■四川省閬中市川綿外國語學(xué)校

一、選擇題

1.從1,2,…,9這9個數(shù)中,隨機抽取兩個不同的數(shù),則這兩個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是( )。

2.根據(jù)中央對“精準扶貧”的要求,某市決定派7 名黨員去甲、乙、丙三個村進行調(diào)研,其中有4名男性黨員,3名女性黨員?，F(xiàn)從中選3人去甲村,若要求這3人中既有男性,又有女性,則不同的選法共有( )。

A.35種 B.30種

C.28種 D.25種

3.利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中生的寫作水平與喜好閱讀是否有關(guān),通過隨機詢問120名高中生是否喜好閱讀,利用2×2列聯(lián)表,由計算可得K2=4.236。

表1

參照表1,可得正確的結(jié)論是( )。

A.有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”

B.有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”

C.有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”

D.有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”

4.在3次獨立重復(fù)試驗中,事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同,若事件A至少發(fā)生1次的概率為,則事件A發(fā)生次數(shù)ξ的期望和方差分別為( )。

5.若m,n均為非負整數(shù),在做m+n的加法時各位均不進位(例如：2 019+100=2 119,則稱(m,n)為“簡單的”有序?qū)?而m+n稱為有序?qū)?m,n)的值,那么值為2 019的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是( )。

A.100 B.96 C.60 D.30

6.二項式展開式中只有一項的系數(shù)為有理數(shù),則n可能取值為( )。

A.6 B.7 C.8 D.9

7.漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的珍寶。如圖1所示的弦圖中,由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成。現(xiàn)用5種不同的顏色涂色,要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色,則不同的涂色方案有( )。

A.180種 B.192種

C.420種 D.480種

8.設(shè)隨機變量X服從二項分布X～,則函數(shù)存在零點的概率是( )。

9.設(shè)X～N(1,1),其正態(tài)分布密度曲線如圖2 所示,那么向正方形ABCD中隨機投擲10 000 個點,則落入陰影部分的點的個數(shù)估計值是( )。

(注：若X～N(μ,σ2),則P(μ-σ＜X＜μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ＜X＜μ+2σ)=0.954 4)

A.7 539 B.7 028

C.6 038 D.6 587

10.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊5個人玩搶紅包游戲,現(xiàn)有4個紅包,每人最多搶1個,且紅包被全部搶完,4個紅包中有2個6元,1個8元,1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包),則甲、乙都搶到紅包的情況有( )。

A.18種 B.24種

C.36種 D.48種

11.一位射箭運動員在訓(xùn)練時只記射中9環(huán)和10環(huán)的成績,未擊中9環(huán)或10環(huán)就記為0環(huán)。該運動員在訓(xùn)練時擊中10環(huán)的概率為a,擊中9環(huán)的概率為b,既未擊中9環(huán)也未擊中10環(huán)的概率為c(a,b,c∈［0,1）),如果已知該運動員一次射箭擊中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán),則當取最小值時,c的值為( )。

12.設(shè)一個正三棱柱ABC-DEF,每條棱長都相等,一只螞蟻從上底面ABC的某頂點出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點,算一次爬行。假設(shè)它選擇三個方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10 次,仍然在上底面的概率為P10,則P10為( )。

二、填空題

13.已知,則x=_______。

14.有10個不同的小球,其中4個紅球,6個白球。若取到1個紅球記2分,取到1個白球記1分,現(xiàn)從10個球中任取4 個,使總分不低于5分的取法有_______種。

15.若(1-ax+x2)4的展開式中x5的系數(shù)為-56,則實數(shù)a的值為_______。

16.有4個大人,2個小孩組團去某景區(qū)旅游,準備同時乘觀光纜車,現(xiàn)有3輛不同的纜車可供選擇,每輛纜車最多可乘3人,為了安全起見,小孩乘纜車必須有大人陪同,則不同的乘車方式有______種。

三、解答題

17.用0,1,2,3,4,5,6 構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù),其中：

(1)能被25整除的數(shù)有多少個?

(2)設(shè)x、y、z分別表示個位、十位、百位上的數(shù)字,滿足x＜y＜z的數(shù)有多少個?

(3)偶數(shù)必須相鄰的數(shù)有多少個?

