姜俊帥，劉慶杰，王家祿

(中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院提高采收率國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083)

隨著非常規(guī)油氣勘探開發(fā)技術(shù)的不斷發(fā)展，致密油藏已成為全球非常規(guī)石油勘探開發(fā)的重要領(lǐng)域[1-3]。美國(guó)開發(fā)致密油藏的主要模式是水平井體積壓裂后進(jìn)行衰竭式開采[4-5]。由于美國(guó)致密油藏多為異常高壓油藏，壓力系數(shù)為1.35～1.80，故衰竭式開采的采收率可達(dá)9.2%～16%[6]。當(dāng)前，中國(guó)致密油藏開發(fā)主要借鑒美國(guó)致密油藏開發(fā)方式，但是中國(guó)致密油藏多為正常壓力油藏或低壓油藏，壓力系數(shù)多在0.60～1.20，衰竭式開發(fā)采收率不到8%[7]。因此，如何提高致密油藏采收率已成為當(dāng)務(wù)之急。

現(xiàn)場(chǎng)和室內(nèi)研究表明，二氧化碳(CO2)吞吐能夠顯著地提高致密油藏采收率，是提高致密油藏采收率最有效的方法[8-10]。一般而言，實(shí)驗(yàn)室長(zhǎng)巖心二氧化碳吞吐采收率通常在60%[11-12]，而二氧化碳吞吐現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)采收率僅為10%～14%[13]。造成這種差異的主要原因是：在致密油藏二氧化碳吞吐過程中，主要通過二氧化碳的對(duì)流擴(kuò)散來增大二氧化碳與原油的接觸體積，二氧化碳波及范圍較小[14-19]。因此，研究影響二氧化碳波及范圍的主要因素是提高致密油藏二氧化碳吞吐采收率的關(guān)鍵?，F(xiàn)有研究通常是在巖心尺度借助CT掃描技術(shù)來描述二氧化碳的波及范圍[20-22]，由于存在巨大的尺度差異，并不能反映現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況，故亟需一種定量評(píng)價(jià)油田現(xiàn)場(chǎng)二氧化碳吞吐過程中二氧化碳波及范圍的方法。

為此，基于二氧化碳對(duì)流擴(kuò)散機(jī)理，建立致密油藏二氧化碳吞吐的理論模型，通過Laplace變換方法得到了理論模型的解析解，繪制二氧化碳濃度分布圖版，形成一種合理計(jì)算致密油藏CO2吞吐波及范圍的新方法。在此基礎(chǔ)上提出二氧化碳有效作用半徑的概念，并分析擴(kuò)散系數(shù)、彌散度和注入速度對(duì)有效作用半徑的影響，以期為致密油藏二氧化碳吞吐參數(shù)選擇及井網(wǎng)部署提供一定的指導(dǎo)。

1 物理模型

為了建立計(jì)算致密油藏二氧化碳吞吐波及范圍的數(shù)學(xué)模型，引入了一個(gè)基本的物理模型，如圖1所示。物理模型主要考慮吞吐注入期和燜井期，因?yàn)檫@兩個(gè)階段結(jié)束后，二氧化碳的波及范圍基本不再發(fā)生變化。假設(shè)條件如下。

圖1 物理模型示意圖

(1)在均質(zhì)、等厚的無限大地層中，有一口直井先注入二氧化碳，注入一定量的二氧化碳后燜井，地層厚度為h，孔隙度為φ，滲透率為k。

(2)注入壓力大于最小混相壓力，認(rèn)為注入的二氧化碳與原油一次接觸混相。

(3)忽略吞吐過程中發(fā)生的吸附作用。

(4)認(rèn)為多孔介質(zhì)具有恒定的截面積，忽略巖石和流體的壓縮性。

(5)流體在等溫條件下以恒定的質(zhì)量流量流動(dòng)，其中二氧化碳僅在徑向擴(kuò)散不進(jìn)行垂向擴(kuò)散。

(6)擴(kuò)散系數(shù)不隨濃度發(fā)生變化，僅與油藏物性相關(guān)。

(7)不考慮注入二氧化碳與原油和巖石發(fā)生化學(xué)反應(yīng)。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 注入期

在吞吐注入期，流體發(fā)生對(duì)流擴(kuò)散，基本對(duì)流擴(kuò)散方程為

(1)

D=Dm+λv

(2)

式中：r為地層中任意一點(diǎn)到井中心的距離，m；t為注入時(shí)間，s；C為 CO2的濃度，kg/m3；D為擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；v為滲流速度，m2/s；Dm為分子擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；λ為彌散度，m。

