高立堂 許盼讓 褚桂勛

（青島理工大學(xué)土木工程學(xué)院，青島266033）

0 引 言

普通混凝土梁的跨高比一般不小于5 時(shí)能較好地符合受彎機(jī)理和平截面假定，在承受垂直于中面的橫向荷載時(shí)將產(chǎn)生豎向撓曲變形，并在火災(zāi)熱力耦合作用下產(chǎn)生橫向振動。

陸洲導(dǎo)等［1］指出火災(zāi)對鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)造成的損傷通常是二次損傷，且具有空間隨機(jī)性。與彈簧-裂紋梁損傷不同，火災(zāi)造成的損傷往往是有著明顯的界限，可通過試件的表面特征對損傷位置有個(gè)定性分析。李衛(wèi)等［2］對混凝土在不同溫度作用下的表面特征變化作出分析，發(fā)現(xiàn)混凝土低于300 ℃時(shí)與常溫下無異，溫度升至300 ℃后，隨著溫度升高，混凝土表面顏色由青灰色變?yōu)榛野咨?，繼而變?yōu)榘导t色，伴隨著表面的損傷現(xiàn)象愈加嚴(yán)重。另外火災(zāi)損傷多表現(xiàn)為大面積片狀近似均勻性損傷，且其裂縫隨溫度升高無規(guī)律性發(fā)展，可簡化其為長度方向上均勻化損傷、高度方向上梯度化損傷模型，避免了無法利用頻率參數(shù)識別對稱損傷位置的局限性［3］。

1 橫觀各向同性簡支梁的振動

橫觀各向同性是構(gòu)件內(nèi)任意平面上的材料性能在各個(gè)方向都相同，是介于各向異性和各向同性間的一種假定，起初應(yīng)用于板式構(gòu)件。基于經(jīng)典三維理論，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系[σ]=[C][ε]有 21 個(gè)獨(dú)立變量（[C]為剛度矩陣），考慮到橫觀各向同性體將減少至5個(gè)，使得計(jì)算大為簡化。

梁在實(shí)際火災(zāi)過程多以底面或半側(cè)面受火，本文以底面受火研究其損傷特性。梁底面受火時(shí)其溫度場是空間時(shí)間的函數(shù)，導(dǎo)致混凝土的熱惰性在火災(zāi)作用下不再是均質(zhì)材料，其彈性模量沿高度呈現(xiàn)非線性梯度損傷且隨受火時(shí)間增加而劣化。由于火災(zāi)均勻大面積近似片狀的損傷特點(diǎn)，將梁沿截面高度分割，分割厚度趨于無限小時(shí)可認(rèn)為是橫觀各向同性的薄梁，由此簡支梁可視為考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量影響的單向厚板振動。

2 基于厚板積分理論對火災(zāi)損傷梁的振動分析

根據(jù)厚板積分理論假定［4，6］:①水平位移偏離于直法線部分沿截面幾何相似；②擠壓變形沿截面幾何相似，建立如圖1所示的坐標(biāo)系。

圖1 厚板積分理論橫觀各向同性薄梁積分單元示意圖Fig.1 Schematic diagram of the integral unit of transversely isotropic thin beam with thick plate integral theory

首先根據(jù)假定（1）從三維角度分析有:

式中，第二部分是廣義剪切角ψ沿厚度分布函數(shù)f（z）引起的位移變化，再由幾何方程得:

帶入物理方程有:

再由假定（2）得:

式（6）、式（7）中第二部分為橫向荷載q(x'y't)沿?cái)D壓變形函數(shù)B(z)引起的附加應(yīng)力。滿足B(h/2)=0；B(-h/2)=-1。 將f(z) 表 達(dá) 式 帶 入 式（1）、式（2）得:

再由幾何方程求取應(yīng)變:

帶入物理方程得:

將應(yīng)力沿厚度積分得:

將三維動平衡方程沿厚度方向積分得到內(nèi)力動平衡方程。

由式（16）-式（21）得基本動力方程:

消去βx，βy得到關(guān)于w的獨(dú)立方程:

對于簡支梁滿足自由邊界條件為零，一般關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)忽略不計(jì)，且βx=Mx=MxY=Qx=0，有:

假定式（25）相應(yīng)振型W（y）和Φ（y），則有:

根據(jù)式（28）設(shè)W（y）的一般解形式為

確定兩個(gè)實(shí)根為

由兩端邊界條件y=0'W(0)=0'Φ(0)=0；y=l'W(l)=0'Φ(l)=0確定其中待定系數(shù)。

再由行列式為零及忽略高階影響得:

3 火災(zāi)下鋼筋混凝土梁的剛度演變規(guī)律

3.1 高溫下梁剛度與溫度的關(guān)系

梁底面受火時(shí)溫度場符合一維熱傳導(dǎo)理論，將其解析式代入剛度表達(dá)式并沿高度積分，得剛度與時(shí)間關(guān)系。

一維熱傳導(dǎo)方程:

定 義 任 意 時(shí) 間則T(z)=，此時(shí)溫度場只是梁高的函數(shù)。建立如圖2所示坐標(biāo)系。

圖2 受火梁積分計(jì)算模式Fig.2 Calculation mode of beam integral by fire

沿梁高將梁等分成n個(gè)薄梁，當(dāng)n足夠大時(shí)，等分后的薄梁單元可視為均質(zhì)構(gòu)件，即彈性模量抗壓強(qiáng)度等性能均勻。定義薄梁剛度ΔD=其中Ezi表示高溫下t時(shí)刻梁內(nèi)部距離z=0 的距離為Zi處混凝土的彈性模量。