18.在研發(fā)新型冠狀病毒疫苗實驗中,某教授所帶的實驗小組為了分析某藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關(guān)系,選取6 只實驗動物進行血檢,得到如下資料(表2)：

表2

記s為抗體指標標準差,若抗體指標落在內(nèi),則稱該動物為有效動物,否則稱為無效動物。研究方案規(guī)定先從6只動物中選取2只,用剩下的4只動物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的2 只動物數(shù)據(jù)進行檢驗。

(1)求選取的2 只動物都是有效動物的概率。

(2)若選取的是編號為1和6的2 只動物,且利用剩余4只動物的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程為=0.17x+a,試求出a的值。

(3)若根據(jù)回歸方程估計出的1 號和6號動物抗體指標數(shù)據(jù)與檢驗結(jié)果誤差都不超過抗體指標標準差,則認為得到的線性回歸方程是可靠的。試判斷(2)中所得線性回歸方程是否可靠。

參考公式：樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的標準差：s=,其中為樣本平均數(shù)。

19.設(shè)(1+mx)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020(m∈R)。

(1)若m=2,求a1+2a2+… +2 020a2020的值;

(2)若m=-1,求的值。

20.在新中國成立七十周年之際,某市宣傳部為了了解每天晚上7：30～10：00 這2.5 h內(nèi)居民瀏覽“學(xué)習(xí)強國”的時間,進行了一個調(diào)查,如果這個社區(qū)共有成人按10 000人計算,每人每天晚上7：30～10：00打開“學(xué)習(xí)強國APP”的概率均為p(某人在某一時刻打開“學(xué)習(xí)強國”的概率p=,0＜p＜1),并且是否打開進行學(xué)習(xí)是彼此相互獨立的。他們統(tǒng)計了其中100名成人每天晚上瀏覽“學(xué)習(xí)強國”的時間(單位：min),得到下面的頻數(shù)表(表3)：

表3

以樣本中100名成人的平均學(xué)習(xí)時間作為該社區(qū)每個人的學(xué)習(xí)時間。

(1)試估計p的值。

(2)設(shè)X表示這個社區(qū)每天晚上打開“學(xué)習(xí)強國”進行學(xué)習(xí)的人數(shù),①求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X);②若隨機變量Z滿足Z=,可認為Z～N(0,1),假設(shè)當4 950＜X≤5 100時,表示社區(qū)處于最佳的學(xué)習(xí)氛圍,試由此估計,該社區(qū)每天晚上處于最佳學(xué)習(xí)氛圍的時間長度(結(jié)果保留為整數(shù))。

附：若Z～N(μ,σ2),則P(μ-σ＜Z≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ＜Z≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ＜Z≤μ+3σ)≈0.997 4。

21.在某省高中數(shù)學(xué)學(xué)科競賽中,某一個考區(qū)4 000 名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖3所示。

(1)求這4 000 名考生的競賽平均成績ˉx(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表)。

(2)由直方圖可認為考生競賽成績z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分別取考生的平均成績和考生成績的方差s2,那么該區(qū)4 000名考生成績超過84.81分的人數(shù)估計有多少人?

(3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計全省的參賽考生的成績情況,現(xiàn)從全省參賽考生中隨機抽取4 名考生,記成績不超過84.81 分的考生人數(shù)為ξ,求P(ξ≤3)。(精確到0.001)

附：①s2=204.75,=14.31;

②z～N(μ,σ2),則P(μ-σ＜z＜μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ＜z＜μ+2σ)=0.954 4;

③0.841 34=0.501。

22.從2021 年起很多省將實施新高考,2018年秋季入學(xué)的高一學(xué)生是新高考首批考生,新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語3 科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3科參加考試,每科目滿分100分。

為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級1 000名學(xué)生(其中男生550人,女生450人)中,采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進行調(diào)查。

(1)已知抽取的n名學(xué)生中含女生45人,求n的值及抽取到的男生人數(shù)。

(2)學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對在(1)的條件下抽取到n名學(xué)生進行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目),下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的2×2列聯(lián)表(表4)：

表4

請將上面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有99%的把握認為選擇科目與性別有關(guān),說明你的理由。

表5

參考公式：K2=

(3)在抽取到的45名女生中按分層抽樣再抽出9名女生,了解女生對“歷史”的選課意向情況,在這9名女生中再抽取4人,設(shè)這4人中含選擇“地理”的人數(shù)為X,求X的分布列及期望。