袁永祺，賈 真

(成都理工大學 地球物理學院，四川 成都 610059)

1 引 言

界面深度反演是重力異常定量地質解釋的常用方法，被廣泛應用于沉積盆地基底起伏和莫霍面形態(tài)的相關研究。根據(jù)算法的具體實現(xiàn)途徑可以將界面深度反演方法劃分為頻率域反演和空間域反演。頻率域方法最早是由Oldenburg[1]基于Parker[2]推導的頻率域重力異常正演公式提出的。該方法最早是針對二維界面深度的反演。后來，Granser[3]、Chai 和 Hinze[4]利用指數(shù)密度深度函數(shù)將該方法推廣到三維沉積盆地深度反演中。

關于空間域密度界面深度反演方法，Bott于1960年提出了一種根據(jù)重力異常計算二維沉積盆地基底深度的方法[5]。該方法以無限大均勻水平物質層重力異常公式為基礎，通過迭代不斷調整數(shù)據(jù)點正下方的物質層的深度，使得模型響應逐次逼近觀測重力異常。后來，一些學者考慮到了在實際地質條件下由于壓實作用造成密度隨深度變化，提出了變密度界面深度反演算法，并給出了不同的密度模型，包括指數(shù)衰減模型[6-9]、雙曲函數(shù)衰減模型[8,10,11]、線性模型[12-15]、二次函數(shù)模型[16-18]以及多項式模型[19,20]。由于階梯狀的棱柱模型不能精確地刻畫界面的精確形態(tài)，Guspí[19]采用了相對光滑的多邊形截面二度體作為反演模型。針對這種模型，后來，Zhou[21]提出了密度隨深度和水平位置變化的反演方法。

由于盆地基底實際上更接近于分段的連續(xù)三維表面，二維假設并不總是成立的。Cordell和Henderson[22]提出了一種三維界面反演方法。為了加快計算速度，重力異常計算點正下方界面單元為直立長方體，其他位置的界面單元為有限長的線質量。此后，在討論三維和2.5維反演的文獻中，學者們都是以直立長方體作為構造界面模型的基本單元[22-25]，相應的反演方法以Bott法[22,25,26]和非線性反演[22-24]為主。另外，還有學者提出利用擬退火算法[27]進行界面反演。

盡管截至目前學術界已經(jīng)提出過多種界面深度反演方法，但對不同方法的比較分析還相對較少。因此，本文基于模型試驗對Bott法和非線性反演的計算效率和適用性進行了詳細的討論和分析。

2 密度界面深度反演數(shù)學原理

2.1 密度界面模型及其重力異常的計算

作為研究對象的密度界面位于密度均勻的基底和密度隨深度變化的蓋層之間。密度界面是用相同大小的矩形來刻畫的，每個矩形對應著一個直立長方體(圖1)。在長方體內部，密度隨深度按以下函數(shù)關系變化[24]：

(1)

式(1)中，z為深度(km);Δρ0和Δρ(z)分別為地表和深度z上的剩余密度(g/cm3);α為常數(shù)。Δρ(z)和α的具體取值需要通過其他先驗信息(例如測井)確定。關于密度隨深度按照式(1)變化的直立長方體產生的重力異常，Chakaravarthi等人[24]給出了具體的計算方法，即將所有直立長方體的貢獻累加起來，就可以得到整個密度界面的重力異常。

2.2 反演算法

對于重力異常的界面反演，學者采用了兩種反演策略。一種是基于無限水平薄板的迭代算法，無需求解線性代數(shù)方程組，另一種是通過將非線性問題線性化并增加正則化因子保證方程穩(wěn)定的傳統(tǒng)非線性問題求解方法。

2.2.1 Bott法

在Bott法的反演計算過程中，界面單元中心點必須與重力數(shù)據(jù)點位于同一水平位置(圖2a)。

圖2 兩種反演方法對密度界面單元與觀測點之間關系的要求Fig.2 Prerequisite for the position of the gravity station and the interface elements

界面初始深度由(2)式確定[24]：

(2)

式中，(xi,yi)為第i個界面深度點和重力數(shù)據(jù)點的水平位置；gobs為觀測重力異常；Δρ0和α的含義同式(1)。求出界面深度初始值之后，再按照式(3)迭代求取界面深度：

(3)

式(3)中，G=6.67×1011N,m2/kg，為萬有引力常數(shù)；Δgcalc為界面密度模型的重力異常響應;zk和zk+1分別為第k次迭代前后的界面深度。如果達到指定的迭代次數(shù)，或者模型響應與實測數(shù)據(jù)的擬合差低于預先定義的閾值，則終止迭代[10]。

