李帝銓,王 涵，胡艷芳，吳 桐，汪振興，蘇煜堤

(1.中南大學(xué) 有色金屬成礦預(yù)測與地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測教育部重點實驗室，湖南 長沙 410083;2.中南大學(xué) 有色資源與地質(zhì)災(zāi)害探測湖南省重點實驗室，湖南 長沙 410083;3.中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410083)

1 引 言

電磁場的振幅和相位與地下介質(zhì)的電阻性和電感性密切相關(guān)。理論研究表明，電磁場的振幅和相位是可以相互轉(zhuǎn)換的，它們所包含的地質(zhì)信息量是相同的，但相位曲線相比于振幅曲線，變化幅度更大，因此在一定地質(zhì)條件下相位具有更高的分辨能力。

實際勘探中，電磁法資料往往含有大量的電磁干擾[1,2]，導(dǎo)致難以準確拾取相位信息，因此，國內(nèi)外眾多學(xué)者開展了相位測量研究。相位測量的主要方法為模擬和數(shù)字方法兩種，由于數(shù)字方法成本低、適應(yīng)強、靈活度高，相位的測量逐漸向數(shù)字化方向發(fā)展。現(xiàn)階段數(shù)字測相法主要有相關(guān)分析法、希爾伯特變換法、正弦曲線擬合法、快速傅里葉變換(FFT)等[3-5]，它們各有優(yōu)缺點。

數(shù)字相關(guān)法在理論推導(dǎo)上和信號的頻率無關(guān)，所以對未知頻率的信號可以進行相位差測量，適合高頻正弦信號相位差的測量；可以有效抑制噪聲干擾。但是對于相關(guān)性強的干擾信號和諧波干擾，數(shù)字相關(guān)函數(shù)法在低信噪比下，測量誤差較大，只能測量正弦或余弦信號，對一般的周期信號無法測量。所以，數(shù)字相關(guān)法約束條件多需預(yù)知信號頻率且難以消除諧波干擾，分辨力受采樣間隔限制。希爾伯特變換使得對短信號和復(fù)雜信號的瞬時參數(shù)的定義及計算成為可能，能夠?qū)崿F(xiàn)真正意義上的瞬時信號的提取，然而，希爾伯特變換法對“同步采樣”要求較高，近似應(yīng)用于窄帶信號且只處理任何時刻為單一頻率的信號。正弦擬合法需要選擇適合的條件，擬合耗費大量時間。這些方法共同的缺點在于抗噪能力差，影響了他們在電磁法數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用效果[6]。

FFT方法是在數(shù)字化測量相位中比較常用的手段，其變換結(jié)果為復(fù)數(shù)，含有豐富的相位信息，運算效率高，相位測量可以克服時間間隔測量對隨機噪聲、諧波失真和零點漂移等比較敏感的缺陷，相較于相關(guān)分析法、希爾伯特變換法、正弦曲線擬合法,更加適合用于電磁相位信息的提取[7-12]。但FFT也存在兩個缺點：①頻譜泄漏會降低相位測量的精度；②需要嚴格的“同步采樣”[13-15]。

綜上所述，在實際應(yīng)用中，以加窗FFT為代表的相位測量算法存在抗噪能力差，相位信息難以精確提取的問題，導(dǎo)致相位信息難以利用。為了準確拾取相位信息，需要做到：①提高頻譜泄漏抑制能力；②不受“同步采樣”約束；③不受頻率偏離影響；④增加抗噪能力。

2 全相位FFT測相法

全相位數(shù)字信號處理是王兆華和侯正信提出的一種數(shù)字信號處理的新方法。2003年王兆華首次提出了“全相位譜分析(all-phase FFT，簡稱apFFT)”的概念，全是指整體，相位是指局部，是最大程度上進行重疊處理的方法[16]。全相位FFT方法是在離散傅里葉變換基礎(chǔ)上提出的測量相位的新方法，幾乎不受頻率偏離影響，具有更優(yōu)良的抑制頻譜泄漏性能，具有“相位不變”性，不需“同步采樣”就能獲得較為精確的相位信息，解決了以加窗FFT為代表的相位測量算法存在的問題，適用于電磁相位信息提取。