在大于最小混相壓力的注入壓力下，以恒定的流量Q將質(zhì)量濃度為C0的CO2注入地層中，根據(jù)達(dá)西定律，在任意r處的滲流速度v為

(3)

式(3)中：Q為流量，m3/s；h為油層厚度，m；B為滲流截面積，m2；φ為油藏孔隙度。

在注入期，分子擴(kuò)散作用相對(duì)于機(jī)械彌散作用很小，故在吞吐注入期忽略分子擴(kuò)散作用，將式(3)代入式(1)可化簡(jiǎn)為

(4)

注入期初始條件及邊界條件如式(5)～式(7)所示：

C|t=0=0

(5)

C|r=r0=C0

(6)

C|r→∞=0

(7)

式中：r0為井徑。

式(4)～式(7)構(gòu)成了吞吐注入期的數(shù)學(xué)模型。

令D0=λB，對(duì)式(4)～式(7)進(jìn)行Laplace變換，則有：

(8)

(9)

C(r,p)|r→∞=0

(10)

式中:p為L(zhǎng)aplace變量。

將式(8)兩邊同時(shí)除以D0，則有：

(11)

引入如下變換：

z=r+α/p

(12)

α=B2/(4D0)

(13)

將式(12)、式(13)代入式(11)中得：

(14)

易得到式(14)的通解為

(15)

式(15)中：I1/3、K1/3分別為第一類修正Bessel函數(shù)和第二類修正Bessel函數(shù)；a、b均為常數(shù)。

將式(10)、式(11)代入式(15)中可得：

(16)

式(16)中：z0=r0+α/p。

為了求解方程(16)，引入如下變換：

(17)

(18)

將式(17)、式(18)代入式(16)中，方程(16)可簡(jiǎn)化為

(19)

式(19)即為數(shù)學(xué)模型的拉式空間解。對(duì)式(19)進(jìn)行Laplace反演，其反演結(jié)果為

(20)

(22)

(23)

式中：J1/3為第一類修正Bessel函數(shù)；Y1/3為第二類修正Bessel函數(shù)。

其中：

argZ=β(α/r-p2)3/2/p2

(24)

argX=γ(α/r0-p2)3/2/p2

(25)

argF=β(p2-α/r)3/2/p2

(26)

argG=γ(α/r0-p2)3/2/p2

(27)

argS=β(p2-α/r)3/2/p2

(28)

argD=γ(p2-α/r0)3/2/p2

(29)

2.2 燜井期

研究表明二氧化碳(CO2)吞吐燜井時(shí)間的長(zhǎng)短顯著影響著致密油藏二氧化碳吞吐最終效果的好壞，如圖2所示[18]。主要原因是：在燜井期，二氧化碳主要通過分子擴(kuò)散作用進(jìn)入儲(chǔ)層基質(zhì)中置換出原油，但二氧化碳分子擴(kuò)散速度較慢，因此需要二氧化碳與原油接觸較長(zhǎng)時(shí)間才能使置換原油過程充分完成。

bbl表示桶，1 bbl=158.97 L

為求得燜井期二氧化碳的波及范圍，假設(shè)進(jìn)入燜井期后主要發(fā)生二氧化碳分子擴(kuò)散作用，忽略機(jī)械彌散作用，則燜井期的數(shù)學(xué)模型如式(30)～式(33)所示：

(30)

C(r,t)|t=0=φ(r)

(31)

C(r,t)|r→∞=0

(32)

(33)

式中：Dm為擴(kuò)散系數(shù)；φ(r)為注入期結(jié)束時(shí)二氧化碳的濃度分布。

對(duì)濃度函數(shù)C(r,t)進(jìn)行變量分離，即C(r,t)=R(r)T(t)，將其代入式(31)中得：

(34)

方程(34)的等號(hào)左邊是空間變量r的函數(shù)，等號(hào)右邊是時(shí)間變量t的函數(shù)，要使該等式成立必須兩邊都等于同一個(gè)常數(shù)，此處用-β2表示，故方程(34)可以分解成兩個(gè)方程。其中一個(gè)方程為

(35)

則方程(35)有如下形式的解：

T(t)=e-Dmβ2t

(36)

由式(36)可以看出，由于擴(kuò)散系數(shù)Dm總為正值，取-β2使得t趨近與無窮大時(shí)T(t)=0，而不使其發(fā)散。

另一個(gè)方程及其邊界條件為

(37)

