■山東省棗莊二中

概率是近幾年高考的熱點(diǎn)之一,主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型、隨機(jī)變量及其分布等知識(shí),近幾年高考對(duì)概率的考查由單一型向知識(shí)交匯型轉(zhuǎn)變,且多為古典概型、隨機(jī)變量及其分布與莖葉圖、頻率分布直方圖、回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)等交匯考查。

一、古典概型與獨(dú)立性檢驗(yàn)的交匯考查

例1(2019 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷文數(shù))某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量,隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià),得到列聯(lián)表：

表1

(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率;

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異?

附：K2=。

表2

解析：從題中所給的2×2列聯(lián)表中讀出相關(guān)的數(shù)據(jù),利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù),分別算出相應(yīng)的頻率,即估計(jì)得出的概率值;利用公式求得觀測(cè)值與臨界值比較,得到能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異。

(1)由題中表格可知,50 名男顧客中對(duì)商場(chǎng)服務(wù)滿意的有40人,所以男顧客對(duì)商場(chǎng)服務(wù)滿意率估計(jì)為。

50名女顧客中對(duì)商場(chǎng)滿意的有30 人,所以女顧客對(duì)商場(chǎng)服務(wù)滿意率估計(jì)為P2=。

(2)由列聯(lián)表可知K2=≈4.762 ＞3.841,所以能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異。

點(diǎn)睛：解答此類問題的策略：(1)解決古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確找出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),然后利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算;當(dāng)基本事件總數(shù)較少時(shí),可用列舉法把所有的基本事件一一列舉出來,要做到不重不漏,有時(shí)可借助表格,樹狀圖列舉,同時(shí)注意判斷是古典概型還是幾何概型,基本事件前者是有限的,后者是無限的。

(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)是用來考查兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系,計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值K2,K2越大,說明兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大。

該題考查的是有關(guān)概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí),涉及的知識(shí)點(diǎn)有利用頻率來估計(jì)概率,利用列聯(lián)表計(jì)算K2的值,獨(dú)立性檢驗(yàn),屬于簡(jiǎn)單題目。

二、古典概型與用樣本估計(jì)總體交匯考查

例2(貴州省2019屆高三聯(lián)考試題)隨機(jī)抽取某校高一100名學(xué)生的期末考試英語成績(jī)(他們的英語成績(jī)都在80分～140分之間),將他們的英語成績(jī)(單位：分)分成：[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140]六組,得到如圖1所示的部分頻率分布直方圖,已知成績(jī)處于[90,100)內(nèi)與[100,110)內(nèi)的頻數(shù)之和等于成績(jī)處于[110,120)內(nèi)的頻數(shù),根據(jù)圖中的信息,回答下列問題：

(1)求頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和;

(2)求成績(jī)處于[110,120)內(nèi)與[100,110)內(nèi)的頻率之差;

(3)用分層抽樣的方法從成績(jī)不低于120分的學(xué)生中選取一個(gè)容量為6 的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任選2人,求這2人中恰有1人成績(jī)低于130分的概率。

解析：(1)由題意可知,成績(jī)處于[110,120)內(nèi)的概率為1-(0.010+0.015+0.025+0.005)×10=0.45,所以頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和為0.45。

(2)設(shè)成績(jī)處于[100,110)與[110,120)內(nèi)的頻率分別為a,b。

因?yàn)槌煽?jī)處于[90,100)內(nèi)與[100,110)內(nèi)的概率之和等于成績(jī)處于[110,120)內(nèi)的頻率,所以：

所以成績(jī)處于[110,120)內(nèi)與[100,110)內(nèi)的頻率之差為0.3-0.15=0.15。

(3)由題意知,成績(jī)處于[120,130)內(nèi)的學(xué)生數(shù)為100×0.25=25,成績(jī)處于[130,140)內(nèi)的學(xué)生數(shù)為100×0.05=5。所以用分層抽樣的方法從身高不低于120分的學(xué)生中選取一個(gè)容量為6 的樣本,需從成績(jī)處于[120,130)內(nèi)的學(xué)生中選取5人,記為A,B,C,D,E;從成績(jī)處于[130,140)內(nèi)的學(xué)生中選取1 人,記為F。從中任選2 人：(AB),(AC),(AD),(AE),(AF),(BC),(BD),(BE),(BF),(CD),(CE),(CF),(DE),(DF),(EF)共有15種情況,這2人中恰有1人成績(jī)低于130 分的共有5 種情況,這2 人中恰有1人成績(jī)低于130分的概率P==。