2.1 全相位FFT原理

全相位FFT主要是對輸入數(shù)據(jù)按照設(shè)計需求進行不同加權(quán)后，以中心數(shù)據(jù)作延拓重復(fù)處理，得到新的序列再進行FFT變換的方法。

例如一個信號序列為：

(1)

選取長度N=3的信號進行處理：

2.1.1 選取所有包含中心數(shù)據(jù)x(0)且長度N=3的序列

x0:x(0)x(1)x(2)

x1:x(-1)x(0)x(1)

(2)

x2:x(-2)x(-1)x(0)

2.1.2 進行序列的周期延拓

(3)

2.1.3 豎直方向求和，形成新的序列

(4)

則新序列為：

(5)

2.1.4 把新序列式進行FFT變換

上述過程可以簡化為圖1的處理流程：輸入信號經(jīng)過相應(yīng)延遲后對其進行數(shù)據(jù)加權(quán)，將間隔為N的數(shù)據(jù)兩兩疊加(中心數(shù)據(jù)除外)形成新的數(shù)據(jù)序列，再進行FFT就得到了apFFT的結(jié)果。

圖1 全相位FFT頻譜分析等效框圖(N=3)Fig.1 Equivalent diagram of all-phase processing (N=3)

2.2 傳統(tǒng)FFT與全相位FFT測相方法

圖2 全相位FFT的中心樣點相位估計Fig.2 Phase center sampling estimation of all phase FFT

傳統(tǒng)FFT與全相位FFT測相位利用的信號序列長度是不一樣的，繼續(xù)以上文信號序列為例：為估計樣點x(0)的相位值，傳統(tǒng)FFT法是選取x(0)到x(2)之間的N=3個數(shù)據(jù)來做FFT變換(圖2)，而全相位方法是選取了以x(0)為中心數(shù)據(jù)利用x(-2)到x(2)的2N-1=5個子數(shù)據(jù)，通過全相位的疊加選取主區(qū)間N=3個數(shù)據(jù)來進行FFT，這樣通過2N-1個數(shù)據(jù)進行疊加處理選取主區(qū)間數(shù)據(jù)的FFT變換使得頻譜有“全相位不變”的特性：主譜線上的相位譜值等于輸入序列的中心樣點相位的理論值，相位主線譜附近呈平坦狀，可降低頻率偏離的影響。下面將通過兩個例子來說明其性質(zhì)。

2.2.1 例1

給定一個信號y由頻率為11 Hz、24 Hz、35 Hz、65 Hz的余弦復(fù)合而成，采樣頻率為256 Hz，采樣點數(shù)為256，頻率分辨率為1 Hz(即譜線k對應(yīng)于相應(yīng)的頻率f，各自初始相位值為：30°、45°、60°、90°。

(6)

相應(yīng)的傳統(tǒng)加漢寧窗FFT和加漢寧窗apFFT相位譜如圖3所示。通過選取兩種方法的相位譜主線譜線處(k=11、24、35、65)的相位值，可得到apFFT和傳統(tǒng)FFT方法的相位譜值(表1)。

表1 apFFT和傳統(tǒng)FFT方法的相位譜值結(jié)果對照

圖3 多頻余弦信號傳統(tǒng)加漢寧窗FFT和加漢寧窗的apFFT相位譜Fig.3 FFT and apFFT phase spectrum of multifrequency cosine signal

從圖3的相位譜可看出兩者有著明顯的差別，傳統(tǒng)加漢寧窗FFT的相位譜值在其主譜線附近呈現(xiàn)躍變的“凹”狀，只有在對應(yīng)的主譜線相位譜值才準確，相位值的精度為10-5。而apFFT相位譜曲線比較平坦，在k=11、24、35、65處，測量的相位值與真實值30°、45°、60°、90°幾乎完全一致，精度高達到了10-9。且在主譜線周圍譜線上的相位值都非常接近于初相位值，這是“相位不變性質(zhì)”的突出表現(xiàn)。

