許衛(wèi)麗

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

在過去的幾十年里，曲線的發(fā)展問題受到了很大關(guān)注，其中較為經(jīng)典的一個(gè)曲線流如下：

它是一種周長和所圍成的面積都隨著時(shí)間的增加而減小的曲線流，也即是一種收縮流．Gage等[1-3]在此基礎(chǔ)上研究了平面上的其他封閉凸曲線，這些曲線流在有限的時(shí)間內(nèi)收縮到一個(gè)點(diǎn)．近幾年，人們通過改變曲線流的速度，也即是說通過把等式（1）中的曲率κ改成由曲率、曲線的長度和曲線所圍成的面積構(gòu)成的函數(shù)，從而創(chuàng)造出各種各樣的曲線流[4-8]．此外，文獻(xiàn)[9-13] 還介紹了其他情況的曲線流．最近的一篇文獻(xiàn)[14]介紹了一種由保長度的曲線流和一種保面積的曲線流組合成的曲線流．很自然地，我們就會(huì)想到能否把前人研究的一種保長度的曲線流與另一種其他的曲線流組成新的曲線流．據(jù)此，本文用文獻(xiàn)[7]中的保長度的曲線流和文獻(xiàn)[15]中的一種周長以及所圍成的面積都隨著時(shí)間的增加而增大的曲線流組合成新的曲線流，具體如下：

其中0≤λ≤1，初始曲線的方程為X（u , 0）= X0（u）．

定理1 假設(shè) X0（u）是平面上的光滑且封閉的凸曲線，對(duì)于任意的時(shí)間 t ∈ ［ 0, + ∞ ），方程（2）的解存在且保持凸性．曲線的長度和曲線所圍成的面積都是隨著時(shí)間的增加而增大，且它們都有上界．當(dāng)時(shí)間t→+∞，曲線 X （u, t）在C∞范數(shù)下收斂到一個(gè)有限圓．

1 預(yù)備知識(shí)

由于改變曲線流方程的切向分量僅影響曲線流的參數(shù)表示，我們選擇合適的切向分量η來簡(jiǎn)化計(jì)算．考慮以下等效方程：

引入弧長參數(shù) s = s （u, t），記 g （u,t） =是切向量的長度，弧長的微分可以寫成 d s = g（u,t） du ．假設(shè)θ是x軸的正方向與切向分量T之間的角，在方程（3）下，發(fā)展曲線的幾何量發(fā)展方程如下：

由此可以注意到曲線的長度L以及它所圍成的面積A都是不依賴η的．通常來說，θ是關(guān)于u和t的函數(shù)．為了使θ只是關(guān)于u的函數(shù)，與時(shí)間t獨(dú)立，即由（7）式可以得到：

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以用參數(shù)（θ, τ ）代替參數(shù)（u,t）．曲率的發(fā)展方程可以寫為：

接下來將研究與方程（2）等價(jià)的曲線流的發(fā)展問題：

2 長度和面積都是增加的且有上界

這一部分將給出下面的證明．

定理2 曲線按照（2）式發(fā)展，在發(fā)展過程中，曲線的長度和它所圍成的面積都是隨著時(shí)間的增加而增大并且有上界．當(dāng)t趨于無窮大的時(shí)候，等周差24πLA-隨著時(shí)間的增大逐漸減少并收斂到0．

更重要的是，我們有：

對(duì)上述不等式兩邊積分得：

結(jié)合經(jīng)典的等周不等式，易知，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí)，等周差24πLA-隨著時(shí)間的增加而減少并收斂到0．

從方程（8）和（14）可以很容易地得到：

3 凸性和長時(shí)間存在性

這一部分將用與文獻(xiàn)[8]同樣的方法來證明曲線流（2）的凸性和長時(shí)間存在性．

引理1 曲線流（13）的曲率發(fā)展方程可以轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)熱方程，它的解在任意時(shí)刻都存在．證明：由（12）式可以得到：

引理2 若一條封閉的凸曲線按照方程（13）發(fā)展，則曲線流在發(fā)展過程中始終保持是凸的．

曲線流的支撐函數(shù)是光滑的并有全局存在性，下面將運(yùn)用支撐函數(shù)的這種特性得到曲線流的長時(shí)間存在性．

引理3 支撐函數(shù)的發(fā)展方程如下：

通過直接計(jì)算，就可證明該引理．

引理4 支撐函數(shù)p存在于區(qū)間（0,2π）×［0,∞），且滿足

4 定理1的證明

如果曲線按照方程（2）發(fā)展，根據(jù)定理 2可知，曲線的長度和它所圍的面積是隨著時(shí)間的增加而增大的．通過引理2可知，曲線流在發(fā)展過程中保持凸性．從引理4和引理5可知支撐函數(shù)的全局存在性，因此曲線流的方程（13）與方程（2）等價(jià)．此外，由文獻(xiàn)[16]中的 Bonnesen不等式即曲線在C∞范數(shù)下收斂到有限圓．