蘇宇， 蔣德富

(河海大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，江蘇,南京 213022)

線性調(diào)頻連續(xù)波(linear frequency modulation continuous wave, LFMCW)雷達(dá)具有體積小、成本低、精度高、無(wú)距離盲區(qū)、低截獲(low probability of intercept, LPI)等優(yōu)點(diǎn)，已廣泛應(yīng)用于軍用導(dǎo)航、戰(zhàn)場(chǎng)偵查監(jiān)視、成像等系統(tǒng)中[1-3]. LFMCW雷達(dá)的波形具有時(shí)寬積大、峰值功率低等特點(diǎn)，給電子偵查中非合作檢測(cè)帶來(lái)了巨大的困難. 因此，在低信噪比(signal to noise ratio，SNR)下，研究對(duì)LFMCW波形進(jìn)行可靠的恒虛警率(constant false alarm rate, CFAR)檢測(cè)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

文獻(xiàn)[4-8]中采用周期Wigner-Ville Hough變換(periodic Wigner-Ville Hough transform，PWVHT)、周期Choi-Williams Hough變換(periodic Choi-Williams Hough transform，PCWHT)、周期分?jǐn)?shù)階傅里葉變換 (periodic fractional Fourier transform，PFRFT)、Radon-Ambiguity變換(Radon-Ambiguity transform，RAT) 、短時(shí)傅里葉變換(short time Fourier transform， STFT)的方法，從參數(shù)估計(jì)的角度對(duì)LFMCW信號(hào)進(jìn)行分析，在時(shí)頻聚焦性[4-6]、減少計(jì)算量[7-8]、抗噪聲方面具有優(yōu)良的性能. 參數(shù)估計(jì)的前提是有效的信號(hào)檢測(cè)，然而，這些方法未能對(duì)檢測(cè)模型進(jìn)行分析，以對(duì)低信噪比情況下的截獲信號(hào)進(jìn)行可靠的CFAR檢測(cè). 陳旭敏等[9]采用蒙特卡洛(Monte-Carlo)實(shí)驗(yàn)的方法，對(duì)Wigner-Ville Hough變換(Wigner-Ville Hough transform，WVHT)、PWVHT、累積WVHT(Cumulative WVHT，CWVHT)算法中時(shí)頻域虛警門限進(jìn)行設(shè)定，沒(méi)有對(duì)隨機(jī)信號(hào)的分布特性進(jìn)行分析，檢測(cè)性能并不可靠. 王澤眾等[10-11]分別對(duì)隨機(jī)信號(hào)經(jīng)過(guò)周期Wigner-Hough變換(periodic Wigner-Hough transform，PWHT)、PFRFT算法處理后的分布特性進(jìn)行分析，得到符合卡方分布的信號(hào)模型，由卡方分布的概率密度函數(shù)(probability density function，PDF)進(jìn)行固定虛警率下的檢測(cè)門限的設(shè)定. 王杰等[12]分析了隨機(jī)信號(hào)經(jīng)過(guò)單窗口加權(quán)并進(jìn)行離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)后頻域信號(hào)的分布特性，得出頻域包絡(luò)呈Rayleigh分布的結(jié)論，根據(jù)Rayleigh分布的PDF設(shè)定頻域CFAR門限. 上述算法[9-12]雖然能對(duì)低SNR的LFMCW信號(hào)進(jìn)行CFAR檢測(cè)，但是算法實(shí)施的前提是對(duì)噪聲功率進(jìn)行可靠的統(tǒng)計(jì)，然而在復(fù)雜的電磁環(huán)境中，統(tǒng)計(jì)出的噪聲功率可能是不準(zhǔn)確的，甚至是錯(cuò)誤的，而且在截獲過(guò)程中噪聲功率可能是變化的，非平穩(wěn)的，這些因素都極大地限制著上述檢測(cè)算法的應(yīng)用范圍.