2．2．2 例2

給定信號y由頻率為11.3 Hz、24.2 Hz、35.2 Hz、65.1 Hz的余弦復(fù)合而成，采樣頻率為256 Hz，采樣點數(shù)為256，頻率分辨率為1 Hz(即譜線對應(yīng)于相應(yīng)的頻率f，各自初始相位值為：30°、45°、60°、90°：

y=3cos(2π×11.3×t+π/6)

+4cos(2π×24.2×t+π/4)

+4cos(2π×35.2×t+π/3)

+2cos(2π×65.1×t+π/2)

(7)

頻率發(fā)生如式(7)所示的偏離時，相應(yīng)的傳統(tǒng)加漢寧窗FFT和加漢寧窗的apFFT相位譜如圖4所示。通過選取兩種方法的相位譜主線譜線處(k=11、24、35、65)的相位值，可得到apFFT和傳統(tǒng)FFT方法的相位譜值結(jié)果(表2)。

表2 頻率發(fā)生偏離時apFFT和傳統(tǒng)FFT方法的相位譜值結(jié)果對照

圖4 頻率偏離時傳統(tǒng)加漢寧窗FFT和加漢寧窗的apFFT相位譜Fig.4 apFFT and FFT phase spectrum of cosine signal when the frequency deviates from the expected value

由圖4和表2可知，在頻率發(fā)生偏離時，傳統(tǒng)的FFT相位譜曲線很亂，不能獲取準確的相位值，測量的相位值與真實值的偏離很大，這是由于“不同步采樣”情況導(dǎo)致測出的相位不準確；反觀apFFT的相位譜卻很平坦，且測量精度達到了10-7，這樣的精度意味著apFFT無需通過任何的校正措施從主譜線上就可得到高精度的初相位估計值。

由表1和表2可知，apFFT法測量信號相位初值精度高，沒發(fā)生頻率偏離時比傳統(tǒng)FFT高5個數(shù)量級，給定的信號頻率偏離時幾乎不受信號頻率偏離的影響，這說明apFFT不需要“同步采樣”，不需校正就獲得較準確的信號初始相位值，這就是apFFT方法“相位不變性”的突出特征。apFFT方法的“相位不變性”不但能準確獲得相位信息，還能通過apFFT相位差來進行頻譜校正，能更加準確地獲得干擾條件下的電磁信號相位信息。

3 仿真實驗

電磁法的信號往往會受到各種噪聲的干擾，噪聲大致分為：場源噪聲、地質(zhì)噪聲、人文噪聲和隨機噪聲，當(dāng)噪聲同信號混疊在一起的時候很難將二者區(qū)分開來[17,18]。

電磁法的典型噪聲干擾有：類脈沖噪聲、類充放電三角波噪聲、類方波噪聲、類階躍噪聲、工頻噪聲這幾種[2,19,20]。仿真在這幾類典型的噪聲條件下來測量相位，可有效地分析apFFT方法在噪聲條件下的應(yīng)用效果。

3.1 apFFT測相的抗噪性能

為驗證apFFT測量相位的抗噪性能，將apFFT與傳統(tǒng)的加窗FFT方法測得的相位結(jié)果進行比較。

實驗將譜分析的采樣點數(shù)N取2 048，采樣頻率2 048 Hz，兩個如式(8)所示的余弦疊加作為信號，在Matlab中產(chǎn)生仿真信號，在信號中加入三角波、矩形波、階躍波、10 dB高斯白噪、脈沖噪聲等，對比兩種方法提取電磁信號相位的性能。

(8)

分別采用傳統(tǒng)FFT方法和apFFT方法獲取20 Hz余弦信號頻率無偏離和頻率發(fā)生偏離時在不同噪聲條件下的相位值，獲得的譜值見表3和表4。

表3 分別加入相應(yīng)噪聲條件下的相位值(k=20)

