陳玉驥 ，郭浩宇 ,羅旗幟 ，2，馬鎮(zhèn)航

（1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院交通與土木建筑學(xué)院，廣東佛山528000；2.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙410082）

壓桿臨界荷載的計算有解析法、數(shù)值法、能量法和半解析法等［1-9］。其中，瑞利-里茲法（Rayleigh-Ritz method）是計算壓桿臨界荷載的常見方法之一。用瑞利-里茲法計算時，需要假設(shè)撓曲線函數(shù)，撓曲線函數(shù)的假設(shè)與計算精度密切相關(guān)。一般而言，若撓曲線函數(shù)滿足所有內(nèi)力邊界條件和位移邊界條件，則計算精度較高。若撓曲線函數(shù)只取一項，雖然較簡，但通常計算精度較差，除非所設(shè)撓曲線函數(shù)與實際情況十分接近（這樣的假設(shè)比較困難）。取撓曲線函數(shù)兩項甚至更多項，雖然計算精度可以提高，但因為能量積分較復(fù)雜且要涉及求解階數(shù)大于1的穩(wěn)定方程（特征方程），故相應(yīng)計算量較大。對于階梯形變截面壓桿，按上述算法，不管是撓曲線函數(shù)取一項，還是取多項，由于都用一個撓曲線函數(shù)表示整個桿件的位移，故即使?jié)M足所有邊界條件，以及在截面突變點，可以滿足位移和轉(zhuǎn)角連續(xù)條件，但因在截面突變點左右桿段抗彎剛度EI不同，故彎矩不連續(xù)，因而導(dǎo)致計算精度不高，除非撓曲線函數(shù)取較多的項，但相應(yīng)會大幅增加計算量。

本文在撓曲線函數(shù)取一項的基礎(chǔ)上，通過進(jìn)行修正，使得在截面突變點，彎矩也可以滿足連續(xù)條件。算例表明，以這樣經(jīng)過修正的撓曲線函數(shù)計算，可顯著提高變截面壓桿臨界荷載的計算精度。

1 計算思路

對于階梯形變截面壓桿，桿件由若干等截面桿段組成。計算其臨界荷載時，若撓曲線函數(shù)y（x）取

式中，A為任意參數(shù)，φ（x）為滿足邊界條件的位移試函數(shù)。則根據(jù)瑞利-里茲法可得壓桿的臨界荷載

式中，Ii為壓桿在等截面桿段區(qū)間［xi，xi+1］的桿件截面慣性矩，m為等截面桿段總數(shù)。若撓曲線函數(shù)取n項

式中，Ai為任意參數(shù)，φi（x）為滿足邊界條件的位移試函數(shù)項，n為位移試函數(shù)總項數(shù)。則由能量變分原理

得齊次方程組

由相應(yīng)的穩(wěn)定方程，即可確定臨界荷載。

2 算例

圖1 變截面懸臂壓桿

解1為了便于考察以下各種結(jié)果的精度，先確定該壓桿臨界荷載的精確解。文[10]中推導(dǎo)的兩段階梯形變截面懸臂壓桿臨界荷載的穩(wěn)定方程為

對圖1所示壓桿，穩(wěn)定方程為

解2 撓曲線函數(shù)取一項（冪函數(shù)），設(shè)［10］

解3 撓曲線函數(shù)取兩項,設(shè)［10］

解4 根據(jù)兩個等截面桿段對應(yīng)區(qū)間，分別假設(shè)撓曲線函數(shù)。其中，在區(qū)間［0，l/4］，仍然采用解2所設(shè)撓曲線函數(shù)；在區(qū)間［l/4，l］，則以在區(qū)間［0，l/4］桿段所設(shè)撓曲線函數(shù)中加入修正項來作為該桿段的撓曲線函數(shù)。該修正項的設(shè)置，必須保證在截面突變點滿足連續(xù)條件。即在x=l/4時，修正項對應(yīng)的撓度和轉(zhuǎn)角為0，整個位移所對應(yīng)的彎矩保持連續(xù)；此外在端點x=l處還需滿足彎矩為0的條件。由于解2所設(shè)撓曲線函數(shù)可以滿足圖1所示壓桿兩端點的邊界條件，故修正項可將其移軸l/4并將跨度改為區(qū)間［l/4，l］的跨度3l/4而得出。按照以上思路，假設(shè)撓曲線函數(shù)為

將該撓曲線函數(shù)代入（2）式，可求出

與精確解比較，誤差0.154%?？梢?，該解的精度較未進(jìn)行修正的解2和解3有了明顯的提高。

解7 區(qū)間［l/4，l］采用解5所設(shè)撓曲線函數(shù)；對于區(qū)間［l/4，l］，在解5所設(shè)撓曲線函數(shù)中加入修正項，其思路與解4的相同。設(shè)

3 結(jié)語

通過以上計算表明，本文給出的修正項設(shè)置方法，可以大幅度提高計算精度，而計算量遠(yuǎn)較增加位移試函數(shù)項數(shù)要小，說明本文方法是階梯形變截面壓桿臨界荷載的一種較精確算法。