于 穎，林大鈞，王海鳳

（上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093）

引 言

眾所周知，物體的反射光包含了光的強度信息和相位信息[1]，通過CCD或COMS可以直接探測與收集光的強度信息，但是不能直接檢測反射光的相位信息[2]。因此，許多學者提出了一些基于干涉測量的間接相位檢測方法，例如全息術[3-4]、相位對比方法（PC）[5]、微分相位對比方法（DPC）[6]和微分干涉對比方法（DIC）[7]等。其中PC是最簡單的實驗方法，通常由傳統(tǒng)的4f成像系統(tǒng)和空間光調制器（SLM）相互結合來實現(xiàn)相位恢復[8-9]。而DIC方法是一種光束剪切干涉技術，其中要求參考光束傾斜的量小于艾里斑[10]的直徑。然而，由于相位和強度之間存在非線性關系，所以PC無法提供定量信息，而具有校準偏差的DIC技術也僅在精確對準后才能提供定量結果。還有一些非干涉方法用于恢復相位信息，例如光強度傳輸方程（TIE）、基于Gerchberg-Saxton角譜迭代（GS）算法等，可以通過僅收集在成像平面附近的2或3個圖像的強度信息來恢復物體的相位[11]。通過求解二階微分方程[12-13]可以得到物體的相位，目前對TIE常用的求解方式有傅里葉變換求解、Zernike多項式和多重網(wǎng)格（multi-grid）求解等。但是，TIE因為采用了太多的近似值導致精度值不高，而GS方法的初始相位是隨機數(shù)，迭代時間較長。

鑒于上述情況，我們提出了一種新的方法，該方法通過結合TIE和GS算法來增強生物細胞圖像的相位恢復的效果，并將其命名為GSTIE方法。我們先用TIE算法恢復出生物組織的相位信息，然后將得到的相位信息結果作為GS方法的初始相位，在經GS迭代后得到更加準確的相位信息。我們使用反射型顯微鏡，用白光照射生物細胞，在用CCD采集細胞的照片，并對采集到的3張圖像分別采用GS-TIE方法恢復相位。在模擬仿真階段，我們采用了紅色、綠色和藍色3個通道來對生物細胞進行恢復，以便獲得最佳效果，該重建相位應該是3個重建相位結果之中的一個，這取決于所研究對象的主要顏色。對恢復對象的主色的判斷可以幫助我們以最少的計算時間獲得最佳的結果。

1 算法原理

1.1 光強傳輸方程

光強傳輸方程（TIE）是目前對垂軸強度圖像進行相位恢復的著名工具[14]。圖1為采用TIE方法收集的3張包含反射光強度信息的圖像。

圖1 TIE方法收集的3張包含強度信息的圖像Fig. 1 Three images containing intensity information collected by the TIE method

TIE可以表示為

式中：I為光強；P為相位；z為間隔距離；λ為波長。

使用快速傅里葉變換方法可得到式（1）的解[15]。設每個圖像平面上的衍射波強度分別為Ia、Ib、Ic，其中相鄰平面之間的間隔為Δz，則3個平面的復振幅分別為：

式中：A1、A2、A3分別為每個圖像的幅度；kx、ky、kz分別為波矢量k在x、y和z方向上的分量；1和2分別為相對于第一平面的相位。

引用Teague近似，忽略式（5）的旋度項[16]，得 ?，再對等式兩邊進行快速傅里葉變換。根據(jù)傅里葉變換的微分性質

1.2 結合光強傳輸 方程（TIE）和 Gerchberg-Saxton迭代（GS）算法（GS-TIE算法）

GS-TIE方法主要包括兩個步驟：（1）使用圖1所示的3個平面中的光強信息獲得相位分布，并將該相位作為GS迭代循環(huán)的初始值。（2）經GS迭代后獲得精確的相位結果[19-20]。在GS迭代過程中，分別采用波長為λR= 625 nm、λG= 532 nm和λB= 473 nm的3個通道進行模擬仿真，進而得到3張相位恢復圖。圖2是GSTIE算法的流程圖。兩種方法的結合可以大大提高相位恢復的精確度。