R(β,r)即以上特征值問題的解。

對(duì)于半無限區(qū)域特征值β可取0～∞的任意實(shí)數(shù)值，故基本解為對(duì)β在整個(gè)半無限區(qū)域進(jìn)行疊加，也就是積分，濃度C(r,t)的完全解為

(38)

利用初始條件式(31)可以求得：

(39)

利用特征函數(shù)R(β,r)的正交性和范數(shù)N(β)的定義式：

(40)

可以得到：

(41)

將式(41)代入式(38)中可以得到該模型的解為

(β,r1)φ(r1)dr1]dβ

(42)

式(42)中：特征函數(shù)R(β,r)和范數(shù)N(β)可由文獻(xiàn)[23]查出，即

R(β,r)=Y1(βr0)J0(βr)-J1(βro)Y0(βr)

(43)

(44)

R(β,r1)=Y1(βro)J0(βr1)-J1(βr0)Y0(βr1)

(45)

式中：Y1、J1為一階Bessel函數(shù)；Y0、J0為0階Bessel函數(shù)。

3 實(shí)例計(jì)算

某一致密油藏油層厚度為20 m，孔隙度為0.1，滲透率為0.08 mD, 二氧化碳在該油藏的彌散度為0.001 m。研究發(fā)現(xiàn)在混相狀態(tài)下，二氧化碳分子擴(kuò)散系數(shù)較大，參照文獻(xiàn)[24]所給范圍，取分子擴(kuò)散系數(shù)為5×10-7m2/s。作業(yè)前測(cè)得該油藏最小混相壓力為25 MPa，隨后在35 MPa的注入壓力下通過井徑為0.1 m的同注同采直井以0.005 m3/s的流量將濃度為827 kg/m3的二氧化碳注入儲(chǔ)層中，注入期為2個(gè)月，燜井期為3個(gè)月。

將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于該致密油藏，分別從二氧化碳濃度分布、二氧化碳波及范圍及有效作用半徑計(jì)算和有效半徑敏感性分析三個(gè)方面展開討論。

3.1 注入期和燜井期二氧化碳濃度分布

應(yīng)用上述模型，借助于MATLAB計(jì)算二氧化碳不同時(shí)刻的濃度分布。其中注入期二氧化碳濃度分布情形如圖3所示。

圖3 注入期不同時(shí)刻二氧化碳濃度分布

由圖3可知，在注入期隨著注入時(shí)間的不斷增加，二氧化碳不斷向前擴(kuò)進(jìn)，且存在一個(gè)明顯的過渡區(qū)域，但是在注入期該過渡區(qū)域十分窄，主要因?yàn)樽⑷肫跈C(jī)械彌散作用占主導(dǎo)地位，過渡前緣變化速度相對(duì)較快。

連續(xù)注入二氧化碳兩個(gè)月后進(jìn)入燜井期，應(yīng)用燜井期的數(shù)學(xué)模型計(jì)算二氧化碳的濃度分布，求出二氧化碳在燜井期不同時(shí)刻濃度分布，如圖4所示。

圖4 燜井期不同時(shí)刻二氧化碳濃度分布

由圖4可知，進(jìn)入燜井期后，隨著燜井時(shí)間的不斷增加，過渡區(qū)域開始遠(yuǎn)處逐漸擴(kuò)大。但由于這一階段分子擴(kuò)散作用占主導(dǎo)地位，過渡區(qū)擴(kuò)大的速度相對(duì)較慢。隨著燜井時(shí)間的增加，過渡區(qū)擴(kuò)大的速度越來越慢。

3.2 注入期和燜井期二氧化碳波及范圍及有效作用半徑確定

圖5所示為注入期結(jié)束時(shí)刻的濃度分布。在不考慮重力分異的情況下，假定二氧化碳在縱向完全波及，故僅討論徑向波及范圍。注入期結(jié)束時(shí)，二氧化碳徑向波及范圍是半徑為45.65 m 的圓形區(qū)域。但是已有研究表明只有當(dāng)二氧化碳濃度達(dá)到一定值，才可以發(fā)揮在儲(chǔ)層基質(zhì)中置換原油的作用[24]，定義該濃度為二氧化碳吞吐的極限作用濃度，取值為Cmin=100 kg/m3，則存在對(duì)應(yīng)的有效作用半徑rer=45.52 m。

圖5 注入期二氧化碳波及范圍及有效作用半徑確定

圖6 燜井期二氧化碳波及范圍及有效作用半徑確定

同理，圖6所示為燜井期不同時(shí)刻濃度分布，燜井30天徑向波及半徑為51.5 m,有效作用半徑為48.0 m，燜井60 d徑向波及半徑為53.7 m，有效作用半徑為49.1 m，燜井期結(jié)束徑向的波及半徑為55.4 m，有效作用半徑為50.0 m。