本文在Thomson多正交窗諧波分析方法的基礎(chǔ)上[13]，提出一種對(duì)截獲的LFMCW信號(hào)進(jìn)行分段多正交窗口加權(quán)的檢測(cè)算法. 采用離散長(zhǎng)球序列(discrete prolate spheroidal sequences，DPSS)對(duì)信號(hào)進(jìn)行加權(quán)離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)處理，通過(guò)合理的假設(shè)和一系列復(fù)雜的變換，得出與噪聲功率無(wú)關(guān)的CFAR檢測(cè)模型. 該算法是在短時(shí)傅里葉變換(short time Fourier transform, STFT)的基礎(chǔ)上提出的，傳統(tǒng)的STFT方法采用單個(gè)窗加權(quán)，本文采用多個(gè)正交窗對(duì)序列進(jìn)行加權(quán)，增加了一維自由度，從而便于推導(dǎo)出與噪聲無(wú)關(guān)的CFAR檢測(cè)模型. 與傳統(tǒng)算法[9-12]相比，該算法優(yōu)點(diǎn)在于：

① 傳統(tǒng)算法需要假定噪聲在截獲過(guò)程中符合平穩(wěn)高斯分布，這在復(fù)雜電磁環(huán)境中往往很難滿足，本文所采用的算法只需假定噪聲在時(shí)間窗內(nèi)符合平穩(wěn)高斯分布，具有更普遍的適用性；

② 本算法中，門限值的設(shè)定只與窗的個(gè)數(shù)和虛警概率有關(guān)，與噪聲功率無(wú)關(guān)，因此無(wú)需對(duì)噪聲功率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，避免了統(tǒng)計(jì)誤差導(dǎo)致的虛警率變化，增加了算法的適用性和可靠性；

③ 采用了離散長(zhǎng)球序列，也叫Slepian序列，對(duì)信號(hào)進(jìn)行加權(quán). Slepian序列加權(quán)是一種使得主瓣能量占總能量最大化的加權(quán)技術(shù)，信號(hào)能量更加集中于主瓣，因此可以提高估計(jì)算法的穩(wěn)定性[14].

1 LFMCW信號(hào)截獲模型

為了獲得信號(hào)的幅度和相位信息，截獲接收機(jī)通常采用模擬正交下變頻或者數(shù)字正交下變頻的技術(shù)[15]，將截獲信號(hào)由實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)信號(hào)，因此本文采用復(fù)數(shù)模型對(duì)截獲信號(hào)進(jìn)行建模和分析處理. LFMCW信號(hào)的形式主要有兩種，即鋸齒波信號(hào)和三角波信號(hào)，為了便于分析，本文采用鋸齒波線性調(diào)頻連續(xù)波(sawtooth LFMCW，SLFMCW)信號(hào). 雷達(dá)偵查接收機(jī)截獲的SLFMCW信號(hào)可以表示為

ω(n)=x(n)+ω(n).

(1)

2 頻域恒虛警檢測(cè)

本文采用假設(shè)檢驗(yàn)的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，并說(shuō)明了如何通過(guò)設(shè)定檢測(cè)門限V來(lái)控制虛警概率PFA，這里的虛警是指在窗內(nèi)對(duì)某個(gè)信號(hào)參數(shù)的錯(cuò)誤檢測(cè). 將式(1)表示的截獲信號(hào)等分成多個(gè)時(shí)間序列，在時(shí)間序列μk內(nèi)構(gòu)建二元假設(shè)檢驗(yàn)：

H0:rn,k=ωn,k,

H1:rn,k=xn,k+ωn,k.

(2)

式中：rn,k表示第k時(shí)間序列中第n采樣點(diǎn)的值；xn,k為信號(hào)項(xiàng)；ωn,k為誤差項(xiàng). 這里第k時(shí)間序列可表示為

μk={n:(k-1)N≤n≤kN}.

(3)

文獻(xiàn)[16]通過(guò)構(gòu)造時(shí)間序列μk內(nèi)單個(gè)LFMCW信號(hào)的模型，以μk內(nèi)最小頻譜偏移為準(zhǔn)則得出結(jié)論：當(dāng)Tobs?NTs時(shí)，可以設(shè)定N的最大值為

(4)

根據(jù)上述近似平穩(wěn)的設(shè)定，在時(shí)間序列μk內(nèi)可把信號(hào)xn,k近似看成一系列諧波信號(hào)的和，建立如下短時(shí)諧波模型(short time harmonic model，STHM)：

(5)

式中：Lk≤M表示第k時(shí)間序列里截獲信號(hào)的個(gè)數(shù)；Ac,k，fc,k分別表示第k時(shí)間序列里第c個(gè)信號(hào)的幅度和載頻.