根據(jù)文獻(xiàn)［7］中的高溫下混凝土彈性模量與溫度的關(guān)系:

對n個(gè)單元求和得整體剛度D，當(dāng)n足夠大時(shí)D可視為沿梁高的連續(xù)函數(shù)，即:

利用分部積分法求解，定義D=D1-D2。

實(shí)際火災(zāi)過程梁尺寸基本不變，而溫度隨時(shí)間變化，由溫度場表達(dá)式求梁高關(guān)于時(shí)間和溫度的解析式將標(biāo)準(zhǔn)升溫曲線T(g)=345 log10(8t+1)+T0代入得剛度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。

為方便書寫定義:

則高溫下梁剛度與溫度場的關(guān)系為

由于標(biāo)準(zhǔn)升溫曲線并非實(shí)際升溫過程，可通過等效爆火時(shí)間進(jìn)行換算，馬忠城等運(yùn)用熱荷等效法、能量法等解決了標(biāo)準(zhǔn)升溫曲線與實(shí)際火災(zāi)的等效問題。

3.2 高溫下梁剛度與中性軸改變的關(guān)系

火災(zāi)荷載造成材料的損傷，引起中性軸上移，對梁的受力性能和振動特性造成影響。E. El-Dardiry，T.Ji［8］通過對組合樓板的理論分析，發(fā)現(xiàn)中性軸的改變對振動特性影響較大，會使基頻降低，振型階次發(fā)生變化。

由功能梯度理論［9］得中性軸上移高度:

將h關(guān)于時(shí)間表達(dá)式h(t)代入上式得到中性軸上移引起剛度變化函數(shù)可直接進(jìn)行剛度疊加。

3.3 高溫下梁剛度與整體配筋率的關(guān)系

鋼筋混凝土構(gòu)件中鋼筋對其動力特性的影響主要是質(zhì)量變化和對剛度的貢獻(xiàn)［10］。實(shí)際上鋼筋對梁剛度的影響是考慮了縱向鋼筋和箍筋的骨架效應(yīng)的綜合影響。

式中:As表示縱向鋼筋總面積；ρ表示梁截面整體配筋率；c表示鋼筋中心到中性面的距離。

計(jì)算可以得到剛度的配筋率影響系β=1+則最終得到溫度與鋼筋綜合影響下梁剛度D=β(DE+DZ)。

4 數(shù)值模擬

利用ABAQUS 有限元對素混凝土梁模型進(jìn)行上述理論的模擬驗(yàn)證。對于混凝土，幾何建模中采用六面體八節(jié)點(diǎn)單元建模，并將模型尺寸定為200 mm×300 mm×2 000 mm；界面和材料屬性模塊中定義混凝土強(qiáng)度等級為C30，密度2 350 kg/m3，泊松比0.2，建立混凝土的塑性損傷模型，設(shè)置好相關(guān)參數(shù)取值；然后再分析步模塊建立位移-轉(zhuǎn)角的類型，并在模型兩端設(shè)置成簡支約束，接著建立一個(gè)提取頻率的分析步；最后對模型劃分網(wǎng)格如圖3所示。

圖3 素混凝土梁模型Fig.3 Concrete beam model

對素混凝土模型提交分析作業(yè)并經(jīng)后處理得到其前四階振型如圖4-圖7所示。對模擬得到的混凝土梁振動頻率與厚板積分理論得到的振動頻率值對比圖如圖8所示。

圖4 一階模態(tài)振型圖Fig.4 Modal pattern diagram of the 1st order mode

圖5 二階模態(tài)振型圖Fig.5 Modal pattern diagram of the 2nd order mode

圖6 三階模態(tài)振型圖Fig.6 Modal pattern diagram of the 3rd order mode

圖7 四階模態(tài)振型圖Fig.7 Modal pattern diagram of the 4th order mode

圖8 前三階模擬值與理論值Fig.8 Previous three-order simulation values and theoretical values

對比前三階自振頻率的理論值和模擬值可以看出，對于一、二階自振頻率，理論和模擬得出的結(jié)果基本吻合，說明基于厚板積分理論的損傷識別可以適用于該試驗(yàn)。而第三階的自振頻率，模擬與理論相差較大，一方面是因?yàn)槟M分析時(shí)將混凝土視為近似線性攝動，忽略了實(shí)際損傷造成的非線性；另一方面是跟理論簡化條件有關(guān)，理論將其視為桿系結(jié)構(gòu)，忽略了鋼筋對動力特性的影響，而對于實(shí)際結(jié)構(gòu)振動時(shí)，振動特性比較復(fù)雜，導(dǎo)致理論偏差較大；另外，數(shù)值模擬過程是迭代過程，階次越高，迭代誤差越大，造成與理論值的差異就越大。

5 結(jié) 論

本文對火災(zāi)下鋼筋混凝土簡支梁進(jìn)行了動力損傷理論研究，得出以下結(jié)論:

（1）利用厚板積分理論將梁沿梁高劃分成無數(shù)單元，等效為橫觀各向同性薄梁，再對其進(jìn)行積分得到梁的自由振動方程和解析解。

（2）推導(dǎo)了鋼筋混凝土簡支梁的剛度變化規(guī)律，考察了梁的剛度與溫度變化、中性軸上移、配筋率的關(guān)系。

（3）利用Abaqus 有限元軟件模擬出自振頻率，并通過對理論和模擬值對比發(fā)現(xiàn):前二階頻率在理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果具有一致性。但對于高階模態(tài)相差較大，可以用于后續(xù)研究。