通過對(duì)注入期和燜井期二氧化碳有效作用半徑進(jìn)行計(jì)算可得，整個(gè)吞吐過程中，注入期對(duì)二氧化碳有效作用半徑貢獻(xiàn)率超過90%，燜井期對(duì)二氧化碳有效作用半徑貢獻(xiàn)率低于10%。在燜井期，隨著燜井時(shí)間增加，有效作用半徑增大幅度越來越小。

3.3 彌散度和二氧化碳分子擴(kuò)散系數(shù)對(duì)有效作用半徑的影響

在注入期，保持基本參數(shù)不變，計(jì)算彌散度分別為0.000 1、0.001、0.01 m時(shí)二氧化碳的濃度分布。如圖7所示，3種彌散度對(duì)應(yīng)的有效作用半徑分別為45.45、45.52、45.73 m。由圖7可知，彌散度對(duì)有效作用半徑的影響十分小。

圖7 不同彌散度下二氧化碳的濃度分布

圖8 不同擴(kuò)散系數(shù)下二氧化碳的濃度分布

在燜井期，保持其他基本參數(shù)不變，計(jì)算分子擴(kuò)散系數(shù)分別為5×10-8、5×10-7、5×10-6m2/s時(shí)二氧化碳的濃度分布。如圖 8所示，3種分子擴(kuò)散系數(shù)對(duì)應(yīng)的有效作用半徑分別為47.4、50.0、55.1 m。由圖8可知，隨著分子擴(kuò)散系數(shù)的增大，二氧化碳有效作用半徑隨之增大。此外，二氧化碳分子擴(kuò)散系數(shù)的大小顯著影響著二氧化碳置換原油過程。因此，采取有效措施增加二氧化碳分子擴(kuò)散系數(shù)，不僅可以縮短燜井所需時(shí)間，還可以增大二氧化碳的波及范圍，從而有助于提高吞吐最終采收率。

3.4 注入速度對(duì)二氧化碳有效作用半徑的影響

保持基本參數(shù)不變，分別計(jì)算注入速度為0.004 8、0.005 0、0.005 2 m3/s時(shí)二氧化碳的濃度分布。如圖9所示，三種注入速度對(duì)應(yīng)的有效作用半徑分別為43.20、45.55、47.75 m。注入速度增加0.000 2 m3/s，有效作用半徑增大幅度超過2 m。隨著注入速度小幅度增加，二氧化碳的有效作用半徑明顯增加，表明有效作用半徑對(duì)注入速度十分敏感。故吞吐作業(yè)過程中，合理地增大注入速度，能夠增大二氧化碳的有效作用半徑進(jìn)而提高二氧化碳吞吐采收率。

圖9 不同注入速度下二氧化碳的濃度分布

4 結(jié)論

(1)原油從儲(chǔ)層基質(zhì)中滲出主要依靠燜井期二氧化碳的分子擴(kuò)散作用，采取有效措施增加二氧化碳分子擴(kuò)散系數(shù)，不僅可以縮短燜井所需時(shí)間，還可以增大二氧化碳的波及范圍，從而有助于提高吞吐最終采收率。

(2)致密油藏二氧化碳吞吐過程中，只有當(dāng)二氧化碳濃度達(dá)到一定值時(shí)原油才開始從基質(zhì)中滲出。將該濃度定義為二氧化碳極限作用濃度，提出二氧化碳有效作用半徑的概念，并介紹了計(jì)算二氧化碳吞吐波及范圍以及有效作用半徑的方法。

(3)彌散度對(duì)有效作用半徑的影響較小，注入速度對(duì)有效作用半徑的影響較大，隨著注入速度的增加，二氧化碳有效作用半徑明顯增大。因此，在吞吐作業(yè)過程中合理地增加注入速度可以較好提高二氧化碳吞吐采收率。

(4)在整個(gè)吞吐過程中注入期對(duì)二氧化碳有效作用半徑貢獻(xiàn)率超過90%，燜井期對(duì)二氧化碳有效作用半徑貢獻(xiàn)率低于10%。雖然燜井期對(duì)有效作用半徑的貢獻(xiàn)較小，但是燜井期二氧化碳的分子擴(kuò)散作用是原油從基質(zhì)中滲出的關(guān)鍵。因此，需要綜合考慮吞吐的燜井時(shí)間。