在紐曼-皮爾遜準(zhǔn)則下，定義時(shí)間窗μk內(nèi)虛警概率PFA和檢測(cè)概率PD分別為

(6)

式中：Pr{A|B}為條件概率，指在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率.

(7)

在仿真中，虛警概率與檢測(cè)概率皆采用平均虛警概率和平均檢測(cè)概率表示.

基于上述μk內(nèi)STHM的建立，在下文中，先給出單個(gè)窗加權(quán)算法下PFA與門限V的關(guān)系，然后對(duì)多正交窗加權(quán)下的信號(hào)進(jìn)行分析，并推導(dǎo)出其對(duì)應(yīng)的CFAR模型.

2.1 單窗口檢測(cè)

(8)

式中：V1為檢測(cè)門限；PFA為虛警概率.

由上述分析可知，單窗口方法是采用單個(gè)窗函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行加權(quán)DTFT處理，頻域CFAR門限的設(shè)定與窗寬度N、噪聲功率σ2及虛警概率PFA有關(guān). 因此在實(shí)際工程中，在信號(hào)到來(lái)之前，需要對(duì)σ2進(jìn)行估計(jì)，而且需要假定在信號(hào)觀測(cè)時(shí)間Tobs內(nèi)，噪聲是平穩(wěn)高斯分布的. 在復(fù)雜電磁環(huán)境中，對(duì)于LFMCW信號(hào)，這種條件很難滿足，且CFAR檢測(cè)的前提是σ2的準(zhǔn)確估計(jì)，任何誤差都可能導(dǎo)致虛警率的變化.

2.2 多窗口檢測(cè)

為了解決上述單窗口算法不適用于復(fù)雜電磁環(huán)境中對(duì)LFMCW信號(hào)進(jìn)行CFAR檢測(cè)的問(wèn)題，在本節(jié)中，采用多窗口諧波分析的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析. 基于式(5)中STHM模型，推導(dǎo)出與噪聲功率σ2無(wú)關(guān)的CFAR檢測(cè)算法，該算法的推導(dǎo)可分為如下幾個(gè)步驟.

步驟1 采用Slepian窗加權(quán)DTFT.

為了便于分析，假設(shè)在時(shí)間序列μk內(nèi)只有一個(gè)單頻信號(hào)f1,k存在的情況，模型如下：

rn,k=A1,kej2πf1,knTs+ωn,k.

(9)

利用Slepian窗對(duì)上式進(jìn)行加權(quán)求DTFT:

(10)

了部分Slepian窗的時(shí)域和頻域形狀，其中N=64，W=5/N，Q≤9. 由圖中可以看出，第0和第1個(gè)窗函數(shù)主瓣能量較為集中，第8個(gè)窗函數(shù)能量比較分散. 在實(shí)際應(yīng)用中，設(shè)計(jì)Slepian窗函數(shù)步驟如下：

① 確定窗寬度N；

② 確定窗分辨率帶寬W；

③ 由N和W確定Q的最大值，調(diào)用Matlab指令h=dpss(N,NW,Q)產(chǎn)生Q個(gè)Slepian窗，h為N×Q的矩陣，hn,q為矩陣的系數(shù). 特別地，當(dāng)Q=1時(shí)，產(chǎn)生單個(gè)Slepian窗，其性能將在后文中分析.

步驟2 建立線性統(tǒng)計(jì)模型估計(jì)幅度A1,k.

(11)

將式(11)帶入式(10)可以得到

(12)

當(dāng)f=f1,k時(shí)，式(12)可寫(xiě)為

(13)

(14)

(15)

步驟3 建立分布函數(shù)并推導(dǎo)出CFAR模型.

文獻(xiàn)[19]對(duì)式(13)中線性模型進(jìn)行了詳細(xì)的分析，得出了以下性質(zhì).

(16)

(17)

即Dk(f1,k)服從自由度為2,2Q-2的F分布. 結(jié)合式(6)可得

PFA=Pr{Dk(f1,k)>V2|H0}=

(18)

結(jié)合F分布的概率密度函數(shù)可以得到門限與虛警概率的關(guān)系[17]為

(19)

與式(8)相比，式(19)中門限V2的大小只與窗個(gè)數(shù)Q以及虛警概率有關(guān)，與噪聲功率無(wú)關(guān)，因此無(wú)需對(duì)噪聲功率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

3 仿真結(jié)果及分析

k=1,2,…,K.