圖2 GS-TIE 算法的流程圖Fig. 2 Flow chart of the GS-TIE algorithm

將上述TIE計算所得的b面相位作為初始相位pb，結合模擬的b面振幅Ab，作為初始迭代面的復振幅fb帶入迭代；利用快速傅里葉變換轉換到頻域進行處理，將其頻譜乘以b、c面間距離Δz2對應的角譜傳遞函數(shù)，再進行傅里葉逆變換即可得c面的復振幅分布，通過對其求相位角以及記錄所得的c面振幅Ac，重新構成c面的復振幅fc，對其在頻域中進行角譜逆向傳遞，方法同第一步一致；如此每步用記錄所得的振幅替代傳播后計算所得的振幅加以校正。由此，衍射波傳播過程記錄的3個面形成一個循環(huán)，在傳播到每一面時，用該面記錄所得的振幅Ai(i=a,b,c)結合計算的光場傳播到該處的相位pi(i=a,b,c)組成復振幅，這樣可以校正光場角譜衍射迭代中的偏差。將實驗測量數(shù)據(jù)的空間關聯(lián)性更好地帶入迭代運算中，從而得到恢復細節(jié)更好的b面相位pb。角譜傳遞函數(shù)的表達式如下：

式中 fx=mx/Lx、fy=my/Ly，mx、my分別為 x、y 方向的空間頻率采樣系數(shù)，Lx、Ly分別為x、y方向的采樣區(qū)間長度。

我們采用均方根形式對迭代算法的相位恢復進行了分析，所得該數(shù)值為兩次循環(huán)的相位相對誤差精度，其表達式為

式中：n為迭代次數(shù)；Pk為迭代當次的相位分布；Pk-1為上次迭代的相位分布。

2 實驗和結果分析

2.1 實驗方法

我們在白光照射的反射型顯微鏡下用彩色CCD采集南瓜根莖樣品細胞像平面附近的3個強度圖像。顯微鏡物鏡放大倍率為40倍，相鄰圖像之間的距離Δz。在采集圖像強度信息時，如果間隔太小，相鄰平面之間的光強差異不明顯，如果間隔太大，將增加相位恢復的誤差。通常，TIE算法要求采樣的間隔約為1 mm。圖3為在像平面附近以1 024像素×1 024像素的分辨率采集的3張根莖細胞彩色圖像。

圖3 像平面采集到的南瓜根莖細胞Fig. 3 Pumpkin rhizome cells collected in the image plane

2.2 實驗結果

采用MATLAB軟件進行仿真計算，將采集到的3張彩色圖像逐一帶入波長為λR= 625 nm、λG= 532 nm和λB= 473 nm的R、G、B 3個通道中，結果如圖4所示。

從圖4的通過GS-TIE算法恢復的3個彩色圖像的相位圖可以看出：G通道的相位輪廓最清晰，三維效果最明顯，細節(jié)展示相對其他兩個通道更為全面；R通道相對較弱，而B通道效果最不理想，噪點較多，3D效果較為模糊。圖右邊色條表示生物細胞的均勻程度。盡管如此，三通道相位誤差的精度都高達10?7。圖5顯示了GS-TIE算法恢復的R、G、B通道的相對誤差，圖中橫坐標為迭代次數(shù)（iteration time），縱坐標為相位相對誤差值RMS的大小。

圖4 RGB 三通道相位恢復圖Fig. 4 RGB-channels phase recovery images

圖5 GS-TIE算法恢復的RGB通道的精確度誤差Fig. 5 Accuracy error of the RGB channel recovered by the GS-TIE algorithm

3 結 論

本文提出了一種利用白光進行生物組織圖像高分辨率相位重建的新方法，該方法結合了強度方程傳輸（TIE）和 Gerchberg-Saxton迭代（GS）算法，并采用RGB 3個通道對生物細胞相位進行恢復。利用該方法，可以獲得清晰的相位恢復圖像，所得到的前后兩次循環(huán)迭代的相位相對誤差精度值可以達到10?7。