點(diǎn)睛：求解此類問題的三步驟：

(1)識(shí)圖,即能讀懂已知頻率分布直方圖或莖葉圖所隱含的信息并進(jìn)行信息提取。

(2)轉(zhuǎn)化,即對(duì)文字語言較多的題,需要根據(jù)題目信息耐心閱讀,步步實(shí)現(xiàn)文字語言與符號(hào)語言間的轉(zhuǎn)化。

(3)計(jì)算,即對(duì)頻率分布直方圖或莖葉圖所反饋的信息進(jìn)行提取,并結(jié)合古典概型的概率公式進(jìn)行運(yùn)算。

三、隨機(jī)變量及其分布與用樣本估計(jì)總體交匯考查

例3(廣西百色市高三年級(jí)2019 屆摸底調(diào)研)在十九大“建設(shè)美麗中國”的號(hào)召下,某省級(jí)生態(tài)農(nóng)業(yè)示范縣大力實(shí)施綠色生產(chǎn)方案,對(duì)某種農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行改良,為了檢查改良效果,從中隨機(jī)抽取100件作為樣本,稱出它們的重量(單位：g),重量分組區(qū)間為[10,20],(20,30],(30,40],(40,50],由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖2)。

(1)求a的值;

(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)樣本中個(gè)體的重量的眾數(shù)與平均值;

(3)以樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)總體數(shù)據(jù),從改良的農(nóng)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3 個(gè)個(gè)體,其中重量在[10,20]內(nèi)的個(gè)體的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。(以直方圖中的頻率作為概率)

解析：(1)由題意,得(0.020+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.030。

(2)由最高矩形所對(duì)應(yīng)區(qū)間中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為25,可估計(jì)樣本個(gè)體重量的眾數(shù)約為25g。而100 件樣本重量的平均值為x=0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.18×45=29.6(g),故估計(jì)樣本中個(gè)體重量的平均值約為29.6g。(3)利用樣本估計(jì)總體,該樣本中個(gè)體的重量在[10,20]內(nèi)的概率為0.2,則X～。

故X的分布列如表3：

表3

則E(X)=。

點(diǎn)睛：本題考查了利用頻率直方圖求平均數(shù)與眾數(shù)和概率的計(jì)算,也考查了二項(xiàng)分布,是中檔題。

四、古典概型與隨機(jī)變量及其分布的交匯考查

例4(河北省唐山市2019 屆高三摸底考試數(shù)學(xué)試題)甲、乙兩位工人分別用兩種不同工藝生產(chǎn)同一種零件,已知尺寸在[223,228](單位：mm)內(nèi)的零件為一等品,其余為二等品,測(cè)量甲、乙當(dāng)天生產(chǎn)零件尺寸的莖葉圖如圖3所示：

(1)從甲、乙兩位工人當(dāng)天所生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)抽取1個(gè)零件,求抽取的2個(gè)零件等級(jí)互不相同的概率;

(2)從工人甲當(dāng)天生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取3個(gè)零件,記這3個(gè)零件中一等品數(shù)量為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

解析：(1)由莖葉圖可知,甲當(dāng)天生產(chǎn)了10個(gè)零件,其中4 個(gè)一等品,6 個(gè)二等品;乙當(dāng)天生產(chǎn)了10個(gè)零件,其中5個(gè)一等品,5個(gè)二等品。所以抽取的2個(gè)零件等級(jí)互不相同的概率P=。

(2)X可取0,1,2,3。

X的分布列如表4：

表4

因此,E(X)=。

點(diǎn)睛：本題主要考查古典概型概率公式以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題。求解數(shù)學(xué)期望問題,首先要正確理解題意,其次要準(zhǔn)確無誤地找出隨機(jī)變量的所有可能值,計(jì)算出相應(yīng)的概率,寫出隨機(jī)變量的分布列,正確運(yùn)用期望、方差的公式進(jìn)行計(jì)算,也就是要過三關(guān)：(1)閱讀理解關(guān);(2)概率計(jì)算關(guān);(3)公式應(yīng)用關(guān)。