(20)

設(shè)定非平穩(wěn)噪聲功率變化規(guī)律如下：

(21)

式中,α>0為噪聲功率變化增益. 在下面的實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定信噪比為信號(hào)功率與σ2的比值.

圖3為本算法在非平穩(wěn)噪聲狀態(tài)下檢測(cè)概率的信噪比曲線. 由圖3(a)可得單個(gè)SLFMCW 信號(hào)的檢測(cè)性能優(yōu)于多個(gè)SLFMCW信號(hào)；低調(diào)頻斜率的信號(hào)的檢測(cè)性能優(yōu)于高調(diào)頻斜率的信號(hào). 因?yàn)閷?duì)于固定的窗長(zhǎng)N，由于分辨率2W的限制，多個(gè)信號(hào)之間會(huì)相互干擾，影響載波頻率的測(cè)量；相對(duì)于高調(diào)頻斜率信號(hào)，低調(diào)頻斜率產(chǎn)生更小的頻譜偏移，因此具有更好的檢測(cè)性能. 分析圖3(b)可知：通過(guò)增加窗的個(gè)數(shù)可以提高檢測(cè)概率，但是窗個(gè)數(shù)Q的變大，會(huì)增加運(yùn)算量，降低分辨率，因此在實(shí)際工程中，需要在計(jì)算量和檢測(cè)性能之間做出取舍，以取得滿足需求的檢測(cè)性能. 圖3(c)分析了不同虛警率下檢測(cè)概率與α的關(guān)系，可以看出，在信號(hào)截獲過(guò)程中，本文所提算法的檢測(cè)性能可以實(shí)時(shí)跟蹤信噪比的變化，當(dāng)信噪比增大時(shí)，檢測(cè)性能可以實(shí)時(shí)的提高. 圖3(d)分析了不同分辨率帶寬下檢測(cè)概率與窗寬度的變化關(guān)系. 由圖示可得，窗長(zhǎng)度在112左右的時(shí)候檢測(cè)性能最優(yōu). 窗長(zhǎng)過(guò)小，DTFT積累點(diǎn)數(shù)少，SNR增益不夠，檢測(cè)性能不高；窗長(zhǎng)過(guò)大，頻譜擴(kuò)散大，同樣會(huì)降低檢測(cè)性能. 在實(shí)際工程中，窗長(zhǎng)度需要根據(jù)檢測(cè)對(duì)象的假定最大斜率設(shè)置. 對(duì)于相同的窗長(zhǎng)度，分辨率帶寬越大，對(duì)應(yīng)的窗個(gè)數(shù)越多，檢測(cè)性能越好.

圖4將本文所提算法與單窗口算法在時(shí)域非平穩(wěn)噪聲情況下檢測(cè)性能進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)中設(shè)定虛警概率為10-3，Q=29，M=1，單窗口窗函數(shù)選擇矩形窗、Hamming窗和Kaiser窗，其中凱撒窗的分辨率帶寬與本文所采用的Slepian窗相同. 圖4(a)采用Monte Carlo實(shí)驗(yàn)的方法，分析虛警概率隨α變化的規(guī)律.α從0開(kāi)始，以0.1為步長(zhǎng)遞增至5，每個(gè)α值做200次實(shí)驗(yàn). 可以看出，本文提出多窗口檢測(cè)算法在不同α下仍能保持穩(wěn)定的虛警概率，而單窗口算法的虛警概率隨著α的增大而增大. 該實(shí)驗(yàn)表明了在信號(hào)截獲過(guò)程中，即使噪聲功率譜隨時(shí)間變化而變化，本文所提算法仍能做到恒虛警率，而傳統(tǒng)單窗口算法無(wú)法做到這一點(diǎn). 圖4(b)分析了多個(gè)Slepian窗與單個(gè)窗檢測(cè)性能隨信噪比變化的關(guān)系，其中Slepian窗與凱撒窗函數(shù)的分辨率相同. 由圖示可知，單個(gè)Slepian窗檢測(cè)性能略高于凱撒窗，隨著窗個(gè)數(shù)的增加，本文所提出的多窗口算法的檢測(cè)性能也隨之提高，在低SNR下，性能差異尤其明顯.