表4 加入10 dB高斯白噪的情況下傳統(tǒng)FFT和apFFT的對比(k=20)Table 4 Comparison of FFT and apFFT with 10 dB Gaussian white noise (k=20)

圖5 純信號源波形、噪聲的波形、加噪信號波形Fig.5 Waveforms with pure signal, noise and noise signal

在三角波、方波、脈沖、階躍波噪聲條件下傳統(tǒng)的FFT測量的相位值較為準確，但發(fā)生頻率偏離時測量的相位值誤差較大。在相應(yīng)噪聲干擾下(表3)apFFT測量相位的精度比傳統(tǒng)FFT高，發(fā)生頻率偏離時能獲得較為準確的相位值。并且在加入三角波、方波、脈沖、階躍波噪聲的基礎(chǔ)上加入高斯白噪聲條件(表4)，得到apFFT與FFT的對比結(jié)果，apFFT依舊能獲得較準確的相位值，其相位測量誤差小于1 %。

3.2 apFFT在噪聲條件下測相區(qū)分有效信號能力

為驗證apFFT區(qū)分有效信號的能力，在仿真信號中加入了信噪比為25 db的高斯白噪聲、三角波、方波噪聲，采樣點數(shù)依舊為2 048，采樣頻率為2 048 Hz，采樣分辨率為1 Hz。

仿真信號為：

(9)

式中，f為變量，通過apFFT方法分別獲取f=20 Hz、20.5 Hz、21 Hz、22 Hz、23 Hz時的相位譜值，來分析apFFT在無噪和有噪條件下區(qū)分有效信號的能力。獲得的相位譜如圖6所示，主譜線的相位值列于表5和表6。

表5 未加入噪聲主譜線(k=20)周圍的相位譜值

表6 加入噪聲主譜線(k=20)周圍相位譜值

圖6 20 Hz余弦信號時不同頻率下的apFFT相位譜Fig.6 apFFT phase spectrum of 20 Hz cosine signal with different frequency components

由表5和表6可知，在頻率分辨率為1 Hz時，沒有噪聲條件下apFFT方法在相差2倍頻率分辨率情況下就精確獲取20 Hz和22 Hz的有效信號相位值；當(dāng)在噪聲條件下信號的頻率相差3倍頻率分辨率時才能獲取較好的有效信號相位值。由于“相位不變”的特性，當(dāng)有效信號頻率間隔變大時apFFT的相位譜平坦程度(圖6)變好，主線譜處的值由躍變而變得平坦，因此平坦程度受到噪聲和有效信號間隔的影響。

全相位apFFT方法受到典型噪聲干擾影響下區(qū)分有效信號的能力較好，區(qū)分的能力會受到噪聲影響，但由于“相位不變”特性使得其受到影響較小。由于電磁法工程勘探中易受到典型噪聲干擾影響，因此初步判斷電磁法工程勘探中運用apFFT方法拾取相位信息能取得好的效果。

4 結(jié) 論

本次研究將apFFT和傳統(tǒng)FFT進行對比分析，得到以下結(jié)論：

1)apFFT法具有傳統(tǒng)加窗FFT法所具有的優(yōu)點，能有效地抑制高斯噪聲，對電磁法典型的干擾波噪聲有著良好的抑制效果。

2)apFFT測量的相位譜值無須校正措施就有著很高的精確度，“相位不變性”有著幾乎不受頻率偏離影響的特性，相位精度高于傳統(tǒng)加窗FFT法，且測得的是數(shù)據(jù)的瞬間相位，不需要參考波形。

3)apFFT測相在干擾條件下區(qū)分有效信號能力比較好，能有效地在頻率密集的時候區(qū)分有效信號。

4)apFFT方法處理數(shù)據(jù)簡單、計算量較小、測量精度較高，對于拾取有效的電磁法相位信息具有廣泛的應(yīng)用前景，下一步將對電磁法相位信息提取做進一步試驗。