diǎn)的坐標(biāo)值后，通過調(diào)用Matlab中的mesh或者surf函數(shù)，繪制織物表面曲面，即可實(shí)現(xiàn)織物的三維模型可視化，如圖5所示。

圖5 紗線及織物三維仿真模型

其中圖5(a)是調(diào)用不同的函數(shù)繪制的紗線模型，圖5(b)是平紋織物三維仿真模型，圖5(c)是進(jìn)行光照處理后得到的模型。

3 結(jié)論

(1)平紋織物三維仿真模型真實(shí)反映了紗線的形狀、大小和在織物結(jié)構(gòu)中的相對(duì)位置，不僅是分析研究平紋織物結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，而且也為研究平紋織物的力學(xué)過程、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系以及紗線間的相互作用機(jī)理打下了良好基礎(chǔ)。

(2)在Matlab環(huán)境下的可視化編程，具有很大的優(yōu)越性。計(jì)算效率高，數(shù)據(jù)可視化簡(jiǎn)單，為將來擴(kuò)展不同結(jié)構(gòu)的織物性能預(yù)測(cè)和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性提供了數(shù)學(xué)保證，也為后續(xù)其他類型的織物宏觀物理性能的仿真研究提供了可靠的示范。

(3)使用Matlab建立織物三維仿真模型涉及數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和向量幾何等多學(xué)科知識(shí)，因此覆蓋面廣、解決途徑復(fù)雜。也正因?yàn)榇?，每一位研究者使用的方法都不盡相同，所以最終得到的模型精度、可擴(kuò)展性差異較大。