圖5為本算法在高斯色噪聲背景下與傳統(tǒng)單窗口算法性能對(duì)比. 高斯色噪聲的特點(diǎn)是噪聲功率譜密度在頻域非平穩(wěn)，通常由外部強(qiáng)干擾源產(chǎn)生，通過(guò)接收機(jī)帶通濾波后成為相關(guān)的高斯噪聲. 圖5(a)采用Monte Carlo實(shí)驗(yàn)的方法分析了不同窗函數(shù)虛警概率與設(shè)定值之間的差異. 實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定兩種濾波器帶寬，為2,40 MHz，分布對(duì)應(yīng)于實(shí)際應(yīng)用中的窄帶瞄準(zhǔn)式干擾和寬帶阻塞式干擾，濾波器通帶波動(dòng)0.001 dB，阻帶衰減60 dB. 由于包括本文所提出的算法在內(nèi)的頻域CFAR檢測(cè)算法皆要求噪聲是非相關(guān)的，因此無(wú)法實(shí)現(xiàn)在色噪聲背景下CFAR檢測(cè). 圖中窗口1代表帶寬設(shè)置為2 MHz，窗口2代表帶寬設(shè)置為40 MHz. 由圖示可以看出，隨著干擾噪聲帶寬的增加，在短時(shí)窗內(nèi)噪聲之間的相關(guān)性減弱，因此虛警概率逐漸接近設(shè)定值，且本文所提出的算法相對(duì)于單窗口的算法的虛警概率總體上更加接近設(shè)定值. 圖5(b)為不同信噪比下，多正交窗與單窗加權(quán)方法檢測(cè)概率的對(duì)比，此時(shí)的信噪比定義為信號(hào)功率與濾波之前的噪聲功率之比，濾波帶寬設(shè)置為20 MHz，虛警概率設(shè)置為10-4. 由圖中可以看出，對(duì)于窄帶干擾噪聲，即使噪聲功率很高，本文所提出的算法檢測(cè)概率仍然很大；對(duì)于寬帶干擾噪聲，檢測(cè)概率隨著干擾帶寬的增加而減小，但是仍然高于傳統(tǒng)單窗口算法. 因此可以得出結(jié)論，本文所提出的算法在色噪聲背景下，性能仍然優(yōu)于傳統(tǒng)的單窗口加權(quán)算法.

圖6將本文所提出的算法與單窗口算法在參數(shù)估計(jì)上進(jìn)行對(duì)比，單窗口選擇凱撒窗以及單個(gè)Slepian窗，以在相同的分辨率條件下進(jìn)行對(duì)比. 圖5(a)為采用本文所提算法與單個(gè)Slepian以及凱撒窗對(duì)任一時(shí)間段μk進(jìn)行加權(quán)FFT的結(jié)果圖，由圖可以看出單個(gè)Slepian窗的性能與凱撒窗相似，主瓣略窄，第一旁瓣略高. 隨著窗個(gè)數(shù)的增加，Slepian窗加權(quán)后的頻譜主瓣變窄，旁瓣降低，能聚集性隨之提高，因此頻率估計(jì)結(jié)果更加穩(wěn)定. 3種窗函數(shù)在不同信噪比下對(duì)不同時(shí)間段上頻率估計(jì)方差的平均值如圖5(b)所示，由圖可以看出單個(gè)Slepian窗參數(shù)估計(jì)方差略低于凱撒窗，而本文所提出的多正交窗加權(quán)的方法估計(jì)方差明顯小于二者，在參數(shù)估計(jì)上比單個(gè)窗函數(shù)性能更優(yōu)，且性能可以隨著窗個(gè)數(shù)的增加進(jìn)一步提高.

4 結(jié) 論

本文針對(duì)LFMCW信號(hào)的截獲，提出了一種分段多正交窗加權(quán)的算法，并推導(dǎo)出與噪聲功率無(wú)關(guān)的CFAR模型. 相對(duì)于傳統(tǒng)采用單個(gè)窗加權(quán)的算法，本文所提算法在檢測(cè)概率、能量聚集性、和頻率估計(jì)方面具有更優(yōu)的性能，且算法性能可以隨著窗個(gè)數(shù)的增加而提高. 后續(xù)工作需要在此基礎(chǔ)上研究LFMCW信號(hào)的參數(shù)估計(jì)、分選、識(shí)別以及實(shí)時(shí)計(jì)算等問(wèn)題.