2.2.2 非線性反演

不同于Bott法，非線性反演方法對數(shù)據(jù)點的水平位置沒有特殊要求(圖2b)。該方法以界面深度為反演變量。為了保證反演過程的穩(wěn)定性需要引入額外的約束條件。本文采用的數(shù)學手段是吉洪諾夫正則化。引入約束條件后的反演問題可以表示為下面的最優(yōu)化問題[28-30]:

(4)

式(4)中，z為所有界面節(jié)點深度構成的向量;d和g分別為觀測異常和模型響應;λ>0為控制約束條件的正則化系數(shù);z0為界面深度初始值。由于界面深度與重力異常是非線性關系，式(4)所表示的最優(yōu)化問題可以通過高斯牛頓法求解。模型修正量通過式(5)計算：

Δzi=[JTJ+λITI]-1JT[d-g(zi)]

(5)

式(5)中，Δzi為第i次迭代計算后得到的模型增量，J為雅可比矩陣，I為單位矩陣。更新后的界面深度可以通過式(6)計算：

zi+1=zi+Δzi

(6)

式(6)中，zi+1和zi分別為第i次迭代前后的界面深度。

3 合成模型測試

為了對兩種算法進行對比分析，本文采用了一個水平尺度為300 km×400 km的界面模型(圖4a)，并按照2.1節(jié)中介紹的方法計算了重力異常 (圖4b)。界面以上的剩余密度按式(1)隨深度變化。這里，Δρ0=-0.5 g/cm3，α=0.171 1(圖3)。

圖3 剩余密度隨深度的變化Fig.3 Remnant density variation with depth

圖4 密度界面模型及其深度反演結果(剖面位置見(a)、(c)、(d))Fig.4 Density interface model and depth inversion results

圖4中展示了分別采用兩種反演算法所得到的計算結果。從圖中可以看出，兩種方法的反演效果十分接近。這里，x和y方向的界面節(jié)點個數(shù)分別取40和56。反演過程以模型響應與觀測異常之間的擬合差(2-范數(shù))小于100 mGal作為循環(huán)終止條件。在該條件下，Bott法和非線性方法的迭代次數(shù)分別為5次和3次(圖5)。這表明：若單獨以迭代次數(shù)作為評判標準，則非線性方法的收斂速度優(yōu)于Bott法。但是，在擬合差不變的情況下，Bott法反演的總耗時卻小于非線性方法，暗示后者單次迭代耗時比前者要多。

圖5 Bott和非線性方法收斂速度的比較Fig.5 Comparison of convergences speed between Bott′s and nonlinear methods

圖6 Bott法與非線性方法的耗時對比Fig.6 Computation of time comparison belotween Bott′s and nonlinear methods

為了對比兩種方法單次迭代的計算開銷，作者將反演次數(shù)設置為1次，并統(tǒng)計了包括初值計算在內的初次迭代時間隨界面節(jié)點個數(shù)的變化(圖6)。這里，x與y方向上的節(jié)點個數(shù)相等。例如，圖6中橫軸上的數(shù)字25表示x和y方向的節(jié)點個數(shù)均為5，即25=5×5，依此類推。顯然，Bott法在計算效率上相對于非線性方法而言具有跨數(shù)量級的優(yōu)勢，這是因為在非線性方法的每次迭代過程中都需要求解線性代數(shù)方程組，而與之相應的矩陣求逆需要耗費大量時間。與之相比，在利用Bott法進行反演的過程中，模型修正量的計算過程則相當簡單，時間主要消耗在模型響應的計算上。

4 結 論

針對重力異常界面深度反演，本文基于合成模型對Bott法和非線性方法展開了詳細的對比，并得到以下幾點認識：

1)兩種方法的反演結果沒有明顯差異。

2)若單獨以迭代次數(shù)作為評判標準，則非線性方法的收斂速度要優(yōu)于Bott法。

3)Bott法在單次迭代耗時和反演計算總時間均遠遠小于非線性方法。

然而，需要指出的是，盡管Bott法在計算效率上具有優(yōu)勢，但該方法要求重力數(shù)據(jù)點位與界面節(jié)點的水平位置——對應，且位于水平面上。與之相比，非線性反演對數(shù)據(jù)點的位置則沒有特殊要求。在實際勘探中，可根據(jù)研究區(qū)的客觀條件(例如地形起伏幅度)選擇